1、【名师解析】辽宁省沈阳市四校 2015 届高三联考模拟（理科）数学试卷一.选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5 分）（2015沈阳模拟）已知全集 U=R，A=x|x|2，B=x|x 24x+30，则A（ UB）等于（ ）A x|1x3 B x|2x1 C x|1x2 D x|2x3【考点】： 交、并、补集的混合运算【专题】： 集合【分析】： 求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B，求出 A 与 B 补集的交集即可【解析】： 解：由 A 中不等式解得：2x2，即 A=x|2x2，由 B 中不等式变形得：（x1）（x
2、3）0，解得：x1 或 x3，即 B=x|x1 或 x3， UB=x|1x3，则 A（ UB）=x|1x2 ，故选：C【点评】： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2（5 分）（2015沈阳模拟）设 a，b 为实数，则“ab0 是 ”的（ ）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充要条件 D 既不充分又不必要条件【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】： 推理和证明【分析】： 根据：若 则 = 0，ab0 或 0a b；由充分必要条件的定义可判断【解析】： 解：若 ab0，则 = 0，即 出成立若 则 = 0，ab0 或 0ab所以“a b0
3、是 ”的充分不必要条件故选：A【点评】： 本题简单的考查了作差分解因式，判断大小；充分必要条件的判断方法3（5 分）（2015沈阳模拟）函数 f（x）=lnx+x 39 的零点所在的区间为（ ）A （0，1） B （1，2） C （2，3） D （3，4）【考点】： 函数零点的判定定理；二分法求方程的近似解【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 根据函数 f（x）在（0，+）上是增函数，f（ 2）0，f （3）0，可得函数f（x）在区间（2，3）上有唯一的零点【解析】： 解：由于函数 f（x）=lnx+x 39 在（0，+）上是增函数，f（2）=ln210，f（3）=ln30，故函数 f（x）
4、=lnx+x 39 在区间（2，3）上有唯一的零点，故选：C【点评】： 本题主要考查函数的单调性，函数零点的判定定理，属于基础题4（5 分）（2009辽宁）设等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 =3，则 =（ ）A 2 B C D 3【考点】： 等比数列的前 n 项和【分析】： 首先由等比数列前 n 项和公式列方程，并解得 q3，然后再次利用等比数列前 n 项和公式则求得答案【解析】： 解：设公比为 q，则 = = =1+q3=3，所以 q3=2，所以 = = = 故选 B【点评】： 本题考查等比数列前 n 项和公式5（5 分）（2012山东）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x+
5、6）=f（x），当 3x1 时，f（x）=（x+2） 2，当1x3 时，f（x）=x则 f（1）+f（2）+f（3）+f （2012）=（ ）A 335 B 338 C 1678 D 2012【考点】： 函数的周期性；函数的值【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 由 f（x+6）=f（x）可知，f（x）是以 6 为周期的函数，可根据题目信息分别求得f（1），f （2），f （3），f（4），f （5），f（6）的值，再利用周期性即可得答案【解析】： 解：f（x+6）=f（x），f（x）是以 6 为周期的函数，又当1x3 时， f（x）=x，f（1）+f （2）=1+2=3，f（ 1）=1=f
6、（5），f（0）=0=f （6）；当3x 1 时， f（x）=（x+2） 2，f（3）=f （3）=（3+2） 2=1，f（4）=f（2）=（2+2） 2=0，f（1）+f （2）+f （3）+f（4 ）+f（5）+f （6）=1+2 1+0+（1）+0=1，f（1）+f （2）+f （3）+f（2012）=f（1）+f（2） +f（3）+f（2010）+f（2011）+f （2012 ）=3351+f（1）+f（2）=338故选：B【点评】： 本题考查函数的周期，由题意，求得 f（1）+f（2）+f（3）+f（6）=是关键，考查转化与运算能力，属于中档题6（5 分）（2015沈阳模拟）已知函
