1、巧用导数解参数问题的八种策略张红娟 2012.10.18 学习收获现以近几年的高考题为例，探讨一下用导数求参数范围的几种常见题型及求解策略。策略一：分离变量法所谓分离变量法，是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下结论均为已知的范围，求 的范围：xa结论一、 不等式 恒成立 （求解 的最小()fxgamin()
2、()fxga()fx值） ；不等式 恒成立 （求解 的最大值）.()fa()ff结论二、 不等式 存在解 （求解 的最大f axf f值） ；不等式 存在解 （即求解 的最小值）.fxmin()fx()f案例 1、 （2009 福建卷）若曲线 3()l存在垂直于 y轴的切线，则实数 a取值范围是_.分析： )0(2)(xxf依题意方程 在 ,内有解，即 )0,()0(21axa案例 2、 （2008 湖北卷）若 上是减函数，()lnfxb在 -,+则 的取值范围是（ ） bA. B. C. D. 1,)(1,)(,1(,1)分析：由题意可知 ，在 上恒成立，02xbf )x即 在 上恒成立，由
3、于 ，所以)(2(2xb(,)x，1案例 3、 （2008 广东卷）设 ，若函数 ， 有大于零的aR3axyeR极值点，则（ ）A B C D3a3a13a13a分析： ，若函数在 上有大于零的极值点，即()axfexR有正根。当有 成立时,显然有 , 0()0axfe0a此时 ，13ln()xa由 得 .案例 4、 （2008 江苏卷）设函数 ，若对于任意的3()1()fxaxR都有 成立，则实数 的值为 1,x0)(xf解：当 ，则不论 取何值， 显然成立；a0fx当 时， 可化为，0x3()1fx231ax令 ，则 ，231g 42xg所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，x0,
4、1,2因此 ，从而 ；max142ga当 时， 可化为 ，013()10fx231ax 412xg0在区间 上单调递增，因此 ，从而 ，gx, ma4nga综上 4a分离变量法是近几年高考考查和应用最多的一种。解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一类；（2）确定是求最大值、最小值还是值域. 高三复习过程中,很多题目都需要用到分离变量的思想,除了基础题目可以使用分离变量,很多压轴题也开可以用这种方法去求解。案例 5、 （2005 湖北卷）已知向量 =( , )， =( , )，若a2x1axt在区间(-1,1)上是增函数，求 的取值范围. baxf)( t解析：由向量
5、的数量积定义， = ( )+( ) = + + +)f2t32t = + + .)(f23xt若 在区间(-1,1)上是增函数，则有 0)(xf - 在 (-1,1)上恒成立 .t23x若令 = - =-3( ) -)(g31x2在区间-1,1上， = =5，故在区间(-1,1)上使 恒成ma)(gt)(xg立，只需 即可，即 5.t)1(gt即 的取值范围是5，）.利用导数与函数单调性的关系求解参数问题的题型，是高考命题的一种趋势，它充分体现了高考 “能力立意”的思想。对此，复习中不能忽视。案例 6、已知函数 ，若对任意 恒有 ，试lg2afxx2,x0fx确定 的取值范围。a解：根据题意得
6、： 在 上恒成立，1,即： 在 上恒成立，23x2,设 ，则f2394fx当 时， 所以xmafa案例 7、已知 时，不等式 恒成立，求 的取值,1x210xxaa范围。解：令 ， 所以原不等式可化为： ，2xt,0,t221t要使上式在 上恒成立，只须求出 在 上的最小值即可。0, 21tf0,222114tftt,tmin34tf23a132a策略二：主次元变换法案例 1、.（2009 北京卷）设函数 ()(0)kxfe（）求曲线 ()yfx在点(0,)f处的切线方程；（）求函数 的单调区间；（）若函数 在区间 内单调递增，求 k的取值范围.分析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值
