1、第四章 解析函数的级数表示,1 复数列的极限,2 复数项级数,4.1 复数项级数,4.1.1 复数列的极限,称 为复数列, 简称,为数列, 记为,定义4.1 设 是数列， 是常数.,如果e 0, 存在正整数N, 使得当nN 时, 不等式,成立, 则称当n时, 收敛于,或称 是 的极限, 记作,或,复数列收敛与实数列收敛的关系,该结论说明: 判别复数列an的敛散性可转化为,判别两个实数列的敛散性.,4.1.2 复数项级数,为复数项级数.称,为该级数的前 n 项部分和.,设 是复数列, 则称,级数收敛与发散的概念,定义4.2 如果级数,的部分和数列 收敛于复数 S, 则称级数收敛,这时称S为级数的
2、和, 并记做,如果 不收敛，则称级数发散.,复数项级数与实数项级数收敛的关系,定理4.2 级数 收敛的充要,条件是 都收敛, 并且,说明,复数项级数的收敛问题,两个实数项级数的收敛问题,级数收敛的必要条件,定理4.3 如果级数 收敛, 则,证明 由定理4.2及实数项级数收敛的必要,条件 知,重要结论: 发散.,于是在判别级数的敛散性时, 可先考察,?,定义4.3 设 是复数项级数, 如果正项,级数 收敛, 则称级数 绝对收敛. 若,绝对收敛级数的性质,定理4.4 若级数 绝对收敛, 则它收敛,并且成立,绝对收敛 和 都绝对收敛.,发散，而 收敛，则称级数条件收敛.,推论,解:,例4.1,1 幂
3、级数的概念,2 幂级数的敛散性,3 幂级数的性质,4.2 幂 级 数,为复变函数项级数.,为该级数前n项的部分和.,设 是定义在区域D上的复变函数列,称,4.2.1 幂级数的概念,称为该级数在区域D上的和函数.,如果对 级数 收敛, 即,则称级数 在 点收敛, 且 是级数和.,如果级数 在D内处处收敛, 则称其在,区域D内收敛. 此时级数的和是函数,这类函数项级数称为幂级数.,当 或 时,或 的特殊情形,函数项级数的形式为,定理4.5 (Abel定理) 若级数 在,处收敛，则当 时, 级数 绝对收敛;,若级数 在 处发散，则当 时, 级数,发散.,4.2.2 幂级数的敛散性,收敛圆与收敛半径,
4、(1) 对所有的正实数都收敛.,级数在复平面内绝对收敛.,(2) 对所有的正实数都发散.,级数在复平面内除原点外处处发散.,(3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收,敛的正实数.,设 时, 级数收敛; 时, 级数发散. 如图:,由 , 幂级数 收敛情况有三种:,.,.,收敛,收敛半径,.,.,收敛圆周,发散,发散,收敛,事实上, 幂级数在收敛圆周上敛散性的讨,问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?,以 为中心的圆域.,收敛半径根据前面所述的三种情形, 分别,规定为,论比较复杂, 没有一般的结论, 要对具体级数,进行具体分析.,解：,绝对收敛, 且有,在 内, 级数,例4.2 求级数
5、的和函数与收敛半径.,所以收敛半径,收敛半径的计算方法(一),(3) 当 时, 收敛半径,(1) 当 时, 收敛半径,(2) 当 时, 收敛半径,定理4.6 (比值法) 设级数 如果,则,收敛半径的计算方法(二),(3) 当 时, 收敛半径,(1) 当 时, 收敛半径,(2) 当 时, 收敛半径,定理4.7 (根值法) 设级数 如果,则,由于幂级数在收敛圆的内部绝对收敛，因此,可得出下面几个性质.,性质4.1 (1) 设级数 和 的收敛,4.2.3 幂级数的性质,(2) 设级数 的收敛半径为 r.,如果在 内, 函数 解析, 并且,则当 时,说明: 上述运算常应用于将函数展开成幂级数.,前面关于级数 的性质, 如果将 换成,之后, 对于级数 当然也成立.,例4.3 把函数 表示成形如,的幂级数, 其中a与b是不相等的复常数 .,代数变形 , 使其分母中出现,凑出,把函数 写成如下的形式:,当 即 时,所以,定理4.8 设幂级数 收敛半径,为R, 并且在 内,则 是 内的解析函数, 且在收敛圆,内, 可以逐项求导和逐项积分, 即,(1) 当 时,(2) 设C是 内的一条分段光滑曲线,则,特别地, 如果C是圆内部的以z0为起点、z为,终点的分段光滑曲线, 则,
