1、1对数学中考应用性问题的粗略探究赣州市教研室 林望春 九年制义务教育阶段, 数学安排了四个部分的课程内容:“数与代数” , “图形与几何” , “统计与概率” , “综合与实践” ;为了适应时代发展对人才培养的需要,义务教育阶段的数学教育要特别注重发展学生的实践意识和创新意识;通过义务教育阶段的数学学习,学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验(四基) ;在数学教学中,应当注重发展学生的数学能力,它包含数感、符号意识、空间观念、几何直观、 数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想等八个方面的成分数学中考应用性问题是对初中数学中“能够运用所学知
2、识解决简单的实际问题”的能力的考查,具体要求是考生应具有“能够解决社会生产和日常生活中的简单实际问题,解决带有实际意义的和相关学科中的数学问题;能够使用数学语言表达问题,展开交流,形成用数学的意识;会从数学的角度发现和提出问题,并用数学思想方法加以探索、研究和解决;会将实际问题抽象为数学问题,建立起数学模型,从而解决问题并拓宽自己的知识”数学中考应用性问题思考与解答的过程,最主要的特点就是:由现实情意(非数学),抽象概括出数学问题;进而解决数学问题,使原问题获解。其中的“由非数学到数学”是最为关键的一步。2以下是“用数学模型解决实际问题”的程序框图,您能在三条横向或纵向的实线上,添上正确的方向
3、箭头表示流程,并在括号内填写这一步流程的核心要求吗?解答:第一箭头水平向右、(理解、转化、建立模型);第一箭头竖直向下、(数学求解);第三第一箭头水平向左、(检验、验证)等等;初中阶段经常涉及到的数学模型通常有:方程、不等式(组)、函数、几何图形的边角关系(解直角三角形)、统计概率等;检验:检验验证与实际是否相符合“由非数学到数学”,就是将实际问题归属到对应的数学模型,是化归思想的典型表现;绝大多数情况下,或化归到函数模型,或化归到方程(不等式)模型,或化归到基本图形(特别是直角三角形)模型,或者是以上的综合,因此,可以这样说:解决数学应用性问题的能力实质就是“化归到数学模型”的能力命题趋势
4、以解决实际问题为目标的数学应用题,是整个初中数学的一个重点和难点,随着新的数学教育理论的变化,数学应用题成为了近几年中考命题的热点,成为考察学生创新意识和实践能力的重要渠道首先,应用题的题量普遍增加,有一卷多道应用题的趋势(江西卷一般有 12 个小题,一个中档数学应用题;若包含统计、概率类试实际问题实际问题的解答(理解、转化、建立模型 )( 检验、验证 )数学问题的解(数学求解) 数学问题(模型)3题,分值比约占 2528);其次,应用题的选材大为拓展:多数试题的取材不局限于工程、行程等老面孔,而纷纷取材于国情国策、环保生态、市场决策、统计核算、生产生活等内容,即充分展示了数学应用的广阔空间,
5、又可体现数学的教育价值与文化价值T1、( 2010 江西 T23,9 分)图 1 所示的遮阳伞,伞炳垂直于水平地面,如示意图 2,当伞收紧时,点 P 与点 A 重合;当伞慢慢撑开时,动点 P 由 A 向 B 移动;当点 P 到达点 B 时,伞张得最开已知伞在撑开的过程中,总有 PM=PN=CM=CN=6.0 分米,CE=CF =18.0分米,BC =2.0 分米设 AP= x 分米(1)求 x 的取值范围; (2)若CPN=60,求 x 的值;(3)设阳光直射下伞的阴影(假定为圆面)面积为 y,求 y 与 x的关系式(结构保留 )。评析:本题情境考生很熟悉,中考前夕的连日暴雨,雨伞在雨天带给大
6、家的是一份温馨和关爱;一看题很有亲切感,但看完题却又感到很迷惘,关键是因为得不到雨伞张合过程中 PC、EF 的大小变化关系例 1 题图2010 年江西省数学中考第 23 题某县市考生得分分布统计截图(样本约 7000 人)4反思:提供本题某县市考生得分分布统计截图,统计结果是:约有 45%以上的考生没有动手而得 0 分,小部分考生本题只能得到14 分,得 58 分的考生已经很少,能得 9 分的考生仅约占 2%。雨伞的张合,支撑点 P 的运动,引发图形的变化、线段长短的变化和几何模型的建立,具有了深邃的探究空间和需要很强的探究能力考生答题情况:第(1)问部分考生不知道当伞收紧时,AC=MC+MP
