1、12016 年高考数学 中等生百日捷进提升系列 专题 08 立体几何（含解析）【背一背重点知识】1柱、锥、台、球的结构特征（1）柱：棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.（2
2、）锥：棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面.（3）台：棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点.圆台：用一个平行于底
3、面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴（4）球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径.(5)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形(6)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中
4、心2空间几何体的直观图2（1）斜二测画法建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 OX，OY，建立直角坐标系；画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的 OX,OY,使XOY=450（或 1350） ，它们确定的平面表示水平平面；画对应图形，在已知图形平行于 X 轴的线段，在直观图中画成平行于 X轴，且长度保持不变；在已知图形平行于 Y 轴的线段，在直观图中画成平行于 Y轴，且长度变为原来的一半；擦去辅助线，图画好后，要擦去 X 轴、Y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）.画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就
5、可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法.（2）平行投影与中心投影：平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点.3.几种常凸多面体间的关系4.一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质名称 棱柱 直棱柱 正棱柱图形3定 义有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体侧棱垂直于底面的棱柱底面是正多边形的直棱柱侧棱 平行且相等 平行且相等 平行且相等侧面的形状 平行四边形 矩形 全等的矩形对角面的形状 平行四边形 矩形 矩形平行于底面的截面的形状与底面全等的多边形与底面全等的多边形与底面全等的正多边形名称 棱锥 正棱锥 棱台 正
6、棱台图形定义有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的射影是底面和截面之间的部分用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分由正棱锥截得的棱台侧棱相交于一点但不一定相等相交于一点且相等延长线交于一点相等且延长线交于一点侧面的形状三角形 全等的等腰三角形梯形 全等的等腰梯形对角面的形状三角形 等腰三角形 梯形 等腰梯形4平行于底的截面形状与底面相似的多边形与底面相似的正多边形与底面相似的多边形与底面相似的正多边形其他性质高过底面中心；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等两底中心连线即高；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两
7、侧面所成角都相等几种特殊四棱柱的特殊性质名称 特殊性质平行六面体底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分直平行六面体侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分长方体底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该点平分正方体棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分5多面体的面积和体积公式名称 侧面积( )S側 全面积( )S全 体 积 ( )V棱柱 直截面周长 l = 底 hS直 截 面 l棱柱 直棱柱 ch+2 側 底底棱锥 各侧面积之和棱锥 正棱锥 12+S側 底 31S底 h棱台 各侧面面积之和棱台 正棱台 ch+ +側
8、 上 底 下 底( + +上 底 下 底 S上 底 下 底)5表中 表示面积， 分别表示上、下底面周长，h 表斜高，h表示斜高，l 表示侧棱长.S,c6旋转体的面积和体积公式名称 圆柱 圆锥 圆台 球侧S2rlrl12rl全 21r24RV(即 )2rh2l213rh2123h3表中 、 分别表示母线、高， 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径， 分别表示圆台 上、l 1,r下底面半径， 表示半径.R7.空间几何体的三视图三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形.他具体包括：（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；（2）侧视图：物体左右方向投影所
9、得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度.三视图画法规则高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐，长对正：主视图与俯视图的长应对正，宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等【讲一讲提高技能】1.必备技能：（1）解决三视图问题的技巧：空间几何体的数量关系也体现在三视图中，正视图和侧视图的“高平齐” ，正视图和俯视图的“长对正” ，侧视图和俯视图的“宽相等” 也就是说正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，6侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画
