1、变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。对于这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来；折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定；方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程转化成了计算行程问题常用的解题方法有公式法即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；图示法在一些复杂的
2、行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具示意图包括线段图和折线图图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法；比例法行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；分段法在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；方程法在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时
3、，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解模块一、变速问题【例 1】 小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分走 52 米，小强每分走 70 米，二人在途中的 A 处相遇。若小红提前 4 分出发，且速度不变，小强每分走 90 米，则两人仍在 A 处相遇。小红和小强两人的家相距多少米？ 【例 2】 甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加 2 米秒，乙比原来速度减少 2 米秒，结果都用 24 秒同时回到原地。求甲原来的速度。【例 3】 (2008 年日本小学算术奥林匹克大赛)上午 点整，甲从 地出发
4、匀速去 地， 点 分甲与从8AB820地出发匀速去 地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的 倍，乙速度不变； 点 分,BA 3830甲，乙两人同时到达各自的目的地那么，乙从 地出发时是 点 分B8【例 4】 （难度等级 ）A、 B 两地相距 7200 米，甲、乙分别从 A， B 两地同时出发，结果在距 B 地 2400 米处相遇如果乙的速度提高到原来的 3 倍，那么两人可提前 10 分钟相遇，则甲的速度是每分钟行多少米？【例 5】 （难度等级 ）甲、乙两车分别从 A， B 两地同时出发相向而行，6 小时后相遇在 C 点如果甲车速度不变，乙车每小时多行 5 千米，且两车还从 A， B 两地同时出
5、发相向而行，则相遇地点距 C 点 12 千米；如果乙车速度不变，甲车速度每小时多行 5 千米，则相遇地点距 C 点 16 千米甲车原来每小时行多少千米？【巩固】 （难度等级 ）甲、乙二人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，5 小时后相遇在 C 点。如果甲速度不变，乙每小时多行 4 千米，且甲、乙还从 A、B 两地同时出发相向而行，则相遇点 D 距 C 点 lO 千米；如果乙速度不变，甲每小时多行 3 千米，且甲、乙还从 A、B 两地同时出发相向而行，则相遇点 E 距 C 点 5 千米。问：甲原来的速度是每小时多少千米？ 【例 6】 A、 B 两地间有一座桥(桥的长度忽略不计)，甲、乙二人分别
6、从两地同时出发，3 小时后在桥上相遇如果甲加快速度，每小时多走 2 千米，而乙提前 0.5 小时出发，则仍能恰在桥上相遇如果甲延迟 0.5 小时出发，乙每小时少走 2 千米，还会在桥上相遇则 A、 B 两地相距多少千米？【例 7】 一列火车出发 1 小时后因故停车 0.5 小时，然后以原速的 3/4 前进，最终到达目的地晚 1.5 小时若出发 1 小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时，然后同样以原速的 3/4 前进，则到达目的地仅晚 1 小时，那么整个路程为多少公里？【例 8】 王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了 1/9，结果提前一个半小时到达；返回时，