7、=12;故而不知道 x 的最大值和最小值(事实上,当点P 推至点 B 时,PA 最大=AB=12-2=10 ; 所以的 x 取值范围是)01x(2)因为 CN=PN,CPN=60,所以PCN是等边三角形所以 CP=6 分米,所以 AP=AC - PC=12 - 6=6;即当CPN=60时,x =6 分米;第(2)问考生的典型错误解法:连接 AN;则ANC=90,CAN=30,故 AC=2CN=12,x=AP=AC PC=6;第(3)问绝大多数考生不知道做,但本题有部分考生的其它解法,却会比标准答案更具有思维的深刻性:如图,连接 EF 交 CP 于点 H,过 P 作 PDCP 交 CF 于 D,
8、(选择过点 P 处作辅助线更加自然、顺势,思维更流畅!)则PCD+ PDC=90;CN=PN=6,NCP= NPC;又NPC +NPD=90,CM NE FDPAH例 2 题解答链接江西省 2010 年 T23 几何画板演示5NPD=NDP;PN=DN,CD=12在 RtCDP 中,CP= ACAP=12x ;PD2=CD2CP 2=122(12x) 2=x 2 +24 x;CM=CN=NP=MP,四边形 PNCM 是菱形;PC 平分 MCN;CE=CF, CHEF;CPDCHF ; 3218CFDHP, 942HFP xx5)(49222 , )5(22Ey,即 y492 T2、( 2010
9、 年江西,第 21 题,8 分) 剃须刀由刀片和刀架组成.某时期,甲、乙两厂家分别生产老式剃须刀(刀片不可更换)和新式剃须刀(刀片可更换)有关销售策略与售价等信息如下表所示:某段时间新式剃须刀老式剃须刀刀架 刀片售价2.5(元把)1(元把) 0.55(元片)成本2(元把)5(元把) 0.05(元片)例 2 题图6内,甲厂家销售了 8400 把剃须刀,乙厂家销售的刀片数量是刀架数量的 50 倍,乙厂家获得的利润是甲厂家的两倍,问这段时间内乙厂家销售了多少把刀架?多少片刀片?评注:应用题是中考中的必考内容之一,本题设计创意来源于吉列公司发展的成功经验免费经济学原理;初看本题会觉得奇怪:怎会出现“负
10、利润”?直觉,不可能? 经过仔细计算,会发现两种销售策略的优劣(一次函数图像延伸的模型);本题通过构建一元一次方程的等量关系,综合考查数与式、方程的解法及在实际问题中的分析与解决问题的能力,更是让学生开阔视野 反思:提供本题某县市考生得分分布统计截图,统计结果是:约有 25%的考生没有动手而得 0 分,约有 50%的考生只能得到 4 分以下,好在有 47%的考生依据对数学的理解得到满分 8 分不然,出现“负利润”?不能坚持真理的考生,又将在心理上首先衰败而导致解答的满盘皆输!解析:设这段时间内乙厂家销售了 x 把刀架依题意,得:2010 年江西省数学中考第 21 题某县市考生得分分布统计截图(
11、样本约 7000 人)7,解得 x=400;840)25.()1(50).0( x销售出的刀片数=50400=20000(片)答:这段时间乙厂家销售出 400 把刀架,20000 片刀片【复习提示】数学应用性问题中,文字阅读量大、取材和背景的多样化、图表交替呈现、专用名词术语的含义等,一直是困扰学生准确理解题意的关键因素!因而首先考生要加强应试心理的培养和调节,消除恐惧和厌恶心理!其次,要重视和有效地提高学生的阅读理解能力;建议在教学和复习时,要多让学生独立地“读题”和“审题”,学会提炼关键词,尝试有效地画出草图或写成某些数量关系,把实际问题经过“数学化”的过程,转化为用数学语言表达的“数学问
12、题”!再则,建议老师要引导学生理论联系实际(也包括老师自身),重视实习作业和课题学习等课外与实践活动的开展,适时地进行一些数学实验操作,广泛地接触社会生产和日常生活,保持对自然界和社会现象具有好奇心:用数学的眼光探寻新知,把数学与生活紧密联系起来擦亮自己的双眼,学会发现生活中的数学,并尝试着多用数学解决生活中的问题,体会认识来源于实践的道理下面现以知识点和题型为例,分类加以评析:例 A:T3、( 2011 年浙江杭州二模)一种原价均为 m 元的商品,甲超市连续两次打八折;乙超市一次性打六折;丙超市第一次打七折,第二次再打九折;若顾客要购买这种商品,最划算应到的超市是( )8A.甲或乙或丙 B.