7、数 f（x）= 在区间（，+）上是增函数，则常数 a 的取值范围是（ ）A （1，2） B （ ， 12，+） C 1，2 D （ ，1）（2，+）【考点】： 函数单调性的性质【专题】： 计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】： 由分段函数的单调性，考虑各段的情况，注意在 R 上递增，则有 0203+a23a+2，解得即可【解析】： 解：由于 f（x）= ，且 f（x）在区间（，+ ）上是增函数，则当 x0 时，y=x 2 显然递增；当 x0 时，y=x 3+a23a+2 的导数为 y=3x20，则递增；由 f（x）在 R 上单调递增，则 0203+a23a+2，即为 a23a+
8、20，解得，1a2故选 C【点评】： 本题考查函数的单调性的运用，考查不等式的解法，属于基础题和易错题7（5 分）（2015沈阳模拟）已知函数 ，则不等式 f（x2）+f（x 24）0 的解集为（ ）A （1，6） B （ 6，1） C （2，3） D （ 3，2）【考点】： 其他不等式的解法【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 本题要先判出 f（x）为奇函数和增函数，进而把抽象不等式转化为关于 x 的一元二次不等式【解析】： 解：由题意可知 f（x）的定义域为 Rf（x）+f （x）= =0，即 f（x）=f（x），f（x）为奇函数又 f（x）= = ，由复合函数的单调性可得 f（x）为
9、增函数，f（x2）+f （x 24）0 可化为 f（x2）f（x 24）即 f（x2）f （4x 2），可得 x24x 2， 即 x2+x60，解得3x2，故选 D【点评】： 本题为函数的性质与不等式解法的结合，属中档题8（5 分）（2015沈阳模拟）已知函数 f（x）=sin （x+）（0，| ）的最小正周期是 ，若其图象向右平移 个单位后得到的函数为奇函数，则函数 y=f（x）的图象（ ）A 关于点（ ，0）对称 B 关于直线 x= 对称C 关于点（ ，0）对称 D 关于直线 x= 对称【考点】： 正弦函数的图象【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： 由周期求出 =2，故函数 f（x）
10、=sin（2x+），再根据图象向右平移 个单位后得到的函数 y=sin（2x +是奇函数，可得 = ，从而得到函数的解析式，从而求得它的对称性【解析】： 解：由题意可得 =，解得 =2，故函数 f（x）=sin（2x+），其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为y=sin2（x ）+=sin（2x +是奇函数，又| ，故 = ，故函数 f（x）=sin（2x ），故当 x= 时，函数 f（x）=sin =1，故函数 f（x）=sin（2x） 关于直线 x= 对称，故选：D【点评】： 本题主要考查诱导公式的应用，利用了 y=Asin（x+ ）的图象变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题9（5
11、 分）（2015沈阳模拟）已知函数 f（x）=x 2+bx 的图象在点 A（1，f（1）处的切线斜率为 3，数列 的前 n 项和为 Sn，则 S2014 的值为（ ）A B C D 【考点】： 利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和【专题】： 计算题；导数的概念及应用【分析】： 可得 f（1）=2+b=3，解得 b=1，进而可得 f（x ），然后由裂项相消法求和可得【解析】： 解：函数的导数 f（x）=2x+b，点 A（1，f （1）处的切线的斜率为 3，f（1） =2+b=3，解得 b=1f（x）=x 2+x=x（x+1）， = = ，S 2014=（1 ） +（ ）+ （ ）+（ ）=
