1、- 1 -必修 1 基础知识第一章、集合与函数概念1.1.1、集合1、 把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素:确定性、互异性、无序性。2、 只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合相等。3、 常见集合:正整数集合: 或 ,*N整数集合:Z,有理数集合:Q,实数集合:R.4、集合的表示方法:列举法、描述法 .1.1.2、集合间的基本关系1、 一般地,对于两个集合 A、B,如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素,则称集合 A 是集合 B 的子集。记作 .2、 如果集合 ,但存在元素 ,x且 ,则称集合 A 是集合 B 的真x子集.记作:A B.3、 把
2、不含任何元素的集合叫做空集.记作:.并规定:空集合是任何集合的子集.4、 如果集合 A 中含有 n 个元素,则集合A 有 个子集.n21.1.3、集合间的基本运算1、 一般地,由所有属于集合 A 或集合 B的元素组成的集合,称为集合 A 与 B的并集.记作: .2、 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B的所有元素组成的集合,称为 A 与 B的交集.记作: .3、全集、补集?1.2.1、函数的概念1、 设 A、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 ,使对于集合 Af中的任意一个数 ,在集合 B 中都有x惟一确定的数 和它对应,那么f就称 为集合 A 到集合 B 的f:一个函数,记作:
3、.xfy,2、 一个函数的构成要素为: 定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则称这两个函数相等.1.2.2、函数的表示法1、 函数的三种表示方法: 解析法、图象法、列表法.1.3.1、单调性与最大(小)值1、 注意函数单调性证明的一般格式:解:设 且 ,则:bax,2121x=ff1.3.2、奇偶性1、 一般地,如果对于函数 的定义xf域内任意一个 ,都有x,那么就称函数ff为偶函数.偶函数图象关于 轴y对称.2、 一般地,如果对于函数 的定义xf域内任意一个 ,都有x,那么就称函数ff为奇函数.奇函数图象关于原点- 2 -对称.第二章、基本初等函数()2.
4、1.1、指数与指数幂的运算1、 一般地,如果 ,那么 叫做 axnxa的 次方根。其中 .N,12、 当 为奇数时, ;nn当 为偶数时, .a3、 我们规定: mna;1,0*N ;1an4、 运算性质: ;Qsrsrsr,0 ;arsr , .rbbrr2.1.2、指数函数及其性质1、 记住图象: 1,0ayx2.2.1、对数与对数运算1、 ;xNaaxlog2、 .aNlog3、 , .011l4、当 时:0,M ;NNaaalogllog ;aaalll .Mnaalogl5、换底公式: bcall.0,1,0ca6、 blogl.,22.2、对数函数及其性质1、 记住图象: 1,0l
5、axya2.3、幂函数1、几种幂函数的图象:- 3 -第三章、函数的应用3.1.1、方程的根与函数的零点1、方程 有实根0xf函数 的图象与 轴有交点fyx函数 有零点.2、 性质:如果函数 在区间xfy上的图象是连续不断的一条曲ba,线,并且有 ,那么,0bf函数 在区间 内有零点,xfya,即存在 ,使得 ,这c,cf个 也就是方程 的根.0xf3.1.2、用二分法求方程的近似解1、掌握二分法.3.2.1、几类不同增长的函数模型3.2.2、函数模型的应用举例1、解决问题的常规方法:先画散点图,再用适当的函数拟合,最后检验.必修 4 数学基础知识第一章、三角函数1.1.1、任意角1、 正角、
6、负角、零角、象限角的概念.2、 与角 终边相同的角的集合:.Zk,21.1.2、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角.2、 .rl3、弧长公式: .Rnl804、扇形面积公式: .lS21361.2.1、任意角的三角函数1、 设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 ,那么:yxP,.xytan,cossin2、 设点 为角 终边上任意一0,yxA点,那么:(设 )20yr, ,y0sinxcos.0tax3、 , , 在四个象限sincostan的符号和三角函数线的画法.4、 诱导公式一:(其中:.tan2tan,coscosiik)Z5、 特殊角 0,30,45,