13、 甲 C. 乙 D. 乙或丙T3、解答: 20.8.64;0.6;0.790.63;jiayibingymmm选择 CT4、( 2011 年北京四中三模)红星中学初三(2)班十几名同学毕业前和数学老师合影留念,一张彩色底片要 0.6 元,扩印一张相片0.5 元,每人分一张,免费赠送老师一张(由学生出钱),每个学生交 0.6 元刚好,相片上共有多少人( ). A13 个 B12 个 C11 个 D无法确定T4、解答:设相片上有 x 个人,则 ;解得 x=120.65.(1)x人;选择 BT5、(晁振英老师原创,吉林省德惠市教师进修学校特级教师)如图 5-1,一张折叠桌的圆形桌面可折叠成接近正方形
14、的桌面,它的四个角是相等的一段圆弧,图中阴影部分的四个弓形被翻折到桌面的背面去若折叠后桌面相对两边的距离为 74cm,弓形的底边长为 68cm(1)求桌面被还原成圆形时桌面的面积;(2)如果将桌面重新设计,保持原来的直径不变,当折叠后的桌面恰好是一正方形,如图 5-2;求这个正方形的面积( ,保留一位小数)3.14例 5、解答:相对两边的距离折半就是弓形弦的弦心距,所以, ,174cm2OK63cm2BK图 5-1 图 5-2OKABrOMNQP9因而在 RtKOB 中, ,222374=5OBK圆桌面的面积 ;3.145=98.cmS(2)正方形桌面的对角线恰为圆的直径,所以;221=0cM
15、NPQSrrA【复习提示】解应用题首要的是阅读理解题意;建立等式式时两边必须是同类实际意义的量和相同单位意义的量;尤其是对利润、打折销售、增长率、图形的距离与度量等专用名词的理解和运用显得更为突出例 B:T6、 ( 2011 年 浙 江 杭 州 高 桥 初 中 中 考 数 学 模 拟 卷) 杭州国际动漫节开幕前,某动漫公司预测某种动漫玩具能够畅销,就用 32000 元购进了一批这种玩具,上市后很快脱销,动漫公司又用 68000 元购进第二批这种玩具,数量是第一批购进数量的 2 倍,但每套进价多了 10元(1)该动漫公司两次共购进这种玩具多少套?(2)如果这两批玩具每套的售价相同,且全部售完后总
16、利润率不低于 20%,则每套售价至少定价是多少元?T6、解答:(1)设动漫公司第一次购进 x套玩具,由题意得:6803210x,解这个方程,得 20;经检验, 是所列方程的根 06x所以动漫公司两次共购进这种玩具 600 套;10(2)设每套玩具的售价为 y元,由题意得:6036802%y,解这个不等式,得 20y ;答:所以每套玩具的售价至少是 200 元T7、( 2011 浙 江 杭 州 义 蓬 一 中 模 拟 卷 )随着人民生活水平的不断提高,萧山区家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计,景苑小区 2008 年底拥有家庭轿车 144 辆,2010 年底家庭轿车的拥有量达到 225 辆.(1)若
17、该小区 2008 年底到 2010 年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同;按此增长率,预测:该小区到 2011 年底时,家庭轿车将达到多少辆?(2)为了缓解停车矛盾,该小区决定投资 25 万元再建造若干个停车位.据测算,建造费用分别为室内车位 6000 元/个,露天车位2000 元/个,考虑到实际因素,计划露天车位的数量不少于室内车位的 3 倍,但不超过室内车位的 4.5 倍,求该小区最多可建两种车位各多少个?试写出所有可能的方案. T7、解答:(1)设每年的平均增长率为 ,则x214()5,x解得 ,或 (舍去);则 2011 年底小区的小轿车数量为:4x94x225(1+25%)=281
