1、数学（理） 第 1 页（共 14 页）中国人民大学附属中学 2019 届高三八月摸底统一练习数学(理)试题命题：高三数学组 审题：梁丽平、杨良庆、于金华 说明：本试卷共三道大题 20 道小题，共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟；考生务必按要求将答案答在答题纸上在试卷上作答无效一、选择题（本大题共 8 道小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“答题纸”第1-8 题的相应位置上 ）（1）已知集合 ， ，则20Ax1,02BABI（A） （B） （C） （D）-1,0,02x（2）下列函数中，与
2、函数 y 定义域相同的函数为3x（A）y （B ）y （C）yx ex （D）y 1sin x ln xx sin xx（3）已知 且 ，则“ ”是 “ 1”的aR01a（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（4）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（A）4 （B）52 2（C）7 （D ）82 2（5）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 则 c=,3,2Aab（A）4 （B）3 （C） 1 （D）3 3（6）在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，长度单位不变，建立极坐标系，已知
3、曲线 C 的极坐标方程为 cos( )1，M，N 分别为曲线 C 与 x 轴、3y 轴的交点，则 MN 的中点的极坐标为2018.8数学（理） 第 2 页（共 14 页）（A） （B） （C） （D）(1，33) (233，6) 23， 23，（7）若函数 f(x)x 2ax 2 b 在区间(0,1)，(1,2)内各有一个零点，则 a2( b2) 2 的取值范围是（A）( ， ) （B）(5,10) （C）(0,5) （D ）(0,10)5 10（8）已知函数 则下列关于函数 的零点个数的判断2,0logaxf1yfx正确的是（A）当 时，有 4 个零点；当 时，有 1 个零点0a0a（B）当
4、 时，有 3 个零点；当 时，有 2 个零点（C）无论 为何值，均有 2 个零点（D）无论 为何值，均有 4 个零点二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.）（9）在复平面内，复数 对应的点与原点的距离是 . 21i（10）曲线 在点（ ）处的切线方程为 .sinyx3,（11）设 a2 0.5，b0.3 2，clog 20.3，则 a、b、c 的大小关系是 .（12）在等比数列 中，a n0，a 3=4，a 7=64，则数列 的前 9 项之和为 . na2log（13）过双曲线 C： 1(a0，b0)的左焦点 F(c,0)( c0)，作圆 O：x 2y 2 的x2a2 y2b
5、2 a24切线，切点为 E，延长 FE 交双曲线右支于点 P，若点 E 恰为线段 FP 的中点，则双曲线 C 的离心率为 . （14）若函数 f(x)(1x 2)(x2axb)的图象关于直线 x2 对称，则 a= ；b = ；f(x )的最大值为_三、解答题（共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）（15） （本小题 13 分）已知函数 .()sin2)cos26fxx()求 的单调递增区间；()求 f(x)在 上的最小值及取得最小值时自变量 x 的值.5,126数学（理） 第 3 页（共 14 页）（16） （本小题 13 分）是指大气中直径小于或等于 微米的颗
6、粒物，也称为可入肺颗粒物我国PM2.52.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 日均值在 微克/立方米以下空气质PM.35量为一级；在 微克/立方米 微克/立方米之间（包括 35、75）空气质量为二级；在3:7微克 /立方米以上空气质量为超标75某城市环保局从该市市区 年全年每天的 监测数据中随机的抽取 天的数201P2.515据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶） （）从这 天的 日均监测数据中，随机抽出三天数据，求恰有一天空气质量15PM2.达到一级的概率；（）从这 天的数据中任取三天数据，记 表示抽到 监测数据超标的天数，PM2.5求 的分布列和数学期望；（）根据这 天的