12、1 =故选 C【点评】： 本题考查数列的求和，涉及导数和曲线某点切线的斜率以及裂项相消法求和，属中档题10（5 分）（2015沈阳模拟）下列四个图中，函数 y= 的图象可能是（ ）A B C D 【考点】： 函数的图象【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 根据四个选择项判断函数值的符号即可选择正确选项【解析】： 解：当 x0 时，y0，排除 A、B 两项；当2 x 1 时，y0，排除 D 项故选：C【点评】： 本题考查函数的性质与识图能力，属中档题，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项11（5 分）（2015日照一模）已知定义域为 R 的奇函数 f（x）的导函数为
13、f（x），当 x0时，f（ x）+ 0，若 a= f（ ），b=2f（2），c= （ln ）f （ln ），则 a，b，c 的大小关系正确的是（ ）A acb B bca C abc D ca b【考点】： 导数的运算；利用导数研究函数的单调性【专题】： 导数的概念及应用【分析】： 利用条件构造函数 h（x）=xf（x），然后利用导数研究函数 h（x）的单调性，利用函数的单调性比较大小【解析】： 解：设 h（x）=xf（x），h（x）=f（x ）+xf （x），y=f （x）是定义在实数集 R 上的奇函数，h（x）是定义在实数集 R 上的偶函数，当 x0 时，h （x）=f（x）+xf （x）
14、0，此时函数 h（x）单调递增a= f（ ）=h （ ），b= 2f（ 2）=2f（2）=h（2），c=（ ln ）f（ln ）=h （ln ）=h （ln2 ）=h（ln2），又 2ln2 ，bca故选：A【点评】： 本题主要考查如何构造新的函数，利用单调性比较大小，是常见的题目本题属于中档题12（5 分）（2015沈阳模拟）定义域为 R 的偶函数 f（x）满足对xR ，有 f（x+2 ）=f（x）+f（ 1），且当 x2，3时，f（x）= 2x2+12x18，若函数 y=f（x）log a（|x|+1 ）在（0，+）上至少有三个零点，则 a 的取值范围是（ ）A （0， ） B （0， ）
15、 C （0， ） D （0， ）【考点】： 函数零点的判定定理【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 由题意可得函数 f（x）的周期为 2，当 x2，3 时，f （x）= 2x2+12x18，令g（x）=log a（x+1），则 f（x）的图象和 g（x）的图象至少有 3 个交点，画出图形，数形结合，根据 g（2）f（2），求得 a 的取值范围【解析】： 解：f（x+2）=f（x）f（1），且 f（x）是定义域为 R 的偶函数，令 x=1 可得 f（1+2）=f（1）f（1），又 f（1）=f （1），可得 f（1）=0 则有，f（x+2）=f（x），f（x）是周期为 2 的偶函数当 x2，3
16、时， f（x）=2x 2+12x18=2（x3） 2，函数 f（x）的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线函数 y=f（x）log a（x+1）在（ 0，+ ）上至少有三个零点，令 g（x）=log a（x+1），则 f（x）的图象和 g（x）的图象至少有 3 个交点作出函数的图象，如图所示，f（x）0，g（x）0，可得 0a1要使函数 y=f（x）log a（|x|+1）在（0，+）上至少有三个零点，则有 g（2）f（2），即 loga（2+1）f（2）=2，log a3 2，3 ，解得 a 又 a0，0a ，故选：B【点评】： 本题主要考查函数周期性及其应用，解题的过程中用到了数形结合
17、的方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题二填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分）13（5 分）（2015沈阳模拟）设 x，y 满足约束条件 ，若目标函数z=ax+by（a 0，b0）的最大值为 6，则 的最小值为 【考点】： 简单线性规划；基本不等式【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，确定 z 取最大值点的最优解，利用基本不等式的性质，利用数形结合即可得到结论【解析】： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：由 z=ax+by（a 0，b0）得 y= ，则直线的斜率 k= 0，截距最大时，z 也最大平移直 y= ，由图象可知当