18、(辆);(2)设可建室内车位 个,露天车位 个,依题意,得:ab34.5,600;ab解得: ,所以 123617,4;ab8,;19,6;ab20,5;11【复习提示】(1)人教社课标版教材( 修订版) 初中数学出现了不等式模型下的数字应用题,为数学应用又开辟了一块广阔天地;(2)列方程或不等式(组)解应用题,有时要注意正整数解是实际问题的一个隐含条件;(3)T7 题中未知数 和 的求解,是在方程与不等式联立求解的情型下,通常需要ab用等量关系代入,再用消元转化成不等式组来求解例 C:T8、(晁振英老师原创)如图 8-1、8-2 中画的都是规格相同的曲别针,图 8-1 中标出了它的相关尺寸;
19、图 8-2 则告知 AB、CD、EF 分别表示三个半圆形弧的直径。请你计算出制成这个曲别针所用的电镀细铁丝的长度( ,精确至 1mm,铁丝的直径忽略不计)3.14点评:其实,现实生活中所遇到的绝大多数问题的数据,都不像题目中给出的数字那么简洁、整齐、易算,在本题中即使仅仅求一枚曲别针的用料长度这样简单的问题也需要求出四条线段与三个半圆弧线的长度和;其中求 FH(或 EG)的长度时,部分考生还可能遇到思维的障碍;亲自动手测一测、量一量、算一算、做一做方能有所体会?!T8 解:由图 8-2 知: 7620.5,AC5621.,FD位m657 2721 FEA CGDHB图 T8-1 图 T8-21
20、2T9 题图521(7)13.,2FHEG721.5,BH弧 弧 弧,ABD 63CD1522EF 曲别针所用电镀铁丝的长度为 +弧 AB+弧ABHEGFCD+弧 EF20.5173.65.32.5689(m)T9、( 2011 陕西 T20,本题 8 分)一天,数学课外活动小组的同学们,带着皮尺去测量某河道因挖沙而形成的“圆锥形沙坑”的深度,来评估这些坑道对河道的影响;如图是同学们选择(确保测量过程中无安全隐患)的测量对象,测量方案如下:先测出沙坑坑沿的圆周长 34.54 米;甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上,经过适当调整自己所处的位置,当他位于 B 处时恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上
21、一点 A、看到坑底 S 点(甲同学的视线起点 C 与点 A、点 S 三点共线),经测量:AB=1.2米,BC =1.6 米根据以上测量数据,求圆锥形坑的深度(圆锥的高)( 取3.14,结果精确到 0.1 米)T9、解答:取圆锥底面圆心 O,沙坑底部顶点 S;在轴截面上连结 OA、OS、SA ,如图;根据垂直与视线的意义,CAB=OAS ,BC OS,则有 RtABCRtAOS,T9 题解图13因而 ,所以 ;BCAOSOABCS又因为: 米;34.5.2所以 米.167答:圆锥形沙坑的深度达到 7.3 米(警惕学生滑坑落水!)【复习提示】常用的基本图形的周长(弧长) 、面积、体积等公式仍要熟记
22、;有关几何问题的应用题,最难的不是计算,而主要是顺利的把自然语言翻译成几何语言,明确实际问题所转化成相关的几何图形及其数学意义例 D:T10、( 2009 年江西省样卷,满分 9 分)“春天到了,鲜花开了”小明、小刚两人周日徒步去郊外春游,行走的路程 S(千米)与时间 t(小时)的关系如图所示(1) 根据图象回答:小明和小刚,谁先出发?相差多少小时?(2) 求小明和小刚在 1t3(单位:小时)的函数关系式,并求后者出发几小时后追上前者?(3)若小明从 3 小时后,开始加快速度以 6 千米/时行走,最终与小刚同时到达目的地;则两人春游的路程多远?T10、解:(1)小明比小刚先出发,相差 1 小时