7、、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力 （） （）题略，对于题（） ，若借助（）的结论入手，须分 两种情况求解，学生不一11k或定能考虑得很全面；通过思考，不妨变换一下主次元，转化为一次函数的问题求解。（）解：由题意 上 恒 成 立在 ),(0)1() xekxfx即 上 恒 成 立在 ,01k 又 k的取值范围是 1,0,.本题通过变换主元的思想，巧妙地应用函数的单调性，避免了对 k 的讨论，简化了问题的求解。案例 2、若不等式 对满足 的所有 都成立，求 的取值2xm2mx范围。解：设 ，对满足 的 ， 恒成立，21f0f解得：21002xf17322x策略三、极值法有些函数问
8、题，若能适时地借助函数的图象，巧妙地利用函数的极值来求解，可使问题豁然开朗。案例 1.（07 全国卷二）已知函数 3()fx（1）求曲线 在点 处的切线方程；（2）设 ，如果过点()yfxMt， 0a可作曲线 的三条切线，证明：()ab， ()abf解：（1）略 23(1)ytxt（2）如果有一条切线过点 ，则存在 ，使 ()ab， t23(1)tt若过点 可作曲线 的三条切线，则方程 有三个()ab， yfx30ab相异的实数根记 ，则 32()gtt2()6gtt()当 变化时， 变化情况如下表：t，(0)，0 ()a， a()a，()gt0 0()gt增函数 极大值 ab减函数 极小值
9、()bfa增函数如果过 可作曲线 三条切线，()ab， ()yfx即 =0 有三个相异的实数根，32gtt则有 即 0().bfa， ()abf本题的求解，充分利用函数的极值，把原本复杂的问题转化为极值的正负问题，使问题变得更加直观、充分体现了导数的优越性案例 2、 （2009 陕西卷）已知函数 3()1,0fxa 求 ()fx的单调区间；若 ()fx在 1处取得极值，直线 y=m 与 ()yfx的图象有三个不同的交点，求 m 的取值范围。解析：（1）略（2）因为 ()fx在 处取得极大值，所以 213()0,1.a所以 2,3,ffx由 ()0fx解得 12,。由（1）中 f的单调性可知，
10、()f在 处取得极大值 (1)f，在 处取得极小值 ()f。因为直线 ym与函数 yx的图象有三个不同的交点，由 ()fx的单调性可知， 1,3案例 3.（2008 四川卷） 已知 x=3 函数 f(x)=a ln(1+x)+x2-10x 的一个极值点。（）求 a；（ ）求函数 f(x)的单调区间；（）若直线 y=b 与函数 y=f(x)的图象有 3 个交点，求 b 的取值范围。分析：（） （）略（）由（）知， 在 内单调增加，在 内单调减少，在fx1,1,3上单调增加，且当 或 时，,30fx所以 的极大值为 ，极小值为fx6ln29f 2ln1因此 2160f31fe所以在 的三个单调区间
11、 直线 有 的图象各x,13,ybfx有一个交点，当且仅当 fbf因此， 的取值范围为 。b2ln,6l29充分利用函数的极值和数形结合的思想，把问题转化为极值问题，进一步分体现了导数在解题中的作用。策略四、零点法案例 1、 （2009 浙江文）已知函数 32()(1)()fxaxxb (,)aR（I）若函数 ()fx的图象过原点，且在原点处的切线斜率是 3，求 的值；（II）若函数 ()f在区间 (1,)上不单调，求 a的取值范围解析：（）略（） )2()(23)( axxf函数 在区间 1,不单调，等价于导函数 )(f在 既能取到大于 0 的实数，又能取到小于 0 的实数即函数 )(xf在
12、 1,上存在零点，根据零点存在定理，有01f， 即：0)2()23)(23 aa整理得： 1)(5，解得 15a案例 2、(2004 新课程卷 )若函数 y= x3 ax2+（ a1）x+1 在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+）内为增函数，试求实数 a 的取值范围.解： )()1()(2 xaxf令 ，解得 x=1 或 x=a-1，并且 a2,否则 f (x)在整个定义域内单调。0)(xf由题意，函数 f(x)的图象应有三个单调区间且先增后减再增，而已知 f(x)在(1,4)内为减函数，在区间(6,+)内为增函数，可知函数 f(x)在 x=1 处取得极大值，在 x=a-1 处取得极小值