10、出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚” 在三视图的判断与识别中要特别注意其中的“虚线” （2） 求体积常见方法直接法（公式法）直接根据相关的体积公式计算；转移法：利用祖暅原理或等积变化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积；分割法求和法：把所求几何体分割成基本几何体的体积；补形法：通过补形化归为基本几何体的体积；四面体体积变换法；利用四面体的体积性质：（）底面积相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（）高相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（）用平行于底面的平面去截三棱锥，截得的小三棱锥与原三棱锥的体积之比等于相似比的立方.求多面体体积的常用技巧
11、是割补法（割补成易求体积的多面体.补形：三棱锥 三棱柱平行六面体；分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是 1：2：3 和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等.（3）求体积常见技巧当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割” 、 “补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、
12、正方体等另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素（4）组合体的表面积和体积的计算方法实际问题中的几何体往往不是单纯的柱、锥、台、球，而是由柱、锥、台、球或其一部分组成的组合体，解决这类组合体的表面积或体积的基本方法就是“分解” ，将组合体分解成若干部分，每部分是柱、锥、台、球或其一个部分，分别计算其体积，然后根据组合体的结构，将整个组合体的表面积或体积转化为这些“部分的表面积或体积”的和或差易错提示 空间几何体的面积有侧面
13、积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间7几何体中“暴露”在外的所有面的面积，在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积” 多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和对于简单的组合体的表面积，一定要注意其表面积是如何构成的，在计算时不要多算也不要少算，组合体的表面积要根据情况决定其表面积是哪些面积之和（5）与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，
14、正方体的体对角线长等于球的直径球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点” 、 “接点”作出截面图.（6）求解几何体体积的策略及注意问题(1)与三视图有关的体积问题关键是准确还原几何体及弄清几何体中的数量关系(2)计算柱、锥、台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高(3)注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握(4)注意组合体的组成形式及各部分几何体的特征1.典型例题：例 1 圆台上、下底面面积分别为 、 4, 侧面积是 6, 这个圆台的高为 分析：本小题主要涉及圆台
15、侧面积公式，解直角三角形的知识.【解析】例 2 一个正方体的内切球 、外接球 、与各棱都相切的球 的半径之比为（ ）1O2 3O（A） （B） （C） （D）1:3:31:2【答案】C【解析】试题分析：设正方体的棱长为 ，那么其内切球的半径 ，外接球的半径 （对角线的121238一半） ，与各棱都相切的球的半径 （面对角线的一半） ，所以比值是 ，故选2 231：C【练一练提升能力】1. 一个 的长方体能装卸 8 个半径为 1 的小球和一个半径为 2 的大球，则 的最小4h h值为 （ ）A B C D8262742【答案】B【解析】2. 点 均在同一球面上，且 、 、 两两垂直，且 DCBA
16、, ABCD，1AB，2C,则该球的表面积为（ ）3A B C D71427347【答案】B【解析】以 A 为顶点构造长方体，则该球为长方体的外接球，故，所以 ，从而球的表面积为 22=14RBCD142R14异面直线所成的角【背一背重点知识】1.异面直线所成的角（1）定义：设 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 ，把 与 所,ab ,abAab9成的小于或等于 .叫做异面直线 与 所成的角.09ab（2）范围： (,2【讲一讲提高技能】1.必备技能：异面直线所成的角的范围是 2,0(.求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决具体步骤如下：
17、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；证明作出的角即为所求的角；利用三角形来求角; 补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角 .2.典型例题：例 1 已知在直三棱柱 中， ， ，则直线1CBACB2190A与 夹角的余弦值为( )BCAA B C D535553【答案】A【解析】例 2 直三棱柱 ABCA 1CB的底面为等腰直角三角形 ABC，C90 0，且,1aAC则 与 1所成角为（ ）A.300 B.450 C.600 D.90010EDFB1C1A CBA1分析：过 得中点 F，分别作 ,
18、的平行线，解三角形可得11BA【解析】过 得中点 F，分别作 , 的平行线因为C1. .所以 .故选 D.235,2aaDFED22EDF09DFE【练一练提升能力】1.【从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为 的共有（ ）6A.24 对 B.30 对 C.48 对 D.60 对【答案】C2. 在正四棱锥 P-ABCD 中，PA=2，直线 PA 与平面 ABCD 所成角为 60，E 为 PC 的中点，则异面直线 PA 与 BE 所成角为（ ） A B C D90604530【答案】C11【解析】连接 交于点 ，连接 , .因为 为 中点，所以 ，,ACBDOEPCOEPA所以
19、 即为异面直线 与 所成的角.因为四棱锥 为正四棱锥，所以OEPABD，所以 为 在面 内的射影，所以 即为 与面P面 ABCDP所成的角，即 ，因为 ，所以 ， .所以在直ABC=6021E角三角形 中 ，即面直线 与 所成的角为 .E45BPE45直线、平面平行、垂直的判定与性质【背一背重点知识】1.直线与平面平行（1）判断定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（线线平行 线面平行）即： ，且 .,ababA其它判断方法： ,A（2）性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（线面平行 线线平行）即： ,alalAA2.平