7、日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按 天计15P2. 365算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级（17） （本小题 13 分）如图，在四棱锥 中， 底面PABCD-， ， ，ABCD/， ，点 为棱 的中点 . 2=1=EP（）求证: ；/AEPD平 面（）求直线 与平面 所成角的正弦值；B（）在棱 上是否存在点 F，满足 ，若存在，求 ，若不存在，说CBACFP明理由.日均值(微克/立方米)PM.52 83 7 1 4 34 4 5 56 3 87 98 6 39 2 5数学（理） 第 4 页（共 14 页）（18） （本小题 13 分）已知函数 有两个极值点 ，且 .xmxhl
8、n21,x21（）求实数 m 的取值范围；（）求 的取值范围.12（19） （本小题 14 分）已知椭圆 ，直线 l 与 E 相交于 两点， 与 x 轴、 轴分别相交于28Exy： ,PQly、 两点， O 为坐标原点 . CD（）求椭圆的长轴长和离心率；（）判断是否存在直线 ，满足条件： ，若存在，求出直线 ll123ODPCQurur的方程；若不存在，说明理由. （20） （本小题 14 分）若无穷数列 na满足：对任意 *nN， ；存在常数 M，对任21nna意 *nN， M，则称数列 为“ T数列”.（）若数列 n的通项为 82nna()，证明：数列 na为“ T数列”；（）若数列 的
9、各项均为正整数，且数列 na为“ T数列”，证明：对任意*nN， 1na；（）若数列 n的各项均为正整数，且数列 n为“ 数列”，证明：存在 0，数列 0为等差数列 .数学（理） 第 5 页（共 14 页）一、选择题（本大题共 8 道小题，每小题 5 分，共 40 分CDBC ABBA二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.）（9） ；（10） ；（11）36；（12）c ba；（13） ；（14）2230xy1028，15，16.三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15） （本小题 13 分）解：() ()sin2)cos2fxx
10、2 分31isin2cosx133(i2)x 4 分sin2)x函数 的单调递增区间为 ，iy,2()kkZ由 ， 6 分2()3kx 得 .51Zk 所以， 的单调递增区间为 . 8 分()fx5,()12Zk()由() 得 f(x) sin ，3 (2x 3)因为 x ，所以 ， 10 分5,164,63当 ，即 时，f (x)取得最小值 . 13 分42=3x32数学（理） 第 6 页（共 14 页）（16） （本小题 13 分）解：（）从茎叶图可知，空气质量为一级的有 4 天，为二级的有 6 天，超标的有 5 天 记“从 天的 日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”1
11、52.PM为事件 A则 4 分4135()9C（） 的可能值为 ， 5 分0,203514()9PC125034()9CP21503() 0513()9 分所以 的分布列为0123P249145909129110 分11 分24503191E（） 天的空气质量达到一级或二级的频率为 12 分0253，236543所以估计一年中有 天的空气质量达到一级或二级. 13 分1（说明：答 243 天，244 天不扣分）（17） （本小题 13 分）解：依题意，以点 为原点建立空间直角坐标系（如图） ，可得 ， ，A()1,0B()2,0C， .由 为棱 的中点，得()0,2D(),02PEPC. 1
12、分1E（）证明：向量 ，面 PAD 的法向量为(),B=， 2 分(),0A=故 . 3 分EzyxPED CBA数学（理） 第 7 页（共 14 页）, 4 分/ABEPD面面（）解：向量 ， .()1,20=-()1,02PB=-设 为平面 的法向量，(),nxyz则 即 6 分0,BDP=,20.xyz-+不妨令 ，可得 为平面 的一个法向量.1y(),1nPBD于是有 . 23cos, 6EB=所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 . 8 分P3（）解：假设在棱 上是存在点 F，满足 ，设 ，CBACFPl=则 ， , 9 分CFl=01l向量 ， ， ， ,(),2B()2,P=-(
13、)2,0=()10所以， , 10 分0A-故 . 11 分()1,FCBClll=+-由 ，得 ， 12 分B0=因此， ，解得 ,满足 ，()()212ll-34l=01l所以，在棱 上存在点 F，满足 ，此时， . 13 分PCBAC34FP（18） （本小题 13 分）解：（） ，1 分22 1xmxh函数 有两个极值点等价于关于 x 的方程：ln20x数学（理） 第 8 页（共 14 页）有两个不等的正实数根， 3 分令 ，因为 f(x)的对称轴为 ，2()fxm12x所以, , 5 分140()f解得 ,所以，实数 m 的取值范围为 ； 6 分1(,0)4（）由（）知 ，且 是 的