7、按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高 1/6，于是提前 1 小时 40 分到达北京北京、上海两市间的路程是多少千米？【例 9】 上午 8 点整，甲从 A 地出发匀速去 B 地，8 点 20 分甲与从 B 地出发匀速去 A 地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的 3 倍，乙速度不变； 8 点 30 分，甲、乙两人同时到达各自的目的地那么，乙从 B 地出发时是 8 点几分【例 10】 （难度等级 ）甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的 1.5 倍，而且甲比乙速度快。两人出发后 1 小时，甲与乙在离山顶 600 米处相遇，当乙到达山顶时，
8、甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？ 【例 11】 小华以每小时 8/3 千米的速度登山，走到途中 A 点后，他将速度改为每小时 2 千米，在接下来的 1 小时中，他走到山顶，又立即下山，并走到 A 点上方 500 米的地方如果他下山的速度是每小时 4 千米，下山比上山少用了 52.5 分钟那么，他往返共走了多少千米？【例 12】 （难度等级 ）甲、乙两车从 A、 B 两地同时出发相向而行，5 小时相遇；如果乙车提前 1 小时出发，则差 13 千米到中点时与甲车相遇，如果甲车提前 1 小时出发，则过中点 37 千米后与乙车相遇，那么甲车与乙车的速度差等于多少千米/小时？【例 13】
9、甲、乙两名运动员在周长 米的环形跑道上进行 米长跑比赛，两人从同一起跑线同时4010起跑，甲每分钟跑 米，乙每分钟跑 米，当甲比乙领先整整一圈时，两人同时加速，乙36的速度比原来快 ，甲每分钟比原来多跑 米，并且都以这样的速度保持到终点问：甲、乙18两人谁先到达终点？【例 14】 环形场地的周长为 米，甲、乙两人同时从同一地点出发相背而行(甲速大于乙速)， 分180 12钟后相遇如果每人每分钟多走 米，则相遇点与前次相差 米，求原来二人的速度253【例 15】 王刚骑自行车从家到学校去，平常只用 20 分钟。因途中有 2 千米正在修路，只好推车步行，步行速度只有骑车速度的 ，结果这天用了 36
10、 分钟才到学校。从王刚家到学校有多少千米？13【例 16】 甲、乙两车分别从 、 两地同时出发，相向而行出发时，甲，乙的速度之比是 ，相遇AB 5:4后甲的速度减少 ，乙的速度增加 这样当甲到达 地时，乙离开 地还有 千20%20%BA10米那么 、 两地相距多少千米？【例 17】 甲、乙往返于相距 米的 ， 两地甲先从 地出发， 分钟后乙也从 地出发，并在10ABA6A距 地 米的 地追上甲乙到 地后立即原速向 地返回，甲到 地休息 分钟后加快速A6C B1度向 地返回，并在 地追上乙问：甲比乙提前多少分钟回到 地？【例 18】 一辆大货车与一辆小轿车同时从甲地开往乙地，小轿车到达乙地后立即
11、返回，返回时速度提高。出发 2 小时后，小轿车与大货车第一次相遇，当大货车到达乙地时，小轿车刚好走到甲、50%乙两地的中点。小轿车在甲、乙两地往返一次需要多少时间？【例 19】 甲、乙两地间平路占 ，由甲地去往乙地，上山路千米数是下山路千米数的 ，一辆汽车从甲15 23地到乙地共行了 小时，已知这辆车行上山路的速度比平路慢 ，行下山路的速度比平路0 20%快 ，照这样计算，汽车从乙地回到甲地要行多长时间？20%【例 20】 甲、乙二人在同一条圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的 甲跑23第二圈
12、的速度比第一圈提高了 ，乙跑第二圈的速度提高了 ，已知沿跑道看从甲、乙两人第1315二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是 米，问这条跑道长多少米？90【例 21】 甲、乙两人沿 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去相遇后40甲比原来速度增加 米秒，乙比原来速度减少 米秒，结果都用 秒同时回到原地求甲425原来的速度【巩固】从 村到 村必须经过 村，其中 村至 村为上坡路， 村至 村为下坡路， 村至 村的ABCACBAB总路程为 千米某人骑自行车从 村到 村用了 小时，再从 村返回 村又用了 小时20B21分已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且下坡时的速度是上坡时速