7、60,- 4 -90,180,270的三角函数值.643sincota1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、 平方关系: .1cossin222、 商数关系: .ita1.3、三角函数的诱导公式1、 诱导公式二:.tanta,coscosii2、诱导公式三:.tanta,cossii3、诱导公式四:.tantan,coscosii4、诱导公式五:.sin2cos,coi5、诱导公式六:.sin2cos,coin1.4.1、正弦、余弦函数的图象1、记住正弦、余弦函数图象:2、 能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质:定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.3、 会
8、用五点法作图.1.4.2、正弦、余弦函数的性质1、 周期函数定义:对于函数 ,如xf果存在一个非零常数 T,使得当 取定义域内的每一个值时,都有,那么函数 就xffxf叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期.1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象:- 5 -2、 能够对照图象讲出正切函数的相关性质:定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.1.5、函数 的图象xAysin1、 能够讲出函数 的图象和函数的图象之间的bxysi平移伸缩变换关系.2、 对于函数: 0,sinAxAy有:振幅 A,周期 ,初相 ,2T相位 ,频率 .x21f1.6、三角函数模型的简单应用
9、1、 要求熟悉课本例题.第二章、平面向量2.1.1、向量的物理背景与概念1、 了解四种常见向量:力、位移、速度、加速度.2、 既有大小又有方向的量叫做向量.2.1.2、向量的几何表示1、 带有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.2、 向量 的大小,也就是向量 的ABAB长度(或称模) ,记作 ;长度为零的向量叫做零向量;长度等于 1 个单位的向量叫做单位向量.3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(或共线向量).规定:零向量与任意向量平行.2.1.3、相等向量与共线向量1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、 三角形法
10、则和平行四边形法则.2、 .ba2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、 与 长度相等方向相反的向量叫做的相反向量.a2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、 规定:实数 与向量 的积是一个向a量,这种运算叫做向量的数乘.记作:,它的长度和方向规定如下:a ,当 时, 的方向与 的方0a向相同;当 时, 的方向与 的方向相反.a2、 平面向量共线定理:向量 与0a共线,当且仅当有唯一一个实数 ,b使 .a2.3.1、平面向量基本定理1、 平面向量基本定理:如果 是同21,e一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内任一向量 ,有且只有a一对实数 ,使 .21,21e- 6 -2.3.2、平面
11、向量的正交分解及坐标表示1、 .yxjia,2.3.3、平面向量的坐标运算1、 设 ,则:21,b ,1yxa ,221, ,yx .121/ba2、 设 ,则:,yxBA.1212,2.3.4、平面向量共线的坐标表示1、设 ,则321, yxCyx线段 AB 中点坐标为 ,21,ABC 的重心坐标为 .332121yx2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、 .cosba2、 在 方向上的投影为: .cosa3、 .24、 .a5、 .0b2.4.2、 平 面 向 量 数 量 积 的 坐 标 表 示 、 模 、 夹 角1、 设 ,则:21,yxya 21yxba 2 021yx2、
12、设 ,则:1,ByA.212yx2.5.1、平面几何中的向量方法2.5.2、向量在物理中的应用举例第三章、三角恒等变换3.1.1、两角差的余弦公式1、 sincoscos2、记住 15的三角函数值:sinsta1242642633.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、 sincoscos2、 iini3、 sincosisi 4、 .tan1ttan5、 .tt3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公- 7 -式1、 ,cosin2si变形: .2i12、 2scos1,2sin变形 1: ,2cos1变形 2: .ssi3、 .2tan1t3.2、简单的三角恒等变换1、注意正切化弦、平