14、两个不等的正实数根， 21,x21xm所以， , 7 分故 , 9 分212122()lnlnhxxx其中 , 24()m令 ， ， 10 分xgln1,2因为 时， ， 11 分1(,)20g所以 在 上单调递增， 12 分xl(,1)所以， ，()n即 的取值范围是 .13 分12xh(l2,)（19） （本小题 14 分）解：（）椭圆 E 的方程可化为 ，2184xy所以， ，2 分2ab故 ,3 分2c所以，椭圆 E 的长轴长 ，离心率 4 分42a2cea数学（理） 第 9 页（共 14 页）（）解法 1：结论：存在直线 ，使得l123ODPQC理由如下：由题意， 等价于 是线段 的
15、两个三等分点. 5 分123ODPQC,CDPQ设直线 的方程为 ， ， ，l(0)ykxm1(,)xy2(,)则 ， ， 6 分(,0)k,)D由方程组 得 ， 728yx22(1)480kxm分所以 ， （*） 8 分26430km由韦达定理，得 , . 9 分1224kx218xk由 是线段 的两个三等分点，得线段 的中点与线段 的中点重合. ,CDPQPQCD所以 ， 1012240kmx分解得 . 11 分k由 是线段 的两个三等分点，得 . ,CDPQ|3|PQCD所以 ， 12 分2212|3()mkxk即 ，221248|()3|1k解得 . 13 分5m数学（理） 第 10
16、页（共 14 页）验证知（*）成立.所以存在直线 ，使得 ，此时直线 l 的方程为：l123ODPQC，或 . 14 分25yx25yx解法 2：结论：存在直线 ，使得l132ODPQC理由如下：设直线 的方程为 ， ， ，l(0)ykxm1(,)Pxy2(,)则 ， ， 5 分(,0)Ck,)D则 可化为123OPQ1221(0,)(,)(,)3,3xymxyk即 12+=0()3x6 分k由方程组 得 ， 728yxm22(1)480kxm分所以 ， （*） 8 分26430k由韦达定理，得 , (3)1224kx. (4) 9 分1228mk由(1)(2)(3)(4) 联立解得， . 1
17、3 分2k5数学（理） 第 11 页（共 14 页）验证知（*）成立.所以存在直线 ，使得 ，此时直线 l 的方程为：l123ODPQC，或 . 14 分25yx25yx解法 3：结论：存在直线 ，使得l132ODPQC理由如下：设直线 的方程为 ， ， ，l1xymn1(,)Pxy2(,)则 ， ， 5 分(,0)C(,)D则 可化为123OPQ1221(0,)(,)(,)3,xymxy解得： , ,12xyn即 , , 6 分()Pm()Q则 , 9 分28()n解得 , 13 分254n所以存在直线 ，使得 ，此时直线 l 的方程为：l123ODPQC，或 . 14 分25yx25yx数
18、学（理） 第 12 页（共 14 页）（20） （本小题 14 分）解：（）证明：由 ，可得 ， ，82nna228nna118na所以 ，21()0 所以对任意 ， *N21nn又数列 为递减数列，所以对任意 ， na*N16na所以数列 为“ 数列” 5 分T（）证明：假设存在正整数 ，使得 k1ka由数列 的各项均为正整数，可得 nak由 ，可得 21kk 21112kkka所以 ()同理 ，313kkaa依此类推，可得，对任意 ，有 *nNkna因为 为正整数，设 ，则 .kkm在 中，设 ，则 na0kn与数列 的各项均为正整数矛盾所以，对任意 ， .10 分*N1na（）法 1：因
19、为数列 为“ 数列” ，T所以，存在常数 ，对任意 ， M*naM记 的最大项为 ( )，则 na0N0由（）可知，对任意 ， ，n1n则 1231a 若 ，则 ；na10n数学（理） 第 13 页（共 14 页）若 ，则 1na1na而 时，有 221321()()()naa因为 ，所以在 ， ， ， ，这无穷多个自然0nM数中，最多有 个大于或等于 （否则 ） ，0naM由条件知，对任意 ， ，*N21na即 21a32an因此，取 ，则对任意的 ，有 ，即 0nM010n001nna所以，存在 ，数列 为等差数列.14 分*N0n法 2：因为数列 为“ 数列” ，naT所以，存在常数 ，
20、对任意 ， M*nnaM记 的最大项为 ( )，设 k 是使得 的最小正整数，n0N0k由（）可知，对任意 ， ，*1n于是 ， ，nk0nka又 ， ，所以 *NM0na取 ，则对任意的 ， ，0nk所以，对任意 ， *001nn即：存在 ，数列 为等差数列14 分0N0a法 3：设 ，则对于任意的 ， ，1nnba2n121nnab由() 对任意 ， ，故 。*101） 若对于任意的 ，均有 ，Nnb由于数列 na的各项均为正整数，所以， ，1n所以对于任意的 ， ，*121naban数学（理） 第 14 页（共 14 页）故当 nM 时， ，与题设矛盾。naM2） 若存在 ，使得 ，*N0b由于 ，即 ，所以 ，21kk 21nna- 1nb所以只能有 ，n以此类推，对于任意正整数 k，都有 。0nkb所以， 121320nnaa-=命题得证。
