1、页 1 第江西省红色七校 2019 届高三第一次联考理科数学科试题（分宜中学、会昌中学、莲花中学、南城一中、永新中学、瑞金一中、遂川中学）考试时间：120 分钟 满分 150 分一、选择题（本题共 12 道小题，每小题 5 分，共 60 分）1已知复数2018iz，则复数 z的虚部为（ ）A. 5 B. 5i C. 15i D. 152.已知集合 421|xP， 30|xNQ则 QP（ ）A. 1,2 B. (0,2) C. 1,2 D. 13. 已知向量 ba,的夹角为 2|6ba， ，则 |（ ）A4 B2 C. D14.执行如图所示的程序框图，如果输出 s4，那么判断框内应填入的条件是（
2、 ）A. k 14? B. k 15? C. k 16? D. k 17?5. 已知直线 m， n，平面 ， ；命题 :p若 /,m/,则 /；命题 :q若 m/,/,则 / ，下列是真命题的是( ) A pq B. pq C. ()q D.()p6.二项式 2101x展开式中 4x的系数为（ ）A. 120 B. 135 C. 140 D. 1007.设 0a，则函数 ya的图象的大致形状是（ ）8.下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）页 2 第A 12 B 13 C. 41
3、D 429. 一个半径为 1 的球对称的消去了三部分，其俯视图如图所示，那么该立体图形的表面积为（ ）A3 B4 C5 D610.函数 y=sin（2 x 6）的图象与函数 y=cos（ x 3）的图象（ ）A有相同的对称轴但无相同的对称中心 B有相同的对称中心但无相同的对称轴C既有相同的对称轴也有相同的对称中心 D既无相同的对称中心也无相同的对称轴11. 设抛物线 28yx的焦点为 F，过点 4,0M的直线与抛物线相交于 A， B两点，与抛物线的准线相交于 ， 4B，则 CA与 的面积之比 BCFAS（ ）A. 34 B. 5 C. 56 D. 2512. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子
4、繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，该数列的特点是：前两个数都是 1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列 na称为“斐波那契数列” ，则20179a ()2018等于( )A1 B1 C.2017 D2017二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分）13.设 x， y 满足约束条件Error!则 z2 x y 的最大值为_.14.已知 F1， F2为双曲线 C： x2 y22 的左、右焦点，点 P 在 C 上，| PF1|2| PF2|，则cos F1PF2_ _.15.小明有中国古代四大名著：三国演义，西游记
5、，水浒传，红楼梦各一本，他要将这四本书全部借给三位同学，每位同学至少一本，但西游记，红楼梦这两本书不能借给同一人，则不同的借法有_.16.定义：如果函数 )(xf在 ba,上存在 )(,2121bxax满足， abfxf)()(1 页 3 第abfxf)()(2则称函数 )(xf是 ba,上的“中值函数”.已知函数mx231是 ,0上的“中值函数”，则实数 的取值范围是_.三、解答题（本题共 6 道小题,第 17 题 10 分,第 18 题 12 分,第 19 题 12 分,第 20 题 12 分,第 21 题 12 分,第 22 题 12 分,共 70 分）17. ABC 的内角 A， B，
6、 C 的对边分别为 a， b， c，已知 a（sin Asin B）=（ c b）（sin C+sinB）（）求角 C；（）若 c= 7， ABC 的面积为 23，求 ABC 的周长18.数列 na满足 211,()nnaN.（1）求证：数列 是等差数列，并求出 na的通项公式；（2）若 1nnb，求数列 nb的前 n 项和.19.如图，正三棱柱 ABC-A1B1C1的底面边长是 2，侧棱长是 3， D 是 AC 的中点。（1）求二面角 A1-BD-A 的大小； （2）在线段 AA1上是否存在一点 E，使得平面 B1C1E平面 A1BD，若存在，求出 AE 的长；若不存在，说明理由。页 4 第
7、20. 某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过 300）空气质量指数 50,10,5,20,1250,30,空气质量等级 1 级优 2 级良 3 级轻度污染 4 级中度污染 5 级重度污染 6 级严重污染该社团将该校区在 2018 年 100 天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率.（）请估算 2018 年（以 365 天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；（）该校 2018 年 6 月 7、8、9 日将作为高考考场，若这三天中某天出现 5 级
