1、2015年上海市高中数学竞赛试卷 2015年3月29日上午9：3011：30 【说明】解答本试卷不得使用计算器解答请写在答题纸上. 一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1 等差数列 na中，对任意正整数n，都有1458nnaan ，则2015a 2对整数3nt，记23 1() log3log4 lognfn n ，则 23(2 ) (2 )ff 10(2 )f 3. 有10个大小相同的小球，其中5个是红球，5个是白球现将这10个球任意排成一排，并从左至右依次编号为1，2，10. 则红球的编号数之和大于白球的编号数之和的排法共有 种 4. 在直角坐标平面xOy上
2、，圆22:1Ox y ，圆221:( 3) 4Ox y 过x轴的左半轴上一点M作圆O的切线，与圆O相切于点A，与圆1O分别相交于点,BC，若AB BC ，则点M的坐标为 5. 已知 55cos( ) 3(sin cos ), ,4STTTTSS ，则T的取值范围是 6. 投掷两次骰子，设第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，则使得关于x的二次方程20xaxb 有两个小于1的不相等实根的概率为 （用数字作答） 7. 已知集合 ,32,Axyxmy mmN ， 2,(1),BxyxnyaannN ，则使得ABz的整数a共有 个 8. 若实数,xy满足313 2xx y y ，则xy的最大值为
3、 二、解答题 9（本题满分14分）在直角坐标平面xOy上，已知点,AB在双曲线22:2 4 0Cx xy 上，且使得OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求所有这样的OAB的个数 10（本题满分14分）已知p为素数，n为正整数非负整数01, ,naa a均小于p，且满足 012201 213,2015.nnnaaa aaapap ap 求素数p 11（本题满分16分）如图，已知ABC的面积为1，过ABC内一点O分别引三条边的平行线,DE FG HI，点, ,DEFGHI均在ABC的边上，求六边形DGHEFI的面积的最小值 GIHFEDOCBA12（本题满分16分）设n是正整数，数列12:,n
4、Aaa a是由数0或1组成的数列，即0ka 或1 (1 )kndd （1）若3nt，由数列A定义另一个数列/ /12:,nAaa a，其中 11/110, ,1,kkkkkaaaaa z若若，1, 2, ,kn ， 这里011,nnaaa a 求使得/1, 1, 2 , ,kkaa k n 的所有数列A（本小题只需写出结果，不需解题过程） （2）求使得12 naa a除以4余3的数列A的个数 2015年上海市高中数学竞赛答案 一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 14000 254 3126 4( )4, 0 53,44nullnullnullnullnulln
5、ullnullnullnullnullnullnull* 6112 710 89 3 15+ 二、解答题 9（本题满分14分）在直角坐标平面xOy上，已知点,AB在双曲线22:2 4 0Cx xy+=上，且使得OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求所有这样的OAB的个数 解 设:OAl ( 0)ykxk=，则1:OBly xk=由 22,24 0ykxxxy=nullnull+=null得 ( )22240kx x+=， 所以220k，242Axk=，于是22412OA kk=+ 4分 同理可得，222214 41() 1121() 2kOB kkkk=+ =+ 6分 因为OAB是以O为直
6、角顶点的等腰直角三角形，所以OA OB=，于是 224411221kkk+=+， 所以 221221kkk= 若22122 1kkk=，则322210kkk+=，即2(1)( 31)0kkk+=，解得 12 335 351, ,22kk k+= = = 10分 若221221kkk=，则322210kkk+=，即2(1)( 31)0kkk+=，解得 45 635 351, ,22kk k += = 12分 因为14 25 361kk kk kk=，所以由1k和4k得到的两个三角形是相同的，同样，由2k和5k得到的两个三角形是相同的，3k和6k得到的两个三角形也是相同的 综上所述，满足题意的AB
7、C共有3个 14分 10（本题满分14分）已知p为素数，n为正整数非负整数01,naa a“均小于p，且满足 012201 213,2015.nnnaaa aaapap ap+=nullnullnull+ + =nullnull“求素数p 解 由题设可得 2121) ( 1) ( 1) 2002nnap ap a p+ + =“（， 于是1p是2002 2 7 11 13=的正约数 4分 若2p =，则( )102naaa“ 是2015的二进制表示，因为 ( )22015 11111011111=， 而1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 11 13+= ，矛盾 6分 若2p ，则p是奇