23、;10 小 刚 小 明S( 千 米 )9t(时 )310T10 题图14(2)在 1t3 时段内,小明行走的路程 S 与时间 t 的一次函数关系式为:S 1= 3t , 小刚行走的路程 S 与时间 t 的一次函数关系式为:S 2= 5t -5 , 当 S 1 = S 2 时,即 3t = 5t 5,得到 t =2.5(小时)( 根据函数图像得出,也可) ;所以,2.5-1=1.5(时),故小刚在出发 1.5 小时后,追上小明;(3)设两人春游的路程为 x 千米,则得: , 91356x解得 x=15(千米);答:两人春游路程为 15 千米 (或求得小明加速后路程 S 与时间 t 的函数关系式为
24、 ,3=9()St再令 ,求得 t=4,解得路程 S=15 千米)23ST11、 (2011 年江阴市周庄中学模拟卷,本题 10 分)湖北恩施州的绿色产品香菇,远销日本和韩国等地上市时,外商李经理按市场价格 10 元/千克在该州收购了 2000 千克香菇存放入冷库中据预测,香菇的市场价格每天每千克将上涨 0.5 元,但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计 340 元,而且香菇在冷库最多保存 110天,同时,平均每天有 6 千克的香菇损坏不能出售(1)若存放 x天后,将这批香菇一次性出售,设这批香菇的销售总金额为 y元,试写出 与 之间的函数关系式y(2)李经理想获得利润 22500 元,
25、需将这批香菇存放多少天后出售?(利润销售总金额收购成本各种费用)(3)李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润?最15大利润是多少?T11、解:(1)由题意得 y与 x之间的函数关系式为: = ( 110,且 x为整数)yx6205.2094321x(2)由题意得: -102000-340 =22500;x解方程得: =50, =150(不合题意,舍去);1x2李经理想获得利润 2250 元需将这批香菇存放 50 天后出售;(3) 设最大利润为 W, 由题意得:W= -10 2000-34020942xx(1); 当 10时, 30最 大 , 100 天110 天;存放 100 天后出售
26、这批香菇可获得最大利润 30000 元【复习提示】函数类的应用题,本质上是寻求一个量随另一个量的变化而变化的数量关系式,有时还融入方程与不等式的知识,关键是准确地写出表达各种变量的解析式(代数式及其取值范围),常常需要用到数形结合与分类讨论等数学思想方法例 E:T12、 (2011 年北京市,本题 5 分) 以下是根据北京市国民经济和社会发展统计公报中的相关数据,绘制统计图的一部分请根据以上信息解答下列问题:16(1)2008 年北京市私人轿车拥有是多少万辆(结果保留三个有效数字)?(2)补全条形统计图;(3)汽车数量增多除造成交通拥堵外,还增加了碳排放量,为了了解汽车碳排放量的情况,小明同学
27、通过网络了解到汽车的碳排放量与汽车排量有关。如:一辆排量为 1.6L 的轿车,如果一年行驶 1 万千米,这一年,它碳排放量约为 2.7 吨于是他调查了他所居住小区的 150 辆私人轿车,不同排量的轿车数量如下表所示排量(L)小 1.6 1.6 1.8 大于 1.8数量(辆)29 75 31 15如果按照小明的统计数据,请你通过计算估计,2010 年北京市仅排量为 1.6L 的这类私人轿车(假设每辆车平均一年行驶 1 万千米)的碳排放总量约为多少万吨?T12、解答:T12 题解图17(1) 146(119%)=173.74174(万辆).所以2008 年北京市私人轿车拥有量约是 174 万辆.(
28、2) 如右图 .(3) 276 2.7=372.6(万吨).1507估计 2010 年北京市仅排量为 1.6L 的这类私人轿车的碳排放总量约为 372.6(万吨).T13、( 2012 年江西省样卷,本题 8 分)下图分别是甲、乙两名同学手中的扑克牌,在看不到对方牌面的前提下,分别从对方手中随机抽取一张牌;只要两张牌面的数字相同,则可以组成一对(1)若甲先从乙手中抽取一张,恰好与手中牌面组成一对的概率是 ;若乙先从甲手中抽取一张,恰好与手中牌面组成一对的概率是 (2)若甲、乙手中的扑克牌不变,丙同学空手加入游戏,在看不到甲、乙牌面的前提下,分别从甲、乙两名同学手中各随机抽取一张牌,恰好组成一对
