1、3.4 基本不等式,这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。,思考1：这个会标中含有哪些几何图形？,思考2：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？,a,b,1、正方形ABCD的面积S=_,、四个直角三角形的面积之和S = ,、S与S有什么样 的不等关系？,思考：S与S有相等的情况吗？,探究一,D,B,A,B,C,D,E(FGH),a,b,当且仅当 时，等号成立,你能给出不等式 的证明吗？,证明:,探究二：,重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有,当且仅当a=b时，等号成立.,
2、2.文字叙述:,两数的平方和不小于它们积的2倍.,1.适用范围：,在这个不等式中，如果 我们用 分别代替 ,会有什么样的结论？,探究三,替换后得到：,即：,即：,你能将下面的证明过程补充完整吗？,在不等式 中，如果 我们用 分别代替 会有什么样的结论？,探究三,探究四,证明：要证,只需证,要证，只需证,要证，只需证,显然, 是成立的.当且仅当a=b时, 中的等号成立.,证明不等式：,探究四,分析法,证明：,证明不等式：,探究四,特别地，若a0，b0，则,通常我们把上式写作：,当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.,基本不等式,我们把 叫做两个正数a，b的算术平均数， 叫做两个正数
3、a，b的几何平均数。,2.文字叙述(代数解释） 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。,1.适用范围：,a0,b0,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?,RtACDRtDCB，,A,B,C,D,E,a,b,O,如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.,如何用a, b表示CD? CD=_,如何用a, b表示OD? OD=_,探究五,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?,如何用a, b表示CD? CD=_,如何用a, b表示OD? OD=_,OD与CD的大小关系怎样? OD_CD,如图, AB是
4、圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.,几何意义：半径不小于弦长的一半,A,D,B,E,O,C,a,b,探究五,填表比较：,例1：(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？,解：如图设BC=x ，CD=y ，,则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m.,当且仅当 时，等号成立,因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.,此时x=y=10.,x=y,A,B,D,C,若x、y皆为正数， 则当xy的值是常数P时，当且仅当
5、x=y时， x+y有最小值_.,例1：(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？,解：如图，设BC=x ，CD=y ，,则 2(x + y)= 36 , x + y =18,矩形菜园的面积为xy m2,得 xy 81,当且仅当x=y时，等号成立,因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2,即x=y=9,A,B,D,C,若x、y皆为正数， 则当x+y的值是常数S时， 当且仅当x=y时， xy有最大值_；,各项皆为正数； 和或积为定值； 注意等号成立的条件.,一“正” 二“定” 三“相等”,利用基本不等式求最值时，要注意,解： ,当且仅当 即 时，等号成立。,1.已知 ，当 取何值时， 有最小值？最小值 是多少?,当 时， 有最小值，最小值是2.,练习,练习,大,16,小,6,练习,练习,分析: x+(1-2x) 不是 常数.,2,=1为,当且仅当 时, 取“=”号.,5. 若 0x , 求函数 y=x(1-2x) 的最大值.,练习,小结：,求最值时注意把握 “一正，二定，三相等”,2. 利用基本不等式求最值,1. 两个重要的不等式,作 业,阶段检测 一线精练第23课时,谢谢指导！,