20、面与平面平行（1）判断定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（线面平行 面面平行） .即： .,abaMbAA（2）性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（面面平行 线线平行）.即： ,aA3.直线与平面垂直：（1）定义：若直线 与平面 内的任一条直线都垂直，则直线 与平面 垂直.l l（2）判断定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（线线垂直线面垂直）.即： ,ablabPl（3）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.即： ,abA124.平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二
21、面角，就说这两个平面互相垂直.（2）判断定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.即： ,a（3）性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一平面垂直.即： ,ba【讲一讲提高技能】必备技能：1. 证明线线平行的方法：（1）平行公理；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量平行.要注意线面、面面平行的性质定理的成立条件.2.线面平行的证明方法：（1）线面平行的定义；（2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量法：证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平行；证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直. 线面平行的证明
22、思考途径：线线平行 线面平行 面面平行. 证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线；利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；3.面面平行的证明方法：反证法:假设两个平面不平行，则它们必相交，在导出矛盾；面面平行的判断定理；利用性质:垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；平行于同一个平面的两个平面平行. /,/； 向量法：证明两个平面的法向量平行.4.证明线线垂直的方法：（1）异面直线所成的角为直角；（2）线面垂直的性质定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）三垂线定理和逆定理；（5）勾股定
23、理；（6）向量垂直.要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性，垂直关系的多样性.5.线面垂直的证明方法：（1）线面垂直的定义；（2）线面垂直的判断定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）向量法：证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互平行.线面垂直的证明思考途径：线线垂直 线面垂直 面面垂直.6.面面垂直的证明方法：定义法；面面垂直的判断定理；向量法：证明两个平面的法向量垂直.13解题时要由已知相性质，由求证想判定，即分析法和综合法相结合寻找证明思路，关键在于对题目中的条件的思考和分析，掌握做此类题的一般技巧和方法，以及如何巧妙进行垂直之间的转化.7
24、.证面面垂直，关键是考虑证哪条线垂直哪个面.这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑；条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理.已知两平面互相垂直，我们就要两平面互相垂直的性质定理；在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式（如勾股定理）证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视两个平面垂直的性质定理，这个定理已知的是两个平面垂直，结论是线面垂直2 典型例题：例 1 已知 ,ab是两条不同直线， 是一个平面，则下列说法正确的是（ ）A若 /b ，则 /a B若 ，b ，则 bC若 a， ，则 / D若 ，b ，
25、则 a【答案】C【解析】例 2 平面 /平面 ，直线 /，直线 ，那么直线 与直线 b 的位置关系一定aba是 （ ）A平行 B.异面 C.垂直 D.不相交分析：由于面面平行以及直线垂直平面可得两直线垂直关系.解析：由于平面 /平面 ，直线 ，所以 平面 ，又因为直线 /，所以baa.故选 C.ba【练一练提升能力】1. 设 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，给出下列命题，正确的是（ nm, ,14）A若 ，则 ,mB若 ， ，则/C若 ，则 ,D若 ，则mn/【答案】B【解析】试题分析：A 中如果 是 的交线时， 不成立，A 错；B 中，由于 ，因此,m/m平面 内存在与 平行的直线 ，
26、又 ，则 ，所以 ，B 正确；让一本书mnn的书脊与桌面垂直，则书里每页纸所在平面都是与桌面垂直，但它们之间不垂直，C 错；三棱柱的两个侧面与第三个侧面都相交，但这两个侧面也相交，D 错故选 B2. 如图， PA O 所在平面， AB 是 O 的直径， C 是 O 上一点， AE PC， AF PB，给出下列结论： AE BC； EF PB； AF BC； AE平面 PBC，其中真命题的序号是_【答案】直线与平面所成的角【背一背重点知识】1.直线与平面所成的角15（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.（2）线面角 的范围： .0,2【讲一讲提高
27、技能】1 必备技能：直线与平面所成的角的范围是 2,0.求线面角方法:利用面面垂直性质定理，巧定垂足：由面面垂直的性质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径.利用三棱锥的等体积，省去垂足,在构成线面角的直角三角形中，其中垂线段尤为关键.确定垂足，是常规方法.可是如果垂足位置不好确定，此时可以利用求点面距常用方法-等体积法.从而不用确定垂足的位置，照样可以求出线面角.因为垂线段的长度实际就是点面距 h,利用三棱锥的等体积，只需求出 h，然后利用 斜 线 段 长hsin进行求解.妙用公式，直接得到线面角课本习题出现过这个公式： 21coscos，如图所示：21,OBCABC.