29、的概率又是多少?(用树状图或列表法解答)T13、解:(1) ; 1 34T13 题图2 6 7 82 7 6 开 始2 6 7 8 2 6 7 818(2)或2 6 7 82 (2,2) (2,6) (2,7) (2,8)7 (7,2) (7,6) (7,7) (7,8)6 (6,2) (6,6) (6,7) (6,8)由上述树状图或表格知:所有可能出现的结果共有 12 种所以 P(抽两张牌成对)= 3124【复习提示】统计的思想方法是:就社会现实中某一随机现象,通过对数据的收集、整理与分析,得出其一般规律,为预测或决策作出正确合理的判断;为得出其一般规律,是选择从数据的集中程度,还是选择从数
30、据波动或变化的趋势来分析与表述,一方面要与真实具体的情境相结合,另一方面要经常地关注一些社会现象的本质;统计的思想方法有助于我们破除“统计题就是计算题”的定势思维随机现象中,我们从事件发生的可能性大小区分了“必然事件”、“随机事件”与“不可能事件”,根据社会或自然现象的可能性大小,也可以为降低风险作出正确、合理的抉择,回归数学的工具性作用例 F:T14、( 2011 年江苏盐城,本 题 10 分)如图,放置在水平桌面上的台灯的 灯 臂 AB 长 为 40cm, 灯 罩 BC 长 为 30cm, 底 座 厚 度 为2cm, 灯 臂 与 底 座 构 成 的 BAD=60.使 用 发 现 , 光 线
31、 最 佳 时 灯 罩BC 与 水 平 线 所 成 的 角 为 30, 此 时 灯 罩 顶 端 C 到桌面的高度 CE 是多少 cm?(结果精确到 0.1cm, )1.72T14 题图乙甲19图丙ABC DEFO34BCA O图甲FEDBCA O图乙DEFT14、解答:过点 B 作 BFCD 于 F,作 BGAD 于 G. 在 RtBCF 中,CBF=30,CF =BCsin30= 30 =15. 12在 RtABG 中,BAG=60,BG =ABsin60= 40 = 20 . 3CE =CF+FD+DE=15+20 +2=17+20 51.6451.6(cm). 3 3答:此 时 灯 罩 顶
32、 端 C 到桌面的高度 CE 约是 51.6cm. T15、( 2011 江西,满分 9 分)图甲是一个水桶模型示意图,水桶提手结构的平面图是轴对称图形,当点 O 到 BC(或 DE)的距离大于或等于O 的半径时( O 是桶口所在圆,半径为 OA),提手才能从图甲的位置转到图乙的位置,这样的提手才合格.现用金属材料做了一个水桶提手(如图丙 A-B-C-D-E-F, C-D 是 ,其余是线段),AO 是 AF 的中点,桶口直径 AF =34cm,AB =FE=5cm,ABC =FED =149.请通过计算判断这个水桶提手是否合格 .(参考数据: 17.72,tan73.63.40,sin75.4
33、0.97.)314FGDCBA3060ET14 题解图20图丙ABC DEFO34GT15、解法一连接 OB,过点 O 作 OGBC 于点 G. 1 分在 RtABO 中,AB=5,AO=17, ta n ABO= , ABO =73.6,4 分173.45ABGBO= ABCABO =14973.6=75.4. 5 分又 , 6 分25173417.2O在 RtOBG 中,. 8 分sin17.20917.GB水桶提手合格. 9 分解法二连接 OB,过点 O 作 OGBC 于点 G. 1 分在 RtABO 中,AB=5,AO=17, ta n ABO= , 173.45ABABO=73.6.
