1、【名师解析】江苏省泰州市 2015 届高三一模数学试题一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1（5 分）（2015泰州一模）已知 A=1，3，4，B=3， 4，5，则 AB= 3 ，4 【考点】： 交集及其运算【专题】： 集合【分析】： 由 A 与 B，求出两集合的交集即可【解析】： 解：A=1 ，3， 4，B=3 ，4，5 ，AB=3，4 故答案为：3，4【点评】： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5 分）（2015泰州一模）函数 f（x）=2sin （3x+ ）的最小正周期 T= 【考点】： 三角
2、函数的周期性及其求法【专题】： 计算题【分析】： 由函数解析式找出 的值，代入周期公式 T= ，即可求出函数的最小正周期【解析】： 解：函数 f（x）=2sin（3x+ ），=3，T= 故答案为：【点评】： 此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键3（5 分）（2015泰州一模）复数 z 满足 iz=3+4i（i 是虚数单位），则 z= 43i 【考点】： 复数代数形式的乘除运算【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 利用复数的运算法则即可得出【解析】： 解：iz=3+4i，iiz=i（3+4i），z=43i，故答案为：43i【点评】： 本题考查了复数的运算法则，属于
3、基础题4（5 分）（2015泰州一模）函数 y= 的定义域为 2 ，+ ） 【考点】： 函数的定义域及其求法【专题】： 计算题；函数的性质及应用【分析】： 由根式内部的代数式大于等于 0，然后求解指数不等式【解析】： 解：由 2x40，得 2x4，则 x2函数 y= 的定义域为2，+）故答案为：2，+）【点评】： 本题考查了函数的定义域及其求法，考查了指数不等式的解法，是基础题5（5 分）（2015泰州一模）执行如图所示的流程图，则输出的 n 为 4 【考点】： 程序框图【专题】： 图表型；算法和程序框图【分析】： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S，n 的值，当 S=63 时，不满
4、足条件 S63，退出循环，输出 n 的值为 4【解析】： 解：模拟执行程序框图，可得S=511，n=1满足条件 S63，S=255，n=2满足条件 S63，S=127，n=3满足条件 S63，S=63，n=4不满足条件 S63，退出循环，输出 n 的值为 4故答案为：4【点评】： 本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环的 S，n 的值是解题的关键，属于基础题6（5 分）（2015泰州一模）若数据 2，x，2，2 的方差为 0，则 x =2 【考点】： 极差、方差与标准差【专题】： 概率与统计【分析】： 由已知利用方差公式得到关于 x 的方程解之【解析】： 解：因为数据 2，x，2，2
5、的方差为 0，由其平均数为 ，得到=0，解得 x=2；故答案为：2【点评】： 本题考查了调查数据的方差的计算公式的运用，熟记公式是关键，属于基础题7（5 分）（2015泰州一模）袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为 【考点】： 古典概型及其概率计算公式【专题】： 排列组合【分析】： 从中任取两个球共有红 1 红 2，红 1 白 1，红 1 白 2，红 2 白 1，红 2 白 2，白 1 白2，共 6 种取法，其中颜色相同只有 2 种，根据概率公式计算即可【解析】： 解：从中任取两个球共有红 1 红 2，红 1 白 1，红 1 白 2，红 2 白 1
6、，红 2 白 2，白1 白 2，共 6 种取法，其中颜色相同只有 2 种，故从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率 P= = ；故答案为： 【点评】： 本题考查了古典概型概率的问题，属于基础题8（5 分）（2015泰州一模）等比数列 an 中，a 1+32a6=0，a 3a4a5=1，则数列前 6 项和为 【考点】： 等比数列的通项公式【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： 根据 a1+32a6=0，求出公比 q 的值，再根据 a3a4a5=1，求出 a4 与 a1，即可计算数列的前 6 项和 S6【解析】： 解：等比数列a n中，a 1+32a6=0，q 5= = ，即公比 q= ；又a