18、直线 y= 经过点 A 时，直线 y= 的截距最大，此时 z 最大，由 ，解得 ，即 A（4，6），此时 z=4a+6b=6，即 ， =（ ）（ ）= ，当且仅当 ，即 a= 时取等号，此时 b= ，a=3 时取等号故答案为：【点评】： 本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义先求出最优解是解决本题的关键，利用基本不等式的解法和结合数形结合是解决本题的突破点14（5 分）（2008江苏）f（x）=ax 33x+1 对于 x1，1总有 f（x）0 成立，则 a= 4 【考点】： 利用导数求闭区间上函数的最值【专题】： 计算题；压轴题【分析】： 这类不等式在某个区间上恒成立的问题，可转化为
19、求函数最值的问题，本题要分三类：x=0，x0，x0 等三种情形当 x=0 时，不论 a 取何值，f （x）0 都成立；当x0 时有 a ，可构造函数 g（x）= ，然后利用导数求 g（x）的最大值，只需要使 ag（x） max，同理可得 x0 时的 a 的范围，从而可得 a 的值【解析】： 解：若 x=0，则不论 a 取何值，f（x）0 都成立；当 x0，即 x（0，1时，f（x）=ax 33x+10 可化为：a设 g（x）= ，则 g（x）= ，所以 g（x）在区间（0， 上单调递增，在区间 ，1上单调递减，因此 g（x） max=g（ ）=4，从而 a4；当 x0，即 x1，0）时，f（x
20、）=ax 33x+10 可化为：a ，g（x）= 在区间1，0）上单调递增，因此 g（x） min=g（1）=4，从而 a4，综上 a=4答案为：4【点评】： 本题考查的是含参数不等式的恒成立问题，考查分类讨论，转化与化归的思想方法，利用导数和函数的单调性求函数的最大值，最小值等知识与方法在讨论时，容易漏掉 x=0 的情形，因此分类讨论时要特别注意该问题的解答15（5 分）（2015沈阳模拟）在AOB 中，G 为 AOB 的重心（三角形中三边上中线的交点叫重心），且AOB=60若 =6，则| |的最小值是 2 【考点】： 平面向量数量积的运算【专题】： 计算题；不等式的解法及应用；平面向量及应
21、用【分析】： 设 AB 的中点为 C，则点 G 在 OC 上，运用重心的性质和中点向量的表示，再由向量的数量积的定义，结合基本不等式即可求得最小值【解析】： 解：设 AB 的中点为 C，则点 G 在 OC 上，且 = = = （ + ）， =| | |cos60=6，| | |=12则| |= （| + |= = = =2，当且仅当| |=| |时，等号成立，故 | |的最小值是 2，故答案为：2【点评】： 本题主要考查三角形的重心的定义和性质，考查向量的数量积的定义和性质及模，基本不等式的应用，属于中档题16（5 分）（2015沈阳模拟）对于三次函数 f（x）=ax 3+bx2+cx+d（a
22、0），定义：设f（ x）是函数 y=f（x）的导数 y=f（x）的导数，若方程 f（x）=0 有实数解 x0，则称点（x 0，f（x 0）为函数 y=f（x）的“拐点” 有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心；且“拐点”就是对称中心” 请你根据这一发现，函数 f（x）=x33x2+3x+1 对称中心为 （ 1，2） 【考点】： 导数的运算【专题】： 导数的概念及应用【分析】： 根据函数 f（x）的解析式求出 f（x）和 f（x），令 f（x）=0 ，求得 x 的值，由此求得函数 f（x）=x 33x2+3x+1 对称中心【解析】： 解：（1）函数 f（x）=x
23、33x2+3x+1，f （x ）=3x 2 6x+3，f（x）=6x 6令 f（ x）=6x6=0，解得 x=1，且 f（1）=2，故函数 f（x） =x33x2+3x 对称中心为（1，2），故答案为 （1，2）【点评】： 本题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力，函数的对称性的应用，属于基础题三解答题：（解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10 分）（2015沈阳模拟）已知函数 f（x）=3cos 2x+2sinxcosx+sin2x（1）求 f（x）的最大值，并求出此时 x 的值；（2）写出 f（x）的单调区间【考点】： 三角函数中的恒等变换应