34、 4 分要使 OGOA,只需OBCABO,OBC=ABCABO=14973.6=75.473.6,8 分水桶提手合格. 9 分T16、 (晁振英老师原创)如图、,一电线杆 PA 由另一圆柱体水泥杆 BD 作支撑,支撑杆有一日突然于 E 处折断(因有钢筋相21连,两段水泥杆没有完全断开).由于重力作用,下段下倾,上段下坠,造成支撑杆于 E 处下凹,并停止在图的状态.折断下凹前、后的有关数据标注于两图.问支撑杆折断后,它的顶端下落的竖直距离. (精确到 0.01m, sin630.89,)cos630.45,ta1.763.1,2.65T16、解:在图中,已知DBA =63,AB=2.5,DA =
35、AB tan632.51964.DB= .cos04AB如图,过 E 作 ECAD 于 C,EFAB 于 F;且已知BE=2.3,AB=2.5,EC =F A=0.9.则 DE=5.56-BE=5.56-2.3=3.26.在 RtDEC 中,D C= ;223.60.931E在 RtEFB 中,BE =2.3,BF=BA -FA=2.5-0.9=1.6;CA =EF= 22.31.5BEF图 图 图22DA= DC+CA=3.13+1.65=4.78;DD= DA-DA=4.9- 4.75=0.15(m). 答:支撑杆折断后其顶端下落 0.15m.【复习提示】许多现实生活中的几何图形的应用性问
36、题,抽象出数学模型往往与三角形(特别是直角三角形)、规则四边形等图形有关,而三角函数沟通了在直角三角形情形下的边与角的数量关系,善于构建直角三角形或运用三角函数就成为解答此类问题的关键所在;有时借助科学计算器,会减少繁杂的计算、较为准确和迅速地求出相关的数量关系例 G:T17、 (2011 天津,本题 3 分) 如图,有一张长为 5、宽为 3 的矩形纸片 ABCD,要通过适当的剪拼,得到一个与之面积相等的正方形() 该正方形的边长为_;(结果保留根号)() 现要求只能用两条裁剪线请你设计一种裁剪的方法在图中画出裁剪线,并简要说明剪拼的过程: T17、解答:() ; 15()如图作出 BN= (
37、BM=4,MN=1,T17 题图23T17 题解图MNB=90);画出两条裁剪线 AK,BE(AK=BE= BEAK) ;15平移ABE 和ADK此时,得到的四边形 BEFG 即为所求T18、给你一张 16 开的普通稿纸,你如何通过折纸的方法,折出一个以稿纸的短边为一边的正三角形折痕来? T18、解答:(1) 如图,将稿纸 ABCD 按竖直的方向对折并展开,得折痕 MN;(2)如图 折叠,使点 A 落在 MN 上的 G 点,且折痕经过 B 点,折痕为 BE;(3)如图 ,向反面折叠,使折痕 BF 与 BA 重合;(4)如图 ,展开后的折痕 BG 就要得到的正三角形的一边;(5)如图 ,沿 MN
38、 再对折;(6)如图 ,以 BG 为轴翻折;(7)如图 ,展开后得到以稿纸短边为一边的正ABG 的折痕.EFGBDACNM图MBNCG图GC NMA(B)图FGA BCD NM图MND CBA图E(G)MNABCD图 图CDBAFEFlash 演示一 Flash 演示二:( )2AMKBC24T19、 (2011 年江西省“赣教杯”中青年教师综合素质比赛教师考试题,陈莉红老师命制)如图,给你一张正方形卡纸,如何通过折纸的方法?请您在正方形的一条边上、折出它的黄金分割点(简要的注明画法或折法的痕迹)T19、解答:、设正方形卡纸的边长为 ;现将正方形卡纸对折,a获得一边上的中点;、利用这边上的中点