28、其中 为直线 AB 与平面所成的线面角.这个公式在求解一些选择填空题时，可直接应用.但是一定要注意三个角的位置，不能张冠李戴.万能方法，空间向量求解不用找角设 AB 是平面 的斜线，BO 是平面 的垂线，AB 与平面 所成的角 BAO,向量AB与 n的夹角 ABO，则 sincoABn.注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若 为线面角， 为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有 ；16（3）确定点的射影位置有以下几种方法：斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分
29、线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；2 典型例题：例 1 如图，在长方体 中， ， ，则 与平面1ABCD2BCA1A1
30、BC所成角的余弦值为（ ）BDA B C D【答案】DDBA C17【解析】例 2 已知正四棱柱 的正弦11 12,ABCDABCD中 ， 则 与 平 面 所 成 角值等于 （ ）A B C D3333A1 B1C1BDCAED1分析：通过等体积法求出点 C 到面的距离，从而解出正弦值.【解析】设 AB=1， 平面 ,所以 为 CD 与平面所成的角.又因为E1DE,所以 .所以 .故选 A.1CBDBCV23ch2sin3【练一练提升能力】1. 如图，在正方体 中，点 为线段 的中点.设点 在线段 上，1ABCOBDP1C直线 与平面 所成的角为 ，则 的取值范围是（ ）OP1sinA B C
31、 D3,6,362,32,1318【答案】B2.长方体 中，已知二面角 的大小为 ，若空间有一条直线 与1ABCD1ABD6l直线 所成角为 ，则直线 与平面 所成角的取值范围是（ ）14l1（A） （B） （C） （D）5,2,25,250,12【答案】A【解析】试题分析：如图所示，过点 作 ，连接 ，则 ，则 为二ABOA1OB11A面角，所以 ，因为 ，取角 的角平分线 ，此时 即为611/CM直线 ，过点 做 ，即 平面 ，此时直线 与平面 所成角的最lPDlD1大角是 ，另外一种情况是 ，125641 MOAA 4AN，此时直线 为直线 ，则直线 与平面平面 所成最小角为NOlNB1
32、，所以直线 平面 所成角的范围是311PlD，故选 A25，19（一） 选择题（12*5=60 分）1. 设 是不同的直线， 是不同的平面，有以下四个命题：nm、 、若 ， ，则 若 ， ，则/mnnm/若 ， ，则 若 ， ，则 ./n其中真命题的序号为（ ）A. B. C. D. 【答案】 D2.如图，等边三角形 的中线 与中位线 相交于 ，已知 是 绕ABCFDEGEDA旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（ ）DE20A动点 在平面 上的射影在线段 上 ABCAFB恒有平面 平面GFDEC三棱锥 的体积有最大值 D异面直线 与 不可能垂直【答案】D【解析】3.已知三棱柱 的 6
33、个顶点都在球 的球面 ，1CBAOACBA,4,3则球 的半径为（ ）12AOA B C D7310221310【答案】C【解析】试题分析：由已知条件可知,直三棱柱的上下底面是两个相等的小圆所在的平面，且 和BC分别是两小圆的直径，则 ，设球的半径为 ，则1BC5BCR,故选 C22211()()A34. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为 （ ）21A B C D42348【答案】A【解析】试题分析：由三视图知该几何体是四棱锥，其底面面积为 ，高为1(24)6S，所以 故选 A2(5)1h16243VSh5. 点 在同一个球的球面上， ， ，若四面体ABCD、 、 、 BC2体积的最大值为