7、 3a4a5=1，a 4=1，a 1= = =8；该数列的前 6 项和为S6= = = 故答案为： 【点评】： 本题考查了等比数列的通项公式与前 n 项和的计算问题，是基础题目9（5 分）（2015泰州一模）已知函数 f（x）= 是奇函数，则 sin= 1 【考点】： 函数奇偶性的性质【专题】： 函数的性质及应用；三角函数的图像与性质【分析】： 由已知中函数 f（x）= 是奇函数，可得cos（x+）=sinx 恒成立，进而 = +2k，kZ，进而可得 sin 的值【解析】： 解：当 x0 时，x0，则 f（x）=x 2+cos（x+），f（x）=（x） 2+sin（x）=x 2sinx，函数
8、f（x）是奇函数，f（x）=f（x），cos（x+）=sinx 恒成立，= +2k，kZ ，sin=1，故答案为：1【点评】： 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，诱导公式，特殊角的三角函数值，是三角函数与函数图象和性质的综合应用，难度中档10（5 分）（2015泰州一模）双曲线 =1 的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率 e= 【考点】： 双曲线的简单性质【专题】： 计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 求出双曲线的左顶点以及右焦点，以及渐近线方程，运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，列出 a、b、c 关系式，然后由离心率公式即可计算得到【解析
9、】： 解：双曲线 =1 的右焦点为（c，0），左顶点为（ a，0），右焦点到双曲线渐近线 bxay=0 的距离为： = =b，右焦点（c，0）到左顶点为（a，0）的距离为：a+c，由题意可得，b= （a+c），即有 4b2=a2+c2+2ac，即 4（c 2a2）=a 2+c2+2ac，即 3c25a22ac=0，由 e= ，则有 3e22e5=0，解得，e= 故答案为： 【点评】： 本题考查双曲线的离心率的求法，点到直线的距离公式的应用，属于中档题11（5 分）（2015泰州一模）若 、 是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）若直线 m，则在平面 内，一定不
10、存在与直线 m 平行的直线若直线 m，则在平面 内，一定存在无数条直线与直线 m 垂直若直线 m，则在平面 内，不一定存在与直线 m 垂直的直线若直线 m，则在平面 内，一定存在与直线 m 垂直的直线【考点】： 空间中直线与平面之间的位置关系【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： 利用线面垂直的性质定理对四个命题分别分析解答【解析】： 解：对于，若直线 m，如果 ， 互相垂直，则在平面 内，存在与直线 m平行的直线故错误；对于，若直线 m，则直线 m 垂直于平面 内的所有直线，则在平面 内，一定存在无数条直线与直线 m 垂直故正确；对于，若直线 m，则在平面 内，一定存在与直线 m 垂直的直
11、线故错误；对于，若直线 m，则在平面 内，一定存在与直线 m 垂直的直线故正确；故答案为：【点评】： 本题考查了线面垂直的性质定理的运用判断直线的位置关系；关键是熟练运用定理，全面考虑12（5 分）（2015泰州一模）已知实数 a，b，c 满足 a2+b2=c2，c0，则 的取值范围为 【考点】： 基本不等式【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 实数 a，b，c 满足 a2+b2=c2，c0，化为 =1，令=cos， =sin， 0，2）可得 k= = = ，表示点 P（2，0）与圆x2+y2=1 上的点连线的在的斜率利用直线与圆的位置关系即可得出【解析】： 解：实数 a，b，c 满足 a
12、2+b2=c2，c0， =1，令 =cos， =sin， 0，2）k= = = ，表示点 P（2，0）与圆 x2+y2=1 上的点连线的直线的斜率设直线 l：y=k（x2），则 ，化为 ，解得 的取值范围为 故答案为： 【点评】： 本题考查了三角函数换元法、直线的斜率计算公式、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13（5 分）（2015泰州一模）在ABC 中，A，B， C 所对的边分别为 a，b，c，若B= C 且 7a2+b2+c2=4 ，则ABC 的面积的最大值为 【考点】： 余弦定理；正弦定理【专题】： 解三角形【分析】： 由B=C
13、 得 b=c，代入 7a2+b2+c2=4 化简，根据余弦定理求出 cosC，由平方关系求出 sinC，代入三角形面积公式求出表达式，由基本不等式即可求出三角形 ABC 面积的最大值【解析】： 解：由B=C 得 b=c，代入 7a2+b2+c2=4 得，7a2+2b2=4 ，即 2b2=4 7a2，由余弦定理得，cosC= = ，所以 sinC= = = ，则ABC 的面积 S= = = a= = = = ，当且仅当 15a2=8 15a2 取等号，此时 a2= ，所以ABC 的面积的最大值为 ，故答案为： 【点评】： 本题考查余弦定理，平方关系，基本不等式的应用，以及三角形的面积公式，考查变