13、。 4a-16 得 5a7 所以 a 的取值范围是5,7 应用函数的零点问题，解决相关的问题，也能取到意想不到的功效。策略五、构造新函数法 一定分类讨论？娟思考对于某些不容易分离出参数的恒成立问题，可利用构造函数的方法，再借助新函数的图像、性质等来求解，可以开拓解题思路、化难为易。 案例 1、若 时，不等式 恒成立，求 的取值范围。2,x23xaa解：设 ，则问题转化为当 时， 的最小值非3fa2,xfx负。（1） 当 即： 时， 又 所24min730ff734a以 不存在；a（2） 当 即： 时， a2in2afxf又 6244（3） 当 即： 时， 又amin70ff74a7综上所得：案
14、例 2、 （2007 全国卷一）设函数 （）证明： 的导数()exf()fx；()fx（）若对所有 都有 ，求 的取值范围0x ()fxa解：（） 的导数 而 ，故()fex2xxee()2fx（当且仅当 时，等号成立） 0（）法一：令 ，()gxfax于是不等式 f(x)ax 成立即为 g(x)g(0) 成立则 ，ex由（）可知 ，agx2)(由 202a当 时， 在 上为增函数，()x0)， 从而有 时， ，即 (g ()fxa案例 3、 （2006 全国卷 II）设函数 f(x)(x1)ln(x 1)，若对所有的 x0，都有f(x)ax 成立，求实数 a 的取值范围解：令 g(x)(x1
15、)ln(x 1)ax（x-1 ）于是不等式 f(x)ax 成立即为 g(x)g(0) 成立 对函数 g(x)求导数：g(x)ln(x1) 1a令 g(x)0，解得 1ae当 时，g(x )0，g(x)为增函数，1ae当 ，g(x )0，g(x)为减函数， 所以要对所有 x0 都有 g(x)g(0)等价条件为 ea-110由此得a1，即a的取值范围是（，1 通过适时构造新的函数，简化了问题，把求参数的范围转化为函数的最值问题，对解题起到了画龙点睛的作用。策略六、二次函数法某些函数可转化为二次函数的模型，则可利用二次函数的性质来求解。案例 1.（2008 天津卷）已知函数 （ ） ，其中432()
16、fxaxbRRba,（）当 时，讨论函数 的单调性；103f（）若函数 仅在 处有极值，求 的取值范围；()fxa（）若对于任意的 ，不等式 在 上恒成立，求 的取值2,a1fx,b范围分析：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力（）略（）解： ，显然 不是方程 的根2()43)fxax0x2430xa为使 仅在 处有极值，必须 成立，即f0243a有 296a解些不等式，得 这时， 是唯一极值38()fb因此满足条件的 的取值范围是 8,（）解：由条件 ，可知 ，从而 恒成2,a29640a2340xa立当 时， ；当 时， 0
17、x()0fx()fx因此函数 在 上的最大值是 与 两者中的较大者1,1f为使对任意的 ，不等式 在 上恒成立，当且仅当2af,，即 ，在 上恒成立1)(fb2,a所以 ，因此满足条件的 的取值范围是 4b(,4案例 2、 （2004 河北卷）已知 f(x)= 在 R 上是减函数，求实132x数 的取值范围.a解： . f(x)在 R 上是减函数， 恒成立，163)(2xaxf 0)(xf 0 在 xR 上恒成立，即 0，aa12360且因此 3.策略七：利用集合与集合间的关系在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即： ，则 且 ，,mnfagf
18、amgn不等式的解即为实数 的取值范围。a案例 1、当 时， 恒成立，求实数 的取值范围。,3xlog1ax解： log1a（1） 当 时， ，则问题转化为 x1,3,a31a3a（2） 当 时， ，则问题转化为011ax1,3,a313综上所得： 或10a策略八：数形结合数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式。案例 1、若不等式 在 内恒成立，求实数 的取值范围。23log0ax1,3xa解：由题意知： 在 内恒成立，,在同一坐标系内，分别作出函数和23yxlogax观察两函数图象，当 时，10,3若 函数 的图象显然1alay在函数 图象的下方，所以23x不成立；当 时，由图可知， 的图象必须过点 或在这个点的上方，01alogayx1,3则， log3127a127综上得： 导数是研究函数的重要工具，借助导数，可以对函数进行更加透彻的研究。在利用导数求参数的取值范围问题时，分离变量、主次元变换、极值法、构造新函数等都是行之有效的方法。在教学中要充分穿插、渗透，并及时加以总结、应用和巩固，促进知识的网络化、系统化。