13、方降次.必修 5 和必修 2 数学基础知识必修 5:第一章:解三角形1、正弦定理:.RCcBbAa2sinisin2、余弦定理: .2cos,2cos.cos,222abcCBbaAbA3、三角形面积公式:BacAbcCSABCsin21sin21第二章:数列1、数列中 与 之间的关系:nS.1,1时当 时 ,当ann2、等差数列:定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。通项公式: dnan)1(求和公式: 2211Snn3、等比数列定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列。通
14、项公式: 1nqa求和公式: qSnnn11第三章:不等式1、 时 取 等 号当 且 仅 当 时 ,当 baa20,2、 时 取 等 号当 且 仅 当 时 ,当 R,23、变形: 2,2baba- 8 -必修 2:1、空间几何体的结构常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:圆柱、圆锥、圆台、球。棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱。棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台。2、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影,中心投影的投影线交于一
15、点;把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影,平行投影的投影线是平行的。3、空间几何体的表面积与体积圆柱侧面积; lrS2侧 面圆锥侧面积: lrS侧 面圆台侧面积: lRlrS侧 面体积公式:; ;hSV柱 体 hS31锥 体下下上上台 体 31球的表面积和体积:.3244RS球球 ,第二章:点、直线、平面之间的位置关系1、公理 1:如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。2、公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。3、公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。4、公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行.5、定理:空间中如果
16、两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。6、线线位置关系:平行、相交、异面。7、线面位置关系:直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。8、面面位置关系:平行、相交。9、线面平行:判定:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。性质:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。10、面面平行:判定:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。性质:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。11、线面垂直:定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么就说这条直线和这个平面垂直。判定:一条直线
17、与一个平面内的两条相交- 9 -直线都垂直,则该直线与此平面垂直。性质:垂直于同一个平面的两条直线平行。12、面面垂直:定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。判定:一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直。性质:两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。第三章:直线与方程1、倾斜角与斜率: 12tanxyk2、直线方程:点斜式: 00xy斜截式: bk两点式: 1212xy一般式: 0CBAx3、对于直线:有:2211:,: bxkylbkyl ;2121/l 和 相交 ;1l2k 和 重合 ;1l221b .221kl4、
18、对于直线:有:0:,2211CyBxAl ;12121/Al 和 相交 ;1l2B 和 重合 ;1l2121C .0221Al5、两点间距离公式: 212121 yxP6、点到直线距离公式: 20BACyd第四章:圆与方程1、圆的方程:标准方程: 22rbyax一般方程: .0FED2、两圆位置关系: 21Od外离: ;rR外切: ;相交: ;d内切: ;内含: .r3、空间中两点间距离公式: 21212121 zyxP集合 - 10 - 包含关系ABBA 集合 的子集个数12,na共有 个;真子集有 1 个;n非空子集有 1 个;非空的真子集有 2 个.二次函数,二次方程 方程 在 上有且0
