1、求解解析几何中参数范围的一种基本思路黄石三中 郝海滨 在解析几何教学中，求解参数范围或与参数有关的题目是一类既富有思考情趣，又融众多知识和技巧于一体且综合性强、灵活性高、难度颇大的挑战性问题，许多学生面对这些题目往往感到心中无数，甚至有些不知所措，有的学生还由此产生恐惧情绪，造成解题的心理障碍。笔者从教学实践中感到，要克服学生的心理障碍，必须着力向学生讲清楚解决此类问题的基本的思考途径。事实上，我们知道，学代数时，求解一个参数的范围，往往是通过建立关于这个参数的不等式或不等式组来解决，那么，解析几何中，是否也同样适用呢？本文以实例充分揭示活跃在解析几何中的参数范围的求解思路通过建立不等式（组）
2、来求解。一.利用题设中已有的不等关系建立不等式 若题设中已有关于一个参数的不等关系，则只要考虑能否找到所求参数和已知参数之间的关系，从而把关于已知参数的不等关系转化为关于所求参数的不等关系即可。例 1.（2000 年理科高考题）如图 1，已知梯形 ABCD 中 ,点 E 分有向线段 所成的比为 ，双曲线过CDAB2ACC、D、 E 三点，且以 A、B 为焦点。当 时，求双曲线离心率 e 的范围。324（略解）如图 1，建立直角坐标系，设双曲线方程为 ， ，由定比分点公式得 ，12byax),(hc )1,(2hcE由 C、E 在双曲线上，有 消去 ， 可得 1)()1(4222bhacbh22
3、31e代入 ，可得 33e430,7二.根据圆锥曲线自身范围建立不等式对于椭圆、双曲线它们的自身都包含了一些不等关系。如椭圆的长轴长大于短轴长，也大于焦距长，双曲线的实轴、虚轴长小于焦距长；它们的离心率都有一定的范围；对于椭圆、抛物线，当点位于其内部或外部时，都满足一定的不等关系。另外，圆锥曲线上的点的横坐标或纵坐标是有界的，因而也可以根据它的有界性建立不等关系。例 2.已知双曲线 的右焦点 F，右准线 ，直线 通过以 F、 为对应焦点和准线的椭圆的中心，132yxl3kxyl求 的取值范围。k解：双曲线 的焦点 F（2，0） ，准线 ，设 为椭圆上任意一点，由定义得2 2:xl),(P，)1
4、0(,23)(2exy化简得 ，可得椭圆中心为 ，由直线 过椭圆的中心，049)34()1( 222 exye )0,1(234eO 3kxy有 ，求出 ，而 ，0)(234k 6k1 ，从而求出 的范围为：160023k三.利用判别式建立不等式若题设中给出直线（或曲线）与曲线有公共点或无公共点时，可以把直线方程（或曲线方程）与曲线方程联立起来，消去某一未知数，得到所含另一个未知数的一元二次方程，就能利用判别式建立起所含参数的不等式。例 3.（96 年高考理科 24 题）已知 、 是过点 的两条互相垂直的直线，且 、 与双曲线 各有1l2)0,(P1l212xy两个交点，分别为 、 和 、 。
5、求直线 的斜率 的取值范围。1AB21l1k解：依题设 、 的斜率都存在，把 代入 得l2 2:xy12xy 0)(12kxk 且 021k0)3(41k同理 得 ),(22xy 0)(222kk 且 2k)(2k又 1l11DAEOCBYX由得 解得103221kk13k )3,(),()3,(),3(1 四.利用区间根原理建立不等式（组）当直线方程（或曲线方程）与曲线方程联立，通过消去一个未知数，得到所含另一个未知数的一元二次方程，而这个未知数有条件限制时，必须用区间根原理来建立所求参数的不等式组。例 4.已知点 A（0，2） ，B（4，0） ，抛物线 C 的方程为 ，若抛物线 C 与线段
6、 AB 相交于两个不同的点。12mxy求 的取值范围。m解：线段 （0 4） ，代入1:xyx2x得 )(2x设 （0 4） ，则方程 在区间 上有两个不等的实根，由2)mf 02)1(2x4,区间根原理得：16(20 4 解得： 4 m23450)(f02)(32m五.利用代数基本不等式或者利用几何不等关系建立不等式例 5.如图 F 为抛物线 的交点，M 点的坐标为 ，若 A、B、C、D 四点都在该抛物线上，且)0(,4axy )0,(aA、M、C，B、M、D，A、F、B 分别共线。求直线 AB 与 CD 夹角 的取值范围。解：（1）当 AB 垂直于 时，显然 CD 也垂直于 ，则 。轴 轴
7、x（2）当 AB 不垂直于 时，设轴 )2,(1tA),(2tB由 A、B、F 三点共线，得 即 BFKatat22121t又设 C 点的坐标为 ， 由 A、M、C 三点共线，),(3得： tt2321 32t由 得 ， C 点坐标为 )4,(2at同理，D 点坐标为 )4,(12at ，同理 221taKAB21tKD 212121)(ttttg 同号 2121tt与 212121ttt tg44,0arcg故例 6.已知双曲线 的左右两个焦点分别为 、 ，P 为双曲线左支上一点，它到左准线的距离),(,1byax 1F2为 ，且使 、 、 成等比数列，求离心率 的取值范围。d1PF2 exyABDMFO解：由双曲线的两个定义可得： ， aPFed2121212ea12eaPF21PF eacF2211e又因为 ， 0 02e2以上所提供的例子都只用一种建立方式即可求解，当然要注意对有些题目需用多种方式联合运用方可。2004/8/19yx12OEld