8、数，于是1p是偶数， 1 2 7, 2 11, 2 13, 2 7 11, 2 7 13, 2 11 13, 2 7 11 13p= ， 又p是素数，故p只可能是3, 23, 2003 8分 若3p =，则( )103naaa“ 是2015的三进制表示，因为( )32015 2202122=，而 2 2 1 2 0 2 2 11 13+= ，矛盾 10分 若23p =，则( )1023naaa“ 是2015的23进制表示，因为 22015 3 23 18 23 14= + +， 而14 18 3 13+，矛盾 12分 若2003p=，则( )102003naaa“ 是2015的2003进制表示
9、，因为 2015 1 2003 12= +， 而1 12 13+=，满足题设条件 综上所述，欲求的素数p为2003 14分 11（本题满分16分）如图，已知ABC的面积为1，过ABC内一点O分别引三条边的平行线,DE FG HI，点, ,DEFGHI均在ABC的边上，求六边形DGHEFI的面积的最小值 解 由题设，四边形AGOH，四边形BIOD，四边形CEOF均为平行四边形 又由题设知，GDOABC，OIFABC，HOEABC，而相似三角形的面积比等于相似比的平分，于是 222GDO OIF HOEABC ABC ABCSSS DO IF OESSS BCBCBCnullnullnullnul
10、lnullnull+= + +nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull222BI IF FCBC BC BCnullnullnullnullnullnull=+nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull21133BI IF FCBC BC BCnullnull+=nullnullnullnull， 从而 13GDO OIF HOESSS+ 10分 所以 ( )12AGH BID CEF AGOH BIOD CEOFSSS SSS+= + 1 111( ) (1 )2 233ABC GD
11、O OIF HOESSSS=+=， 故 ()DGHEFI ABC AGH BID CEFSSSSS= + 12133 =， 14分 当O为ABC的重心时，上述不等式等号成立所以，六边形DGHEFI的面积的最小值为23 16分 GIHFEDOCBA12（本题满分16分）设n是正整数，数列12:,nAaa a“是由数0或1组成的数列，即0ka =或1(1 )kn （1）若3n，由数列A定义另一个数列/ /12:,nAaa a“，其中 11/110, ,1,kkkkkaaaaa+=null=nullnull若若，1, 2, ,kn=“， 这里011,nnaaa a+= 求使得/1, 1, 2, ,k
12、kaa k n+= =“的所有数列A（本小题只需写出结果，不需解题过程） （2）求使得12 naa a+“除以4余3的数列A的个数 解 （1）数列:1,1, ,1A“；当n是3的倍数时，数列A还有如下三个解： :0,1,0,0,1,0, ,0,1,0A“； :0,0,1,0,0,1, ,0,0,1A“； :1,0,0,1,0,0, ,1,0,0A“ 4分 （2）设,nnnnxyzu分别表示12 naa a+“除以4余数为0,1, 2, 3的数列A的个数nx其实表示12,naa a“中有0个1，4个1，的数列A的个数，于是 04nnnxCC=+“同理，15nnnyCC=+“，26nnnzCC=+
13、“，37nnnuCC=+“ 6分 因为 ( )01221i i i i i innnnn n nnnnnCC C Cxyzu+=+ + =+“， ( )1i i +innnnnxyzu=， 所以 (1 i) (1 i)2innnnyu+= 又 135 12nnn n n nyuCCC+=+=“， 所以 2(1 i) (1 i)24innnnu+= 12分 注意到 22(1 i) (1 i) 2i, (1 i) (1 i) 4i+= + =， 33 44(1 i) (1 i) 4i (1 i) (1 i) 0+= +=， 及 44(1 i) (1 i) 4 (1 i) (1 i) , 1, 2,kk kkk+nullnull+=+ =“， 所以 111(4) 2i, 4 3,( 4) 4i, 4 2,(1 i) (1 i) 1, 2, .( 4) 4i, 4 1,0, 4,kknnknknkknknknull =null =null+= =null =nullnull=null“若若若若于是有 45 1 2344 1 2243 1 22422(1)2, 43,2(1)2, 42,2(1) , 41,2, 4.kkkkkknkkkknknkunknknull = null = null=null = nullnull=null若若若若16分
