1、页 1 第成都外国语学校 2018-2019 学年度上学期开学考试数学试题（理工类）满分：150 分，时间：120 分钟一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合 ， ，则 （ ）|12 Ax2|0 BxABA. B. C. D. |0|0|1x|10 x2.若复数 ，复数 在复平面内对应的点位于（ ）2184()izzA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3. 已知双曲线 的一个焦点为 ,则焦点 到其中一条渐近线的距离为（ ）2xyFA. B. C. D.12124. 设函数 ，则 （ ）()xfe
2、()fA. 1 B. 2 C. D. 33e5. 秦 九 韶 是 我 国 南 宋 时 期 的 数 学 家 ， 普 州 （ 现 四 川 省 安 岳 县 ） 人 ， 他 在 所著 的 数 书 九 章 中 提 出 的 多 项 式 求 值 的 秦 九 韶 算 法 ， 至 今 仍 是 比 较 先 进的 算 法 如 图 所 示 的 程 序 框 图 给 出 了 利 用 秦 九 韶 算 法 求 多 项 式 值 的 一 个 实例 ， 若 输 入 的 值 分 别 为 ， 则 输 出 的 值 为 （ ）xn,32vA. B. C. D. 3501896已知直线 的倾斜角为 ，则 （ ）1ysin2A. B. C.
3、D. 035310107. 已知二项式 的展开式中 的系数为 ，则91()2xa3x2的值为（ ）()1edA B C. D223e23e25e8设 ， ， ，则（ ）5sinalog2b41cA. B. C. D. cabacabc页 2 第9.定义域为 的奇函数 的图像关于直线 对称，且 ，则R()yfx2x(2)018f（ ）(2018)(6)ffA. 2018 B. 2020 C. 4034 D. 210.已知三棱锥 四个顶点均在半径为 的球面上，且 ，若该三棱锥体ABCDR2ACBA，积的最大值为 1，则这个球的表面积为（ ）A. B. C. D.850492591011.已知椭圆
4、的左、右焦点分別为 ，过 的直线与椭圆交于 两点，若21(0)xyab12,F,AB是以 为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）1FABA B C. D223526312. 已知函数 ，若函数 与 有相同的值域，则 的取值范围lnfxxayfx()yfxa是（ ）A B C D1(,2(,13,)21,)二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.计算 _.323(log9)l)(814. 已知 满足 ，则 的最大值为_,xy02yxz15. 当函数 ， 取得最小值时， _.0cos(1)cos(7)0(,18)x16. 已知平面向量 满足 ，且 与 的夹角为
5、 150，则 的取值范围是,aba|bab|a_ .三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。页 3 第（1）必做题：共 60 分。 17. （本小题满分 10 分）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， nSna17a315S（）求 的通项公式；na（）设 ，求数列 的前 项和 2bnbnT18.（本小题满分 12 分）如图 1，在 中， , 分别为 ， 的中点， 为 的中点， ABCDEABCODE， 将 沿 折起到 的位置，使得平面 平面 ，25ABC4B1 1ABC为
6、的中点，如图 2F1（）求证： 平面 ；/1（）求二面角 的平面角1的余弦值.图1 图 2 19. （本小题满分 12 分）生蚝即牡蛎 是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜oyster生蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产生蚝，生蚝乃软体有壳，衣服寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝称为了一年四季不可或缺的一类美食，某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了 40 只统计质量，得到结果如下表所示：（）若购进这批生蚝 ，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结50kg果保留整数） ；（）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随
7、机挑选 4 个，记质量在 间的生蚝的个数为 ，5,2)X求 的分布列及数学期望.X页 4 第20. （本小题满分 12 分）已知抛物线 的焦点为 ， 为抛物线 上异于原点的任意2:(0)CypxFAC一点，过点 的直线 交抛物线 于另一点 ，交 轴的正半轴于点 ，且有 .当点 的横坐AlBD|FA标为 3 时， 为正三角形.DF（）求抛物线 的方程；C（）若直线 ，且 和抛物线 有且只有一个公共点 ，试问直线 （ 为抛物线 上异于原点1/l1lCEAC的任意一点）是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.21. （本小题满分 12 分）设函数 2()1(1)xhea（）若函数