14、形、化简能力14（5 分）（2015泰州一模）在梯形 ABCD 中， =2 ， =6，P 为梯形 ABCD 所在平面上一点，且满足 + +4 = ， = ，Q 为边 AD 上的一个动点，则 的最小值为 【考点】： 向量的加法及其几何意义【专题】： 平面向量及应用【分析】： 画图，根据向量的几何意义和 + +4 = ，可求出 =2，| |=4，设ADP= ，根据 = ，求出 cos，继而求出 sin，再根据射影定理得到 的最小值【解析】： 解：取 AB 的中点，连接 PE， =2 ， =2 ， = ，四边形 DEBC 为平行四边形， = ， + =2 ， + +4 = ， =2 ， =6， =2
15、，| |=4，设ADP= ， = ， =| | |cos= ，cos= ，sin= ，当 时， 最小， =|DP|sin|=2 =故答案为：【点评】： 本题考查了向量的几何意义以及向量的夹角公式，以及射影定理，属于中档题二、解答题：（本大题共 6 小题，共 90 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（14 分）（2015泰州一模）在平面直角坐标系 xOy 中，角 的终边经过点 P（3，4）（1）求 sin（+ ）的值；（2）若 P 关于 x 轴的对称点为 Q，求 的值【考点】： 平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数【专题】： 平面向量及应用【分析】： （1）由已知的 的三角函数
16、值，然后利用两角和的正弦公式求值；（2）由已知求出 Q 的坐标，明确 ， 的坐标，利用数量积公式解答【解析】： 解：（1）角 的终边经过点 P（3，4）， ，（4 分） （7 分）（2）P（3，4）关于 x 轴的对称点为 Q，Q（3，4）（9 分） ， （14 分）【点评】： 本题考查了三角函数的定义以及三角函数公式的运用、向量的数量积的运算属于基础题16（14 分）（2015泰州一模）如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是菱形，AC，BD 相交于点 O，EF AB ，AB=2EF，平面 BCF平面 ABCD，BF=CF，点 G 为 BC 的中点（1）求证：直线 OG平面 EF
17、CD；（2）求证：直线 AC平面 ODE【考点】： 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： （1）根据线线平行推出线面平行；（2）根据线面垂直的判定定理进行证明即可【解析】： 证明（1）四边形 ABCD 是菱形，ACBD=O ，点 O 是 BD 的中点，点 G 为 BC 的中点OGCD，（3 分）又OG平面 EFCD，CD平面 EFCD，直线 OG平面 EFCD（7 分）（2）BF=CF，点 G 为 BC 的中点， FGBC，平面 BCF平面 ABCD，平面 BCF平面 ABCD=BC，FG平面 BCF，FGBCFG 平面ABCD，（9 分）AC平面
18、 ABCDFGAC， ， ，OGEF ，OG=EF，四边形 EFGO 为平行四边形，FG EO，（11 分）FGAC ，FGEO，ACEO，四边形 ABCD 是菱形，ACDO，ACEO，ACDO，EODO=O，EO、DO 在平面 ODE 内，AC平面 ODE（14 分）【点评】： 本题考查了线面平行，线面垂直的判定定理，本题属于中档题17（14 分）（2015泰州一模）如图，我市有一个健身公园，由一个直径为 2km 的半圆和一个以 PQ 为斜边的等腰直角三角形 PRQ 构成，其中 O 为 PQ 的中点现准备在公园里建设一条四边形健康跑道 ABCD，按实际需要，四边形 ABCD 的两个顶点 C、
19、D 分别在线段 QR、PR上，另外两个顶点 A、B 在半圆上，ABCDPQ，且 AB、CD 间的距离为 1km设四边形ABCD 的周长为 ckm（1）若 C、D 分别为 QR、PR 的中点，求 AB 长；（2）求周长 c 的最大值【考点】： 三角函数的最值；在实际问题中建立三角函数模型【专题】： 计算题；应用题；函数的性质及应用；三角函数的求值【分析】： （1）连结 RO 并延长分别交 AB、CD 于 M、N ，连结 OB，运用等腰直角三角形的性质，结合勾股定理计算即可得到 AB 的长；（2）设BOM=，由解直角三角形可得 BM，OM，即可得到c=AB+CD+BC+AD=2（sin+cos+