24、用；正弦函数的图象【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： （1）化简可得 f（x）= ，可得 f（x）的最大值和此时 x 的值；（2）由 和 分别可解得函数的单调递增和单调递减区间【解析】： 解：（1）化简可得=sin2x+cos2x+2=f（x）的最大值为 ，此时 2x+ =2k+ ，解得 ；（2）由 可解得 ；f（x）单调增区间为： ；由 可解得f（x）单调减区间为：【点评】： 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的最值和单调性，属基础题18（12 分）（2015沈阳模拟）已知 f（x）= sin（+x ）sin（ x）cos 2x（0）的最小正周期为 T=（1）求 f（ ）的值；（
25、2）在ABC 中，角 A、B 、C 所对应的边分别为 a、b、c，若有（2a c）cosB=bcosC ，则求角B 的大小以及f（A）的取值范围【考点】： 三角函数中的恒等变换应用；正弦定理【专题】： 三角函数的求值【分析】： （1）先逆用两角差的正弦公式化成正弦型函数的标准形式，然后利用周期公式T=，求 的值，进而写出函数 f（x）的解析式；求出 f（ ）的值（2）利用正弦定理，求出 cosB 的值，继而求出 B 的大小，再根据 A 为三角形的内角求出 A的范围，继而求出 f（A）的范围【解析】： 解：（1）f（x）= sin（+x）sin（ x） cos2x，= sinxcosxcos2x
26、，= sin2x cos2x ，=sin（2x ）函数 f（x）的最小正周期为 T=即： =，得 =1，f（x）=sin（2x ） ，f（ ）=sin（2 ） =sin =1，（2）（2ac）cosB=bcosC，由正弦定理可得：（2sinAsinC）cosB=sinBsinC，2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA ，sinA0，cosB= ，B（0，），B= ，A+C=B= ，A（0， ），2A （ ， ），sin（2A ）（ ，1，f（A） =sin（2A ） （1， ，【点评】： 本题考查了三角变换及解三角形，第（1）问解决的关键是化成正弦型
27、函数的标准形式；第（2）的关键是把求角的范围转化成先求角的余弦值的范围19（12 分）（2015沈阳模拟）数列a n的前 n 项和为 Sn，a n 是 Sn 和 1 的等差中项，等差数列b n满足 b1+S4=0，b 9=a1（1）求数列a n，b n的通项公式；（2）若 cn= ，求数列c n的前 n 项和 Wn【考点】： 数列的求和；等差数列的性质【专题】： 计算题；等差数列与等比数列【分析】： （1）由 an 是 Sn 和 1 的等差中项，可得 Sn=2an1，再写一式，可得数列a n是以 1为首项，2 为公比的等比数列，可求数列a n的通项公式，求出等差数列b n的首项与公差，可得b
28、n的通项公式；（2）利用裂项求和，可得数列c n的前 n 项和 Wn【解析】： 解：（1）a n 是 Sn 和 1 的等差中项，S n=2an1，当 n2 时，a n=SnSn1=（2a n1）（2a n11）=2a n2an1，a n=2an1，当 n=1 时，a 1=1，（2 分）数列a n是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，a n=2n1（6 分）S n=2n1；设b n的公差为 d，b 1=S4=15，b 9=a1=15+8d=1，d=2，b n=2n17；（8 分）（2）c n= = （ ），W n= （1 ）+（ ）+（ ）= （1 ）= （14 分）【点评】： 本题考查数列的
29、通项与求和，考查裂项法，考查学生分析解决问题的能力，难度中等20（12 分）（2015沈阳模拟）已知函数 f（x）=ax 3+bx2 的图象经过点 M（1，4），曲线在点 M 处的切线恰好与直线 x+9y=0 垂直（1）求实数 a，b 的值；（2）若函数 f（x）在区间m，m+1 上单调递增，求 m 的取值范围【考点】： 函数的单调性与导数的关系；导数的几何意义【专题】： 计算题【分析】： （1）将 M 的坐标代入 f（x）的解析式，得到关于 a，b 的一个等式；求出导函数，求出 f（ 1）即切线的斜率，利用垂直的两直线的斜率之积为 1，列出关于 a，b 的另一个等式，解方程组，求出 a，b