8、重度污染，则该天需要净化空气费用 1 万元，出现 6 级严重污染，则该天需要净化空气费用 2 万元，假设每天的空气质量等级相互独立，记这三天净化空气总费用 X万元，求 的分布列及数学期望.21. 已知椭圆 )0(1:2bayxC，圆 0324:2yxQ的圆心 Q在椭圆 C上，点)1,0(P到椭圆 的右焦点的距离为 2（）求椭圆 的方程；（）过点 作直线 l交椭圆 于 BA,两点，若 ABSAQBtan，求直线 l的方程页 5 第22.已知函数 21()lnfxaxb的图像在 1x处的切线 l过点 1(,)2.（1）若函数 ()0g，求 ()g的最大值（用 a表示） ；（2）若 4a， 1212
9、1)3ff ，证明： 12x.页 6 第2019 届高三红色七校第一次联考理科数学参考答案1-12 ADDBD BBCCA DA13. 8 14 . 34 15.30 16. 3(,)4217.解：（）由已知 a（sinAsinB ）=（cb）（sinC+sinB）由正弦定理，得 a（a b）= （cb）（c+b），（2 分）即 a2+b2c2=ab（ 3 分）所以 cosC= = ，又 C（0，），所以 C= （5 分）（）由（）知 a2+b2c2=ab所以（a+b） 23ab=c2=7， 又 S= sinC= ab= ，所以 ab=6，所以（a+b） 2=7+3ab=25，即 a+b=5（
10、9 分）所以ABC 周长为 a+b+c=5+ （10 分）18.6 分12 分19.（1）作 COAB 于 O，所以 CO平面 ABB1A1，所以在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中如图建立空间直角坐标系 O-xyz。 因为 AB=2，AA 1= 3，D 是 AC 的中点。 所以 A（1，0，0） ，B（-l，0，0） ，C（0，0， 3） ，A 1（1， 3，0） ，所以 D（ 21，0， 3） ， BD=（23，0， ） ， 1=（2， 3，0） 。 设 n=（x，y，z）是平面 A1BD 的法向量，页 7 第所以 ，01BAnD即 ,032yxz令 x=- 3，则 y=2，z=3，所以
11、n=（- ，2，3）是平面 A1BD 的一个法向量。由题意可知 1A=（0， ，0）是平面 ABD 的一个法向量，所以 cos= 34= 2。由题知二面角 A1-BD-A 为锐角，所以它的大小为 3。 6 分（2）设 E（1，x，0） ，则 EC1=（1，x- ，- ） ， 1BC=（-1 ，0，- 3） ，设平面 B1C1E 的法向量 m=（x 1，y 1，z 1） ，所以 ，01m即 ,03,)(1令 z1=- 3，则 x1=3，y 1= x6，m=（3， 6，- ） ，又 mn=0，即-3 3+ x12-3 3=0，解得 x= 3，所以存在点 E，使得平面 B1C1E平面 A1BD 且
12、AE= 。12 分20 试题解析: （）由直方图可估算 2017 年（以 365 天计算）全年空气质量优良的天数为05.936.05)2.10( （天） 4 分（）由题可知， X的所有可能取值为：0，1，2，3，4，5，6，则： )(P， 1254)(0)1(3CP7854(510)223123C19)( 2X0)()4323 P10)(5(C页 8 第10)(6(3XP .8 分的分布列为0 1 2 3 4 5 6P25645710927103. .10 分 万 元 ）(9.0160351274432574EX12 分21： 试题解析：（1）因为椭圆 C的右焦点 ),cF， 2P，所以 3c
13、，:因为 )1,2(Q在椭圆 C上，所以 42ba，由 32ba，得 62a， 32b，所以椭圆 C的方程为 6yx 4 分（2）由 AQBSAQBtn得： AQBtansi1，即 2cosAB，可得，6 分当 l垂直 x轴时， 2314)3,2()13,( ，此时满足题意，所以此时直线 l的方程为 0x；7 分当 l不垂直 x轴时，设直线 l的方程为 1ky，由 1362kxy消去 y得 04)2(kx，设 ),(1yA， ),(2B所以 2214x， 214x，代 QBA入可得：2yxx，代入 ky， ky，得 2)(211xkx，代入化简得： 02182)(4kk，解得 41k，经检验满
14、足题意，则直线 l的方程为：0yx综上所述直线 l的方程为 0x或 04y12 分22.（1）由 1()fab，得 (1)fab，页 9 第l的方程为 1()(1)(2yababx，又 l过点 1(,)2， 122，解得 0. ()()ln()1gxfxx，2 ()11() (0)axaa，当 0,xa时， ()0gx， ()单调递增；当 (时， ， gx单调递减.故 2max111)ln()ln2gaaa.6 分（2）证明： 4， 22121211 121()3ll 3ffxxxx，2ln()x， 12 2()ln()令 120m， (lnm， ()m，令 0得 m；令 0得. ()在 ,上递减，在 (1,)上递增， 1， 221xx， 20x，解得： 12x.12 分