8、 在点 处的切线方程为 ，求实数 与 的值；()hx0, ykka（）若函数 有两个零点 ，求实数 的取值范围，并证明： .12x 120x（2）选做题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，已知曲线 的参数方程为 为参数 以原点为极点 x 轴正半轴为极轴M12cosinxy(),建立极坐标系，直线 的极坐标方程为： ，直线 的极坐标方程为 1l2l=+2（）写出曲线 的极坐标方程，并指出它是何种曲线；（）设 与曲线 交于 两点， 与曲线 交于 两点，求四边形 面积的取
9、值范围 1l,AC2l,BDABCD23 （本题满分 10 分）选修 45：不等式选讲设函数 ()|()fxxaR（）当 时，求不等式 的解集；4af（）若 对 恒成立，求 的取值范围。()f页 5 第数学试题（理工类）参考答案一、 选择题：15, DBCDC 610, ABCAD 1112,DA二、 填空题：13, 1 14， 4 15， 16， 014(,2三、 解答题:17、解析（1） ；（2）错位相减法，9na1)2nnT18.解：（）取线段 的中点 ，连接 ， 1ABHDF因为在 中， ， 分别为 ， 的中点，所以 ， CDEAC/EBC12D因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 ，
10、， HF11/12H所以 ， ，所以 四边形 为平行四边形，所以 /DEF/F因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 6 分E1ABDH1AB/1ABD（）分别以 为 轴建立空间直角坐标系，则面 的法向量 , ,OC,xyz EC1(02)nOA, , ,则1(02)(0)(0)E1(2,0),设面 的法向量 ，则 ，解得1AE1AB2,)nxyz2xzy，所以， ，所以21xyz2(,1)n122cos1|n所以二面角 的平面角的余弦值 . 12 分1AEBC2119.解：（1）由表中的数据可以估算妹纸生蚝的质量为，(602308450)28.4 g所以购进 ，生蚝的数列均为 （只） ；5kg1
11、74（2）由表中数据知，任意挑选一只，质量在 间的概率为 ，,)25P的可能取值为 ，则 ,X0,123441343826(0)(,()()625PXXC页 6 第,2231 44 4316296216()(),()(),()(555PXCPXCPX所以 的分布列为所以 216916834525EX20.解：（1）由题意知 ，设 ，则 的中点为 ，(,0)pF(,)0DtFD2(,0)4pt因为 ，由抛物线的定义知： ，解得 或 （舍去） ，|FAD3|2pt3tt由 ，解得 ，所以抛物线 的方程为 .234pt2pC4yx（2）由（1）知 ，设 ， ，因为 ，则(1,0)0(,)Axy(,0
12、)D|FAD，由 得 ，故 ，0|DxD22x故直线 的斜率为 ，因为直线 和直线 平行，AB0ABk1lAB故可设直线 的方程为 ，1l2yxb代入抛物线方程得 ，208由题意知 ，得 .20643by02y设 ，则 ， ，(,)Ex0E204Ex当 时， ，204y20AEyyk可得直线 的方程为 ，00024()xy由 ，整理可得 ，204yx02(1)所以直线 恒过点 ，AE(1,)F当 时，直线 的方程为 ，过点 ，204yx(1,0)F页 7 第所以直线 恒过定点 .AE(1,0)F21.解：（1）因为 ，所以2xhea(0)kh又因为 ，所以 ，即 3 分(0)a1（2）因为 ，
13、所以 ，令 ，21xe2()xea2(1)xef则 ，22(3)(1)xxfx令 ，解得 ，令 ，解得 ，0f0f则函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，x(,)(,)max01ff又当 时， ，当 时， ，1f1xfx画出函数 的图象，要使函数 的图象与 有两个不同的xya交点，则 ，即实数的取值范围为 .8 分0a(0,)由上知， ，不妨设 ，则 ，12x12x12(0,)x要证 ，只需证 ，因为 ，且函数2在 上单调递减，所以只需证 ，由fx(0,)1fxf，所以只需 ，21f11fx即证 ，即证 对 恒成立，1122xe()()0xxe(,)令 ，则()(),0xxgexge因
14、为 ，所以 ，所以 恒成立，,0xx则函数 在 的单调递减，所以 ，(,)0综上所述 .12 分12x22.解：（）由 （ 为参数）消去参数 得： ，cosiny22(1)()4xy将曲线 的方程化成极坐标方程得： ，M2-(sinco)0页 8 第曲线 是以 为圆心 为半径的圆 5 分M)1,(,2（）设 ，由 与圆 M 联立方程可得|OAC1l 2(sinco)20，12 2+=(sinco)=，O，A，C 三点共线，则 ，21112|()44si用 代替 可得 ,2|24sinBD 212 1,=|ACBD|(46sin)2BDlS四 边 形 10 分sin0,1,6ACS四 边 形23 （1） 等价于 或 或 ，|4|5x25x43x25解得 或 。0故不等式 的解集为 。()f|0x或（2）因为： ，|1|(1)|1|xaxa所以： 。min()fa由题意得： ，|4解得 或 。 35