34、 ，则这个球的表面积为 （ ）A 3 B C D 12568254516【答案】C 小10小DCBO1OA6. 为正方体，下列结论错误的是（ ）D122A. B.BD1CBDAC1C. D. 1A1【答案】D7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为 （ ） A B C D262523【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知该几何体的直观图如图所示:此四棱锥中面 面 ，底面 为边长为 1 的正方形，四棱锥的高为 1AEDBCDE， 112,22AEDAESS52ACDS所以 C 正确238. 已知 和 是两条不同的直线， 和 是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定m
35、n能推出 的是 （ ）（A） 且 （ B） 且 （C） 且 （D）mAnA且mn【答案】C【解析】本题考查线面垂直的问题， 中直线 与平面 的位置关系不确定，平行，,AB垂直，相交，线在面内都有可能， 是线面垂直的判定定理， 中直线与平面没有一点点CD的关系，应选 C9. 三棱柱 侧棱与底面垂直，体积为 ，高为 ，底面是正三角形，若1AB943是 中心，则 与平面 所成的角大小是（ ）P1PABA. B. C. D. 2346【答案】BOPC1B1A1CBA10. 已知正四棱锥 的侧棱长与底面边长都相等， 是 的中点，则SADESB24所成的角的余弦值为（ ）,AESDA B C D13233
36、23【答案】C【解析】11. 如图，三棱柱 中，侧棱 底面 ，底面三角形 是正三1ABC1A1BC1ABC角形， 是E的中点，则下列叙述正确的是（ ）BCA 与 是异面直线1CBEB 平面1AC 平面1/D ， 为异面直线，且E1 1EBC【答案】D【解析】试题分析：A 不正确，因为 与 在同一侧面中，故不是异面直线；B 不正确，由题1意得知，上底面 是一个正三角形，故不可能存在 平面 ；D 不正确，因BCAC1BA1B1C1ABEC25为 为在两个平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，故选 D1,AEBC12. 设 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,下列命题正确的是（ ）mnA ,
37、nA且 则B 且 ,则,mC , mn则D ,则 ,A【答案】B【解析】（二） 填空题（4*5=20 分）13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 【答案】200【解析】如图所示，该几何体是棱长分别为 4，8，10 的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，由图知 284V10214. 一个棱长为 6 的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为 【答案】 2【解析】由题意，正方体在正四面体的内切球内，求出内球的直径，就是正方体的对角线26的长，然后求出正方体的棱长，设球的半径为 ，由正四面体的体积得r，解得 ，设正方体的最大棱长为 ，222 6
38、36431314 r 26x则 ，解得 ，故答案为 .6xx15. 已知平行六面体 1ABCD， 1AC与平面 1BD， 1C交于 ,EF两点。给出以下命题，其中真命题有_(写出所有正确命题的序号)D1 C1A1 B1ABCDEF点 ,F为线段 1的两个三等分点； 1 1233EDCA；设 1中点为 M， D的中点为 N，则直线 M与面 1ADB有一个交点； 为 B的内心；设 K为 1C的外心，则 1KBEDAFV为定值.【答案】【解析】试题分析：对，在对角面 中可看出点 ,E为线段 1AC的两个三等分点；正确.1C27FECAC1A1 ；故错；111 122()333DCABDABAD对，取 中点为 R，则易证面 面 .故错 ；MN 为 1的 边的中线，故 E为不一定为 1的内心（实际上是重心）.故1AE错；设 K为 1BCD的外心，则 1KBEDAFV，为 定值.正确.13BA16. 如图， 圆 所在的平面， 是圆 的直径， 是圆 上的一点， 分别POOC,EF是点 在 上的射影，给出下列结论：A, ； ； ； ；AFPBEAFBCEPBC平 面其中正确命题的序号是 【答案】【解析】28