20、），再由 （当且仅当 a=b 取得等号），计算即可得到最大值【解析】： （1）解：连结 RO 并延长分别交 AB、CD 于 M、N ，连结 OB，C、D 分别为 QR、PR 的中点，PQ=2， ，PRQ 为等腰直角三角形，PQ 为斜边， ， MN=1， 在 RtBMO 中， BO=1， ， （2）设BOM=， ，在 RtBMO 中， BO=1，BM=sin，OM=cosMN=1，CN=RN=1ON=OM=cos ， ， ，当 sin+cos= ，即有 sin2= ，即 或 时取等号当 或 时，周长 c 的最大值为 km【点评】： 本题考查三角函数的最值，考查重要不等式的运用，考查同角的平方关系
21、，考查运算能力，属于中档题18（16 分）（2015泰州一模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，离心率为 的椭圆 C：+ =1（ab0）的左顶点为 A，过原点 O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆 C 交于P，Q 两点，直线 PA，QA 分别与 y 轴交于 M，N 两点若直线 PQ 斜率为 时，PQ=2 （1）求椭圆 C 的标准方程；（2）试问以 MN 为直径的圆是否经过定点（与直线 PQ 的斜率无关）？请证明你的结论【考点】： 直线与圆锥曲线的综合问题【专题】： 圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】： ，（1）设 ，由于直线 PQ 斜率为 时， ，可得，解得 ，代入椭圆方程可得： ，又，联立解
22、得即可（2）设 P（x 0，y 0），则 Q（x 0，y 0），代入椭圆方程可得 由直线 PA 方程为：，可得 ，同理由直线 QA 方程可得 ，可得以 MN 为直径的圆为 ，由于，代入整理即可得出【解析】： 解：（1）设 ，直线 PQ 斜率为 时， ， ， ， =1， ， ，化为 a2=2b2联立 ，a 2=4，b 2=2椭圆 C 的标准方程为 （2）以 MN 为直径的圆过定点 下面给出证明：设 P（x 0，y 0），则 Q（ x0， y0），且 ，即 ，A（2，0），直线 PA 方程为： ， ，直线 QA 方程为： ， ，以 MN 为直径的圆为 ，即 ， ， ，令 y=0，x 2+y22=0
23、，解得 ，以 MN 为直径的圆过定点 【点评】： 本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、点与椭圆的位置关系、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于难题19（16 分）（2015泰州一模）数列a n，b n，c n满足：bn=an2an+1，c n=an+1+2an+22，n N*（1）若数列a n是等差数列，求证：数列b n是等差数列；（2）若数列b n，c n都是等差数列，求证：数列a n从第二项起为等差数列；（3）若数列b n是等差数列，试判断当 b1+a3=0 时，数列a n是否成等差数列？证明你的结论【考点】： 数列递推式；等比关系的确定【专题】： 等差数列与等比数
24、列【分析】： （1）利用等差数列的定义只要证明 bn+1bn=一个常数即可；（2）当 n2 时，c n1=an+2an+12，b n=an2an+1，可得 ，只要证明 an+1an 等于一个常数即可；（3）解：数列a n成等差数列解法 1 设数列b n的公差为 d，由 bn=an2an+1，利用“ 错位相减” 可得，设，可得，进而得到，令 n=2，得，利用 b1+a3=0，可得an+2an+1=（b n+1d）+（b nd）=d，即可证明解法 2 由 bn=an2an+1，b 1+a3=0，令 n=1，a 12a2=a3，即 a12a2+a3=0，可得bn+1=an+12an+2，b n+2=
25、an+22an+3，2b n+1bnbn+2=（2a n+1anan+2） 2（2a n+2an+1an+3），由于数列bn是等差数列，可得 2bn+1bnbn+2=0，可得 2an+1anan+2=2（2a n+2an+1an+3），即可证明【解析】： 证明：（1）设数列a n的公差为 d，b n=an2an+1，b n+1bn=（a n+12an+2）（a n2an+1）=（a n+1an）2（a n+2an+1）=d 2d=d，数列b n是公差为d 的等差数列 （2）当 n2 时，c n1=an+2an+12，b n=an2an+1， ， ， ，数列b n，c n都是等差数列， 为常数，
26、数列a n从第二项起为等差数列（3）解：数列a n成等差数列解法 1 设数列b n的公差为 d，b n=an2an+1， ， ， ， ，设 ， ，两式相减得： ，即 ， ， ，令 n=2，得 ，b 1+a3=0， ，2a 1+2b14d=0，a n+1=（b nd），a n+2an+1=（b n+1d）+（b nd）=d，数列a n（n2）是公差为d的等差数列，b n=an2an+1，令 n=1，a 12a2=a3，即 a12a2+a3=0，数列a n是公差为 d的等差数列解法 2b n=an2an+1，b 1+a3=0，令 n=1，a 12a2=a3，即 a12a2+a3=0，b n+1=a