19、)(xf),(1k只有一个实根,与 不02f等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件 闭区间上函数的最值 只能在处及区间的两端点处取得。0)(xf二次函数恒成立的充要条2cba件是 .042简易逻辑 真值表 非或且真 真 假 真 真真 假 假 真 假假 真 真 真 假假 假 真 假 假 常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是 不是 至少有一个一个也没有都是 不都是至多有一个至少有两个大于 不大 至 至多有(于 少有n个)个1小于 不小于至多有n个至少有()个1对所有 ,x成立存在某 ,不成立p或q且对任何 ,x不成立存在某 ,成立p且q或 :否定一个含有量词( 或 )P的命题,不但要改变
20、量词( 改为),还要对量词后面的命题加以否定,但作用范围不变。 函数的单调性(1)设 那么2121,xbax()()0ff上是f ,21在增函数; 12()()0xffx上是baf ,021在减函数.(2)设函数 在某个区间内可)(xfy导,如果 ,则 为增函数;)(f如果 ,则 为减函数.0x()amfb.()fx 两个函数图象的对称性(1)函数 与函数yf- 11 -的图象关于直线 (即 轴)对()yfx0xy称.(2)函数 与函数)amf的图象关于直线(fb对称.2ax(3)函数 和 的图)(xfy)(1xf象关于直线 y=x 对称. 若将函数 的图象右移 、a上移 个单位,得到函数b的
21、图象;若将axfy)(曲线 的图象右移 、0,上移 个单位,得到曲线的图象.),(f 指数式与对数式的互化式logbaN.(0,1) 对数的换底公式 . 推论 llma.oglmnab 对数的四则运算法则若 a0,a1,M0,N0,则(1) ;(l()loglaaN2) ;oga(3) .ll()naR 设函数,记)0()(2acbxxfm.若 的定义域cb42)f为 ,则 ,且 ;若R0a的值域为 ,则 ,且)(f.对于 的情形,需要单独检验. 数列 等差数列的通项公式; *11()()nadnaN 其前 n 项和公式为.1()2ns1()2 等比数列的通项公式 ;1*()nnaq其前 n
22、项的和公式为或1(),nnaqs.1,nnqsa 分期付款(按揭贷款) 每次还款 元(贷款 元,1)nbxa次还清,每期利率为 ).n 数列的通项公式与前 n 项的和的关系1,2nns三角函数 常见三角不等式(1)若 ,则(0,)x.(2) 若 ,则sinta(0,)2x.cos2x(3) .|i|1 同角三角函数的基本关系式 , = ,22sintancosi.tacot 和角与差角公式;sin()sicsin- 12 -;cos()csosin.tatan1t=sisb(辅助角 所在象限2)由点 的象限决定, ). ()atanb 二倍角公式 .sin2icos.222co1sin2tan
23、ta1 三角函数的周期公式 函数 ,xR 及函数sin()yx的周期 ;函数co2T的周期 .ta() 正弦定理 .2sinisinbcRABC 余弦定理 ;22oaA 面积定理11sinsisinSbca向量. a 与 b 的数量积(或内积)ab=|a|b|cos ab 的几何意义数量积 ab 等于 a 的长度| a|与 b 在a 的方向上的投影| b|cos 的乘积设 a= ,b= ,则 ab=1()xy2(,).12( 向量的平行与垂直 设 a= ,b= ,且 b 0,1()2(,)则 ab(b 0)1xya b(a 0) ab=0.12x 线段的定比分公式 设 , ,1(,)Pxy2(
24、,)xy是线段 的分点, 是实数,且,1,则1212xyOP(()OP). 三角形的重心坐标公式 ABC 三个顶点的坐标分别为、 、 ,则1A(x,y)2B3C(xy)ABC 的重心的坐标是.31,G 三角形五“心”向量形式的充要条件设 为 所在平面上一点,角OABC所对边长分别为 ,则, ,abc(1) 为 的外心(中垂线).22(2) 为 的重心(中线).0AB(3) 为 的垂心(高)OC.A(4) 为 的内心(角平分线).0abc不等式 常用不等式:(1) (当,R2ab且仅当 ab 时取“=”号)(2) (当,且仅当 ab 时取“=”号)(3)柯西不等式 - 13 -,()()( 21