13、度的45倍求 、 之间的路程及自行车上坡时的速度【例 22】 （ 年“奥数网杯”六年级）欢欢和贝贝是同班同学，并且住在同一栋楼里早晨 ，208 7:40欢欢从家出发骑车去学校， 追上了一直匀速步行的贝贝；看到身穿校服的贝贝才想起学7:46校的通知，欢欢立即调头，并将速度提高到原来的 倍，回家换好校服，再赶往学校；欢欢2赶到学校时，贝贝也恰好到学校如果欢欢在家换校服用去 分钟且调头时间不计，那么: 6贝贝从家里出发时是 点 分【例 23】 甲、乙两人都要从 地到 地去，甲骑自行车，乙步行，速度为每分钟 60 米乙比甲早出发AB20 分钟，甲在距 地 1920 米的 处追上乙，两人继续向前，甲发现
14、自己忘带东西，于是将速C度提高到原来的 倍，马上返回 地去取，并在距离 处 720 米的 处遇上乙甲到达 地1.5CDA后在 地停留了 5 分钟，再以停留前的速度骑往 地，结果甲、乙两人同时到达 地 、BB两地之间的距离是 米B【例 24】 小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路小芳上学走这两条路所用的时间一样多已知下坡的速度是平路的 倍，那么上坡的速度是平路速1.6度的多少倍？【例 25】 （2003 年“祖冲之杯”小学数学邀请赛）某校在 400 米环形跑道上进行 1 万米比赛，甲、乙两名运动员同时起跑后，乙的速度始终保持不变，开始时甲比乙慢，在第 15
15、分钟时甲加快速度，并保持这个速度不变，在第 18 分钟时甲追上乙并且开始超过乙。在第 23 分钟时甲再次追上乙，而在 23 分 50 秒时甲到达终点。那么，乙跑完全程所用的时间是多少分钟？【例 26】 （2003 年迎春杯）甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步如果出发时乙的速度是甲的 倍，当乙第一次追上甲时，甲的速度立即提高 ，而乙的速度立即减少 ，并2.5 25%20%且乙第一次追上甲的地点与第二次追上甲的地点相距 100 米，那么这条环形跑道的周长是 米BCA【例 27】 如图所示，甲、乙两人从长为 米的圆形跑道的 点背向出发跑步。跑道右半部分(粗线部40A分）道路比较泥泞，所以
16、两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲、乙速度均为每秒 米，而8在泥泞道路上两人的速度均为每秒 米。两人一直跑下去，问：他们第 99 次迎面相遇的地方距 点还有 米。AA【例 28】 （2009 年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级）丁丁和乐乐各拿了一辆玩具甲虫在 400米跑道上进行比赛，丁丁的玩具甲虫每分钟跑 30 米，乐乐的玩具甲虫每分钟跑 20 米，但乐乐带了一个神秘遥控器，按第一次会使丁丁的玩具甲虫以原来速度的 倒退 1 分钟，按第二次0%会使丁丁的玩具甲虫以原来速度的 倒退 1 分钟，以此类推，按第 次，使丁丁的玩具甲20%N虫以原来的速度的 倒退 1 分钟，然后再按原来的速度继续
17、前进，如果乐乐在比赛中最0N后获胜，他最少按 次遥控器。【例 29】 唐老鸭和米老鼠进行 5000 米赛跑米老鼠的速度是每分钟 125 米，唐老鸭的速度是每分钟 100米唐老鸭有一种能使米老鼠停止或减速的遥控器，每次使用都能使米老鼠进入“麻痹”状态1 分钟，1 分钟后米老鼠就会恢复正常，遥控器需要 1 分钟恢复能量才能再使用米老鼠对“麻痹”状态也在逐渐适应，第 1 次进入“麻痹”状态时，米老鼠会完全停止，米老鼠第 2 次进入“麻痹”状态时，就会有原速度 的速度，而第 3 次就有原速度 的速度，第 205%10%次进入“麻痹”状态时已有原速度 的速度了，这以后米老鼠就再也不会被唐老鸭的遥控器9所