30、的值（2）求出 f（ x），令 f（x） 0，求出函数的单调递增区间，据题意知m，m+1（， 20，+），列出端点的大小，求出 m 的范围【解析】： 解：（1）f（x）=ax 3+bx2 的图象经过点 M（1，4），a+b=4式 （1 分）f（x）=3ax 2+2bx，则 f（1）=3a+2b（3 分）由条件 式（5 分）由式解得 a=1，b=3（2）f（x）=x 3+3x2，f （x）=3x 2+6x，令 f（x）=3x 2+6x0 得 x0 或 x2，（8 分）函数 f（x）在区间m，m+1 上单调递增m，m+1（，20， +）m0 或 m+12m0 或 m3【点评】： 注意函数在切点处的
31、导数值是曲线的切线斜率；直线垂直的充要条件是斜率之积为121（12 分）（2015沈阳模拟）已知单调递增的等比数列a n满足：a 2+a3+a4=28，且 a3+2 是a2，a 4 的等差中项（）求数列a n的通项公式；（）若 bn=an+log an，S n=b1+b2+bn，求 Sn【考点】： 数列的求和；等比数列的性质【专题】： 综合题；等差数列与等比数列【分析】： （I）根据 a3+2 是 a2，a 4 的等差中项和 a2+a3+a4=28，求出 a3、a 2+a4 的值，进而得出首项和 a1，即可求得通项公式；（II）先求出数列b n的通项公式，然后分组求和，即可得出结论【解析】：
32、解：（I）设等比数列a n的首项为 a1，公比为 qa 3+2 是 a2，a 4 的等差中项2（a 3+2）=a 2+a4代入 a2+a3+a4=28，得 a3=8a 2+a4=20解得 或数列a n单调递增a n=2n（II）a n=2n，b n=an+log an=ann，S n= =2n+12 ，【点评】： 本题考查了等比数列的通项公式以及数列的前 n 项和，考查学生的计算能力，属于中档题22（12 分）（2015沈阳模拟）已知函数 f（x）=ln（x+a）x 2+x，g（x）=xe xx21（x0），且 f（x）点 x=1 处取得极值（）求实数 a 的值；（）若关于 x 的方程 f（x
33、）= x+b 在区间1，3 上有解，求 b 的取值范围；（）证明：g（x）f（x）【考点】： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【专题】： 导数的综合应用【分析】： （）通过求导得 f（1）=0，则得 a=0经检验符合题意； （）由题意得： 令 ，从而有，进而求出 b 的取值范围；（）证明：令 F（x）=g （x）f（x）=xe xlnxx1（x0），则= ，得到 F（x）F （c）=0 ，从而证得 g（x）f（x）【解析】： 解：（）f（x）=ln（x+a）x 2+x，函数 f（x）=ln（x+a ） x2+x 在点 x=1 处取得极值，f（1）=0，即当 x=1 时 ， ，则
34、得 a=0经检验符合题意； （） ， ， 令 ，则 当 x1，3时， h（x），h（x）随 x 的变化情况表：x 1 （1，2） 2 （2，3） （8 分）3h（x） + 0 h（x） 极大值 计算得： ， ，h（2）=ln2+3，所以 b 的取值范围为 （）证明：令 F（x）=g （x）f（x）=xe xlnxx1（x0），则 = ，令 G（x）=xe x1，则G （x ）=（x+1）e x0（x0），函数 G（x）在（0，+）递增，G（x）在（0，+）上的零点最多一个，又G（0）=10，G（1）=e10，存在唯一的 c（0，1）使得 G（c）=0，且当 x（0，c）时，G（x）0；当 x（c，+）时，G（x）0即当 x（0，c）时，F（x）0；当 x（c，+）时，F （x）0F（x）在（0，c）递减，在（c，+）递增，从而 F（x）F（c）=ce clncc1由 G（c）=0 得 cec1=0 即 cec=1，两边取对数得：lnc+c=0，F（c）=0，F （x）F （c）=0，从而证得 g（x）f（x）【点评】： 本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，考查不等式的证明，是一道综合题
