1、两线一圆在数学学科中，常有寻找满足条件的图形的探索题，根据我的教学实践，在此浅谈初中数学中寻点构等腰三角形的这类问题。问题：苏科版教材八年级上册数学第一章轴对称图形中，学习了等腰三角形之后，解决这样的题目，如图（1）在正方形 ABCD 所在的平面上找一点 P，使得PAB、PBC、PCD、PAD 都是等腰三角形，符合条件的点 P 有几个？研究：已知一条线段 AB，寻找一点 P 使得PAB 为等腰三角形，这样的点 P 在哪儿呢？ 答：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上和分别以点 A、B 为圆心，AB长为半径的圆上（点 P 不与线段 AB 共线） ，如图（2） ，图中的点 P1 、P2、P3等都能
2、使PAB 为等腰三角形，点 P 只能在这样的一线两圆上。 解决：如果让学生探讨了上述研究后再解决数学中的一些问题，学生做题时就能得心应手了。 （1）例如：问题中的题目如图（1）在正方形 ABCD 所在的平面上找一点P，使得PAB、PBC、PCD、PAD 都是等腰三角形，符合条件的点 P 有几个？分析：大多数甚至是全部学生没有确定的方法去寻找，学生们最新找到的是对角线的交点，再找其它点就感到困难了，就是能力好的同学可能会多找几个，但是很难找全，造成这种结果的原因是学生没有正确的方法寻找，学生们都是凭感觉找的，就像大海里捞针一样困难。 按照上面研究的方法画出正方形中四条边长的所有一线两圆，如图（3
3、） ，共有九个点符合要求，这样做不会漏解，不会错误，而且速度很快。（1）应用： 例1：如图（4）在等边ABC 所在的平面上找一点 P，使得PAB、PBC、PAC 都是等腰三角形，符合条件的点 P 有几个？解：如图（5）很多学生首先找到的是三条边的垂直平分线的交点，再找就难了，但按照画一线两圆的办法画出等边三角形三边的一线两圆就可以快速的找到符合条件的点共有七个。例2：如图（6） ，在平面直角坐标系 XoY 中，点 A 的坐标为（-1,0） ，点 B 的坐标为（0， ） ，坐标轴上是否存在点 M 使得MAB为等腰三角形，若存在请写出点 M 的坐标，若不存在请说明理由。解：如图（7）先在平面直角坐
4、标系中画出一线两圆，观察寻找一线两圆与坐标轴的交点，这些点即为符合条件的点 M，点 M 的坐标为 M1（0,2 ） 、M2（-2, ） 、M 3（-3,0） 、 M4（0，- ） 、M 5（0， -2） 、M6（1,0） 、M 7（0， ） 。 总之，只要是这种已知一条线段，在一定的图形上寻找一点使得点和线段构成的三角形是等腰三角形这样的问题，都可以用画一线两圆的办法来试试，可以快捷的解决问题，在学习中，我们就应该注重在学习知识的过程中学习解决问题的方法策略，让自己形成较强的解决问题的能力。两线一圆例2.在如图6中，直线 l 的同侧有两点 A 和 B，请在直线 l 上找出点 P，使得ABP 为
5、直角三角形.这样的点 P 有几个？请在图中都表示出来.要解决这个问题，只需画“两线一圆” ，即先连结 AB，分别过点 A、B 画线段 AB 的垂线，再以 AB 为直径为画圆（见图7） ，就可很轻松地找到所求的四个点，也就是刚才所画的“两线一圆”与直线l 的四个交点 P1 、P2、P3 、P4，所以这样的直角三角形共有四个.当然这种点 P 的个数有时会因为图中点 A、B 和直线 l 之间的相对位置不同而发生变化.这种做法的依据还是运用分类的思想，即（1）当点 A 为直角顶点时，点 P 在过点 A 且垂直于 AB 的直线上（图8甲） ；（2）当点 B 为直角顶点时，点 P 在过点 B 且垂直于 A
6、B 的直线上（图8乙） ；（3）当点 P 为直角顶点时，点 P 在以线段 AB 为直径的圆上.练习3.如图9，在44方格中作以 AB 为一边的 RtABC 要求点 C 也在格点上，这样的RtABC 能作出（ ）A.6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个练习4.已知点 A 是抛物线 的顶点，点 B 也在此抛物线上，且横坐标为5，P 是坐标轴上的点，且ABP 为直角三角形.（1）请求出满足条件的所有点 P 的坐标；（2）在以上这些三角形中，面积最大和最小的三角形的面积分别是多少？练习4是本人原创的综合性较强的一个题目，所涉及的知识点非常多，有二次函数、一次函数、圆的基本知识、三角形（直角三角形、三角形的面积和相似三角形等） 、勾股定理、方程等等.同时也涉及了许多数学思想如函数思想、方程思想和分类思想等等.希望读者能结合上面所述的方法自行研究，并从中得到一些启发和感悟.对于初中生来说，虽然他们已经解过数不胜数的数学题，但他们的理解能力、抽象思维能力和概括归纳能力等还是比较弱的，所以对一些较难的问题，教师若能经常帮助其恰当而简洁地进行及时总结，定会收到事半功倍的效果.