18、控制了唐老鸭与米老鼠同时出发，如果唐老鸭要保证不败，它最晚要在米老鼠跑了多少米的时候第一次使用遥控器?【例 30】 小周开车前往某会议中心，出发 20 分钟后，因为交通堵塞，中途延误了 20 分钟，为了按时到达会议中心，小周将车速提高了 ，小周从出发时算起到达会议中心共用了多少分钟？25%【例 31】 （2008 年清华附中入学测试题）如图，甲、乙分别从 、 两地同时出发，匀速相向而行，AC他们的速度之比为 ，相遇于 地后，甲继续以原来的速度向 地前进，而乙则立即调头返5:4B回，并且乙的速度比相遇前降低 ，这样当乙回到 地时，甲恰好到达离 地 千米的 处，15 18D那么 、 两地之间的距离
19、是_千米。ACDCBA【例 32】 甲、乙两车分别从 、 两地同时出发相向而行，甲车速度为 32 千米/时，乙车速度为 48 千AB米/时，它们到达 地和 地后，甲车速度提高 ，乙车速度减少 ，它们第一次相遇地点与1416第二次相遇地点相距 74 千米，那么 、 之间的距离是多少千米？AB【例 33】 (2008 年日本第 12 届小学算术奥林匹克初赛)上午 8 点整，甲从 地出发匀速去 地，8 点 20AB分甲与从 地出发匀速去 地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的 3 倍，乙速度不变；8BA点 30 分，甲、乙两人同时到达各自的目的地那么，乙从 地出发时是 8 点 分B【例 34】 甲、
20、乙往返于相距 米的 ， 两地甲先从 地出发， 分钟后乙也从 地出发，并在10ABA6A距 地 米的 地追上甲乙到 地后立即原速向 地返回，甲到 地休息 分钟后加快速A6C B1度向 地返回，并在 地追上乙问：甲比乙提前多少分钟回到 地？【例 35】 （2005 年“祖冲之杯”小学数学邀请赛）如图所示，有 、 、 、 四个游乐景点，在连ABCD接它们的三段等长的公路 、 、 上，汽车行驶的最高时速限制分别是 120 千米、40ABCD千米和 60 千米。一辆大巴车从 景点出发驶向 景点，到达 点后立刻返回；一辆中巴同时从 点出发，驶向 点。两车相遇在 景点，而当中巴到达 点时，大巴又回到了 点，
21、已D C知大巴和中巴在各段公路上均以其所能达到且被允许的速度尽量快地行驶，大巴自身所具有的最高时速大于 60 千米，中巴在与大巴相遇后自身所具有的最高时速比相遇前提高了 ，12.5%求大巴客车的最高时速。DCBA【巩固】 从甲市到乙市有一条公路，它分成三段在第一段上，汽车速度是每小时 40 千米；在第二段上，汽车速度是每小时 90 千米；在第三段上，汽车速度是每小时 50 千米己知第一段公路的长恰好是第三段的 2 倍，现有两汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行，1 小时 20 分后，在第二段从甲到乙方向的 处相遇那么，甲、乙两市相距多少千米？3EA B CD【例 36】 现在甲乙两辆车往返于
22、相距 20 千米的 、 两地，甲车先从 地出发，9 分钟后乙车也从ABA地出发，并且在距离 地 5 千米的 地追上甲车。乙车到 地之后立即向 地原速驶回，ACBA甲车到 地休息 12 分钟之后加快速度向 地返回，并在 地又将乙车追上。那么最后甲车比B C乙车提前多少分钟到 地？A模块二、变道问题【例 37】 （2005 年小学生数学报优秀小读者评选活动）有一种机器人玩具装置，配备长、短不同的两条跑道，其中长跑道长 400 厘米，短跑道长 300 厘米，且有 200 厘米的公用跑道(如下图)。机器人甲按逆时针方向以每秒 6 厘米的速度在长跑道上跑动，机器人乙按顺时针方向以每秒 4厘米的速度在短跑
23、道上跑动。如果甲、乙两个机器人同时从 点出发，那么当两个机器人在跑A道上第 3 次迎面相遇时，机器人甲距离出发点 点多少厘米?200 200100A【例 38】 （2007 年首届全国资优生思维能力测试）如下图，甲从 出发，不断往返于 之间行走。乙AAB从 出发，沿 围绕矩形不断行走。甲的速度是 5 米/秒，乙的速度是 4 米CEFDC/秒，甲从背后第一次追上乙的地点离 点 米。AC=80米米CD=EF=120米米CE=DF=30米米DB=100米FEDC BA【例 39】 如图，两个圆环形跑道，大圆环的周长为 600 米，小圆环的周长为 400 米。甲的速度为每秒 6米，乙的速度为每秒 4 米。甲、乙二人同时由 点起跑，方向如图所示，甲沿大圆环跑一圈，A就跑上小圆环，方向不变，沿小圆环跑一圈，又跑上大圆环，方向也不变；而乙只沿小圆环跑。问：甲、乙可能相遇的位置距离 点的路程是多少？ (路程按甲跑的计算)乙的方向甲的方向甲的方向