39、,折出以 、 为两直角边的直角三角形,获a2得一条斜边长为 ;、将短直角边长翻折至这条斜边上,获得折52a痕点,就可以得到线段 ;(1)0.68a、再将此条线段翻折至正方形相邻的一条边长上,就得到正方形一T19 题图,提供备用Flash 演示三25边上的黄金分割点 P.如图所示,点 P 就是正方形一边 AB 的黄金分割点!T20、 (摘自中学数学教学参考2010 年 12 月合刊 P71用拼图法证题,河北河间市教研室艾荣增、董运河老师) 小明在动手操作时,裁出了两个直角三角形,一个直角三角形两条直角边长分别为 ( ),,ab另一个直角三角形的两条直角边长分别为 , ,如图,他测量出 ;请你帮助
40、小明证明?1245分析 :因为 45这个特殊角正好是等腰三角形的一个锐角,所以尝试将 拼成等腰12T20 题图a-ba+bab C1B1A1CBA21T19- 4T19- 3T19- 2T19- 1BAPa25-1a25-1a2 a2aa52a2 aa2aFlash 演示四26直角三角形的一个锐角,问题就可以得到解决. 方法一:如图 T20 题解-1,将两个直角三角形的顶点 、 重合,A1再将直角边 与直角边 重合,由于 被包含在 中,连ABB12C结 ,只需证明出 是以 为直角的等腰三角形即可;在1C1CA中, ,2ab22()()ab;由勾股定理逆定理易知,只要推出2()ab 21Cab,
41、则可证明 是等腰直角三角形;1AC过 C 作 的平行线与 延长线B1B交于点 ,则四边形 是正方形,D,在 中,根据1b1RtC勾股定理得 ,所以 是等腰直角三角形,即 =21ab1AC1CA.245方法二:如图 T20 题解-2,将两个直角三角形的顶点 、A1重合,再将斜边 与另一条斜边 重合(如 T20 题解图-2),AC1AC延长 与 的延长线相交于点 D,过 作1B1,垂足为点 E;Rt Rt ,所以CEDBE,得到11A,同理 ;2()2abBEaC 12ECb假设 ,则有 ,1D1()b因而 是等腰直角三角形;ABT20 题图a-ba+bab C1B1A1CBA21T20 题解-1
42、abB1DC1(A1 )BC21T20 题解-2AC=a2+b21=2a2+2a-ba+bA(1 )EDC1B121BCbaFlash 演示五27又 , 是等腰直角三角形, ,1CEAD1EC12DECb ,从而验证点 B、E 、D 三点共线,2()aba确定 是等腰直角三角形,故得到 .1ABD1245提供如图 T20 题解-3,还可以有其它的证明 的方法,留给读者245自行思考.【复习提示】“应用数学”、“实验数学”等新的数学教育观念,正在影响着数学中考的命题;纵观近几年各省、市数学中考中的应用性问题和数学实验操作试题已成为一个热点,它们不仅体现出数学的工具性、也积极地渗透着数学的文化性,
43、数学的理性思维和广泛的应用性正发挥着积极的作用;请让我们在数学中考复习中更加关注它们吧!参考文献:1 中国教育学会 “十一五”科研规划课题“数学考试评价的理论与实践研究”课题组2007 年全国中考数学考试评价报告M上海:华东师范大学出版社,20082 孔凡哲 喻汉林新课程命题技术与试题研究M长春:东北师范大学出版社,2005CE=a-b2A2+2C1=2a2+b2a-bDC1EB11ABCbaT20 题解图-3Flash 演示六283 陈莉红 清新亮丽 和谐自然江西省 2010 年数学中考试题欣赏J中国数学教育(初中版)2010(9):P22254 晁振英 初中课改原创数学习题集应用篇M沈阳:辽宁师范大学出版社,20075 林望春 初中数学学业评价技术评价试卷的方法M南昌:江西二十一世纪出版社,主编 江西省教育厅教材教学研究室 黄建国 陈莉红等 2011.116 艾荣增、董运河 用拼图法证题 J中学数学教学参考(中旬)2010(12):P71P75特别鸣谢:赣县教师进修学校马跃进老师、赣县中学韩乐飞老师课件技术支持!