27、n+12an+2，b n+2=an+22an+3，2b n+1bnbn+2=（2a n+1anan+2）2（2a n+2an+1an+3），数列b n是等差数列，2b n+1bnbn+2=0，2a n+1anan+2=2（2a n+2an+1an+3），a 12a2+a3=0，2a n+1anan+2=0，数列a n是等差数列【点评】： 本题考查了等差数列的定义及其通项公式，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题20（16 分）（2015泰州一模）已知函数 f（x）=lnx ，g（x）=ax+b（1）若函数 h（x）=f（x）g（x）在（0，+）上单调递增，求实数
28、a 的取值范围；（2）若直线 g（x）=ax+b 是函数 f（x）=lnx 图象的切线，求 a+b 的最小值；（3）当 b=0 时，若 f（x）与 g（x）的图象有两个交点 A（ x1，y 1），B（x 2，y 2），求证：x1x22e 2（取 e 为 2.8，取 ln2 为 0.7，取 为 1.4）【考点】： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【专题】： 导数的综合应用【分析】： （1）把 f（x）和 g（x）代入 h（x）=f（x）g（x），求其导函数，结合 h（x）在（0，+）上单调递增，可得对x0，都有 h（x）0，得到 ，由 得到a 的取值范围；（2）设切点 ，
29、写出切线方程，整理得到，令 换元，可得 a+b=（t ）= lnt+t2t1，利用导数求其最小值；（3）由题意知 ， ，把 a 用含有 x1，x 2 的代数式表示，得到 ，不妨令 0x 1x 2，记 ，构造函数，由导数确定其单调性，从而得到，即 ，然后利用基本不等式放缩得到 ，令 ，再由导数确定 G（x）在（0，+）上单调递增，然后结合又 得到，即 【解析】： （1）解：h（x）=f（x）g（x）= ，则 ，h（x）=f（x）g（x）在（0，+）上单调递增，对x0，都有，即对x0，都有 ， ，a0，故实数 a 的取值范围是（，0；（2）解：设切点 ，则切线方程为，即 ，亦即，令 ，由题意得 ，
30、令 a+b=（t）=lnt+t 2t1，则 ，当 t（0，1）时， （t）0， （t）在（0，1）上单调递减；当 t（1，+）时，（t） 0，（t）在（1，+）上单调递增，a+b=（t）（1）=1，故 a+b 的最小值为1；（3）证明：由题意知 ， ，两式相加得 ，两式相减得 ，即 ， ，即 ，不妨令 0x 1x 2，记 ，令 ，则 ， 在（1，+）上单调递增，则， ，则 ， ，又， ，即 ，令 ，则 x0 时， ，G（x）在（0，+）上单调递增，又 ， ，则 ，即 【点评】： 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法和函数构造法，本题
31、综合考查了学生的逻辑思维能力和灵活应变能力，难度较大三、选做题（共 4 小题，满分 20 分，SPAN style=FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 宋体; mso-bidi-font-family: Times New Roman; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-font-size: 16.0pt; mso-ascii-font-family: Times New
32、Roman; mso-hansi-font-family: Times New RomanSTRONG四小题中任选两题作答/STRONG/SPAN）【几何证明选讲】21（10 分）（2015泰州一模）如图，EA 与圆 O 相切于点 A，D 是 EA 的中点，过点 D 引圆O 的割线，与圆 O 相交于点 B，C，连结 EC求证：DEB=DCE【考点】： 与圆有关的比例线段【专题】： 立体几何【分析】： 由切割线定理：DA 2=DBDC，从则 DE2=DBDC，进而EDBCDE，由此能证明DEB=DCE【解析】： 证明：EA 与O 相切于点 A由切割线定理：DA 2=DBDCD 是 EA 的中点，
33、DA=DEDE 2=DBDC （5 分） EDB=CDE，EDBCDE，DEB=DCE（10 分）【点评】： 本题考查两角相等的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用【矩阵与变换】22（10 分）（2015泰州一模）已知矩阵 A= ，B= ，若矩阵 AB1 对应的变换把直线 l 变为直线 l：x+y2=0，求直线 l 的方程【考点】： 几种特殊的矩阵变换【专题】： 矩阵和变换【分析】： 计算出 AB1 的值，设出变换，计算即可【解析】： 解： ， ， ，设直线 l 上任意一点（x，y）在矩阵 AB1 对应的变换下为点（x，y） ， 代入 l，l：（x2y）+（2y）2=0，