25、2121 baba当且仅当 时取“=”号)ii(4) .直线方程 两条直线的平行和垂直 ;1212|,lkb .两直线垂直的充要条件是 ;即:120AB12l 点到直线的距离 (点 ,直02|xyCd0)Pxy线 : ).lAB圆 直线的参数方程. (t 为参数)sinco0tyx 圆的参数方程 . csiarb( 为参数)椭圆 椭圆 的参21(0)xyab数方程是 .( 为参cosin数) 焦点三角形:P 为椭圆上一点,21(0)xyab则三角形 的面积 S=2F特别地,若21tn;b此三角形面积为 ;12,P2b 在椭圆 上21(0)xyab存在点 P,使 的条件2F是 cb,即椭圆的离心
26、率 e 的范围是 ;2,1)双曲线 双曲线的方程与渐近线方程的关系(1) 渐近线方程:12byax.20x(2)若渐近线方程为 ay双曲线可设为 .byax 2b(3)若双曲线与 有公共渐12yax近线,可设为 ( ,焦2b0点在 x 轴上, ,焦点在 y 轴上).0 焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长度(即 b 值)抛物线 焦点与准线 2(0),(,);44aayaxx抛 物 线 焦 点 是 准 线抛 物 线 焦 点 是 准 线 y 焦半径公式抛物线 ,C 2(0)ypx为抛物线上一点,焦半径0(,)x.2CF 过抛物线 (p0)的焦点 Fpxy- 14 -的直线与抛物线相交于 221211(
27、,),),4,(4AxyBypxO则 有即 k.K=-为 原 点 。/ BAkp即 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 22221212)|tan|txxyco 比如在椭圆中: 1222 2201212(,)(,M(0,):()(1) ()()AxyByabxyxbbyaya中 点 则 有(1)-(2) 0k立体几何 直线 的方向向量为 a,直线l与平面所成的角为 ,平面的法向量为 u,直线 与平面l法向量的夹角为 ,则acosin 二面角的两个面的法向量的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小。 异面直线间的距离 ( 是两异面直线,其|CDnd12,l公垂向量为 , 分别是 上任一、 12,l点
28、, 为 间的距离).12,l .点 到平面 的距离 B( 为平面|And的法向量, 是经过面的一条斜线, ). 面积射影定理 .(平面多边形及cosS其射影的面积分别是 、S,它们所在平面所成锐二S面角的为 ). 球的半径是 R,则其体积,其表面积3V4S 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. 棱长为 的正四面体的内切a球的半径为 ,外接球的61半径为 .4 柱体、锥体的体积Sh( 是柱体的底面积、 是3VSh柱 体 h柱体的高).( 是锥体的底面积、1锥 体是锥体的高).h组合数公式 = = =mnCAmn21)1().! ! )( 二项式定理 nrnrnnn bCabaCab 210
29、二项展开式的通项公式.rrrCT1 )2(, 概率 n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率()().nknPP 离散型随机变量的分布列的两个性质(1) ;0(1,2)i(2) . 数学期望 - 15 -12nExPxP 数学期望的性质(1) .()(ab(2)若 ,则 .BnpE 方差 22211 nnDxxpxEp 标准差 = .D 方差的性质 (1);2ab(2)若 ,则(,)Bnp.1D 正态分布密度函数26,xfxe,式中的实数 , ( 0)是参数,分别表示个体的平均数与标准差. 标准正态分布密度函数.21,6xfxe 对于 ,2(,)N.860XP,954.2(7)33 回
30、归直线方程 ,其中yabx.1122nniiiii iiyxyxayb点 在回归直线上。),(P不能期望回归方程得到 y 的预报值就是预报变量 y 的精确值。 相关系数 |r|1,且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近于 0,相关程度越小。|r|时认为两变量有很强的线75.性关系。 列联表独立性分析 2121)((99的把握)0.)635.(P(95的把握)842导数 几种常见函数的导数 (1) (C 为常数).0(2) . (3) 1()()nxQ.cos(sin(4) . (5) xi; .x)l ealog)(l(6) ; .xexn 导数的运算法则(1). (2)()uv.(3) .2()(0)v .复合函数的求导法则 设函数 在点 处有导数ux,函数 在点 处的对()x)(fyx应点 U 处有导数 ,则复合函数u在点 处有导数,且yf,或写作xux. ()()ff .判别 是极大(小)值的0方法当函数 在点 处连续时,)(xf(1)如果在 附近的左侧 ,右00)(xf侧 ,则 是极大值;ff- 16 -(2)如果在 附近的左侧 ,右0x0)(xf侧 ,则 是极小值.)(f)(f复数 复数的相等.,abicdiacbd( ),R .复数 的模(或绝对值)z= = .|i2