34、化简后得：l：x=2【点评】： 本题考查了矩阵的变换，属基础题【坐标系与参数方程选讲】23（2015泰州一模）己知在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O 的参数方程为 （ 为参数）以原点 O 为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为（sin cos）=1，直线 l 与圆 M 相交于 A，B 两点，求弦 AB 的长【考点】： 简单曲线的极坐标方程【专题】： 坐标系和参数方程【分析】： 利用 sin2+cos2=1 可得圆 O 的普通方程，把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式可得圆心 O（0，0）到直线 l 的距离 d，再利用弦长公式可得
35、|AB|= 【解析】： 解：由圆 O 的参数方程 （ 为参数），利用 sin2+cos2=1 可得圆O：x 2+y2=4，又直线 l 的极坐标方程为 （sincos ）=1 可得直线 l：xy+1=0，圆心 O（0，0）到直线 l 的距离 ，弦长 【点评】： 本题考查了圆的参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式，考查了计算能力，属于基础题【不等式选讲】24（2015泰州一模）已知正实数 a，b，c 满足 a+b+c=3，求证： + + 3【考点】： 不等式的基本性质【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 利用基本不等式的性质即可得出【解析】： 证明：正
36、实数 a，b，c 满足 a+b+c=3， ，abc1 ， 【点评】： 本题考查了基本不等式的性质，属于基础题四、解答题（共 2 小题，满分 20 分）25（10 分）（2015泰州一模）如图，在长方体 ABCDABCD中，DA=DC=2 ，DD=1，AC与 BD相交于点 O，点 P 在线段 BD 上（点 P 与点 B 不重合）（1）若异面直线 OP 与 BC所成角的余弦值为 ，求 DP 的长度；（2）若 DP= ，求平面 PAC与平面 DCB 所成角的正弦值【考点】： 二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角【专题】： 空间位置关系与距离；空间角【分析】： （1）以 为一组正交基底，建立空间
37、直角坐标系 Dxyz，由此利用向量法能求出 DP 的长度（ 2）求出平面 DCB 的法向量和平面 PAC的法向量，利用向量法求出设平面 PAC与平面 DCB 所成角的余弦值，由此能求出平面 PAC与平面 DCB 所成角的正弦值【解析】： 解：（1）以 为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，由题意，知 D（0，0，0），A（2，0，1），B（2，2，0）， C（0，2，1），O（ 1， 1，1）设 P（t，t，0 ）， ， 设异面直线 OP 与 BC所成角为 ，则 ，化简得：21t 220t+4=0，解得： 或 ， 或 （5 分）（2） ， ， ， ，设平面 DCB 的一个法向
38、量为 ， ， ，即 ，取 y1=1， ，设平面 PAC的一个法向量为 ， ， ，即 ，取 y2=1， ，设平面 PAC与平面 DCB 所成角为 ， ， （10 分）【点评】： 本题考查线段长的求法，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用26（10 分）（2015泰州一模）记 Cir 为从 i 个不同的元素中取出 r 个元素的所有组合的个数随机变量 表示满足 Cir i2 的二元数组（r ，i ）中的 r，其中i2，3，4，5，6，7，8，9，10，每一个 Cir（r=0，1，2，i ）都等可能出现求 E【考点】： 离散型随机变量的期望与方差【专题】： 概率与统计【分析】： 由已知得当 r=0，1，2，i2，i1，i 时， 成立，当 r=3，i 3 时，由此能求出 E【解析】： 解： ，当 i2 时， ， ， ，当 2i5，iN*时， 的解为 r=0，1，i（3 分）当 6i10，iN*， ，由 i=3，4，5 可知：当 r=0，1，2，i2，i1，i 时， 成立，当 r=3，i3 时， （等号不同时成立），即 （6 分） 的分布列为： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10P（） （8 分） （10 分）【点评】： 本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一
