1、第 1 页 共 19 页2018 届天津市部分区高三质量调查（二）数学（理）试题一、单选题1设集合 ，集合 ，则集合 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：求出集合 ，直接求 即可.详解： 请在此填写本题解析!故选 C.点睛：本题考查交集的运算，属基础题.2阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的 值为（ ）A. 1364 B. 340 C. 84 D. 60【答案】B【解析】分析：通过循环，计算 的值，当 时退出循环，输出结果即可详解： ，满足判断框，第 1 次循环， 第 2 次判断后循环， ，第 3 次判断并循环 ，第 4 次判断并循环 ，第 5 次判断退出循环，输
2、出 故选 B点睛：本题考查循环结构，注意循环条件的判断，循环计算的结果，考查计算能力3设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移求出最优解，代入即可求 的最小值第 2 页 共 19 页详解： 作出变量 满足约束条件，对应的平面区域如图由 ，得 平移直线 ，由图象可知当直线 经过点 时，直线 的截距最大，此时 最小由 解得 此时 z 的最小值为 故选 D点睛：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法注意目标函数的几何意义4要得到函数 的图象，只需将函数 图象
3、上所有点的横坐标（ ）A. 伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再将得到的图象向左平移 个单位长度B. 伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再将得到的图象向右平移 个单位长度C. 伸长到原来的 倍（纵坐标不变） ，再将得到的图象向左平移 个单位长度D. 伸长到原来的 倍（纵坐标不变） ，再将得到的图象向左平移 个单位长度【答案】A【解析】分析：根据三角函数的图象关系进行判断即可第 3 页 共 19 页详解：将函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到 再将得到的图象向左平移 个单位长度得到 故选 A点睛：本题主要考查三角函数的图象变换，结合 和 的关系是解决本题的
4、关键5存在实数 ，使 成立的一个必要不充分条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析： 可得存在实数 ，使成立的充要条件是 ，进而得出答案详解： 存在实数 ，使 成立的充要条件是 ， 存在实数 ，使 成立的个必要不充分条件是 .故选 D .点睛：本题考查了函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6已知函数 的图象关于直线 对称，且当 时， ，设，则 的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：根据函数图象关系得到函数 是偶函数，且当 时 为增函数，结合函数奇偶性和单调性的关系进行判断即可详解：函数
5、的图象关于直线 对称，将 的图象向右平移 1 个单位得到 ，则 关于直线 即 轴对称，则函数 是偶函数，当 时， ，为减函数，当 时 为增函数， 第 4 页 共 19 页即 则 ，即 当 时 为增函数， 即 故选 A点睛：本题主要考查函数值的大小判断，结合条件判断函数的单调性和奇偶性是解决本题的关键7设 分别是双曲线 的左、右焦点， 为坐标原点，过左焦点作直线 与圆 切于点 ，与双曲线右支交于点 ，且满足 ，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据圆的半径得出 ，根据中位线定理和勾股定理计算 ，从而得出 ，即可得出双曲线的方程详解： 为圆 上的点， 是 的中点
6、，又 是 的中点， 且 ，又 是圆的切线， 又第 5 页 共 19 页双曲线方程为 故选 D点睛：本题考查了双曲线的性质，直线与圆的位置关系，双曲线标准方程的求法，属于中档题8在平面直角坐标系内，如果两点 满足条件：都在函数 的图象上；关于原点对称，则称 是函数的一对“奇点” （奇点 与 看作是同一奇点）.已知函数 恰有两对“奇点” ，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：求出 的一段图象关于原点对称的函数解析式 ，令 与 的另一段图象有 2 个交点即可详解： 当 时， 关于原点对称的函数为 恰有两对“奇点” ， 与 恰好有两个交点，显然 设 与 恰好有 1
7、 条公共切线，切点为，则 ，解得 此时 与 轴交点为公切点 当 ,即 时， 有两对“奇点” 故选 C点睛：本题考查了函数交点个数的判断，考查对新定义的理解，属于中档题9曲线 的切线方程为 ，则实数 的值为_ .【答案】2【解析】第 6 页 共 19 页分析：根据题意，设直线与曲线的切点坐标为 利用导数求出切线的方程，与 比较分析可得 且 ，解可得 ，即可得切点的坐标，将切点坐标代入曲线方程，分析可得答案详解：根据题意，设曲线 与 的切点的坐标为 其导数 ，则切线的斜率 ，又由切线方程为 ，即 则则切线的方程为 又由 ，则切线方程为 ，即 则有 ，解可得 ，则切点的坐标为 ，则有 ， ；故答案为
8、 2点睛：本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是求出切点的坐标二、填空题10已知 ， 是虚数单位，若复数 ，则复数 _.【答案】【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数 ，结合已知条件求 的值，然后代入复数 ，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案详解：复数即 则复数 故答案为 点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题11已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积为_.第 7 页 共 19 页【答案】【解析】分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是四棱锥与半个圆柱的组合体，由此求出它的体积即可详解：根据几何体的三视图，得；该几
9、何体是上部为四棱锥，下部为半个圆柱的组合体，四棱锥的高为 2，底面矩形的宽为 2，长为 4，圆柱的高为 4，底面半径为1，该组合体的体积为 故答案为 点睛：本题考查了应用空间几何体的三视图求体积的问题，是基础题目12天津大学某学院欲安排 4 名毕业生到某外资企业的三个部门 实习，要求每个部门至少安排 1 人，其中甲大学生不能安排到 部门工作的方法有_种（用数字作答）.【答案】24【解析】分析：根据题意，设 4 名毕业生为甲、 ，分 2 种情况讨论：，甲单独一人分配到 或 部门，甲和其他人一起分配到 或 部门，由加法原理计算可得答案详解：根据题意，设 4 名毕业生为甲、 ，分 2 种情况讨论：，
10、甲单独一人分配到 或 部门，则甲有 2 种情况，将 分成 2 组，有 种分组方法，再将 2 组全排列，分配到其他 2 个部门，有 种情况，则此时有 种安排方法；，甲和其他人一起分配到 或 部门，在 A、B、C 中任选 1 人，与甲一起分配到 B 或 C 部门，有 种情况，将剩余的 2 人全排列，分配到其他 2 个部门，有 种情况，则此时有 种安排方法；第 8 页 共 19 页则一共有 种不同的安排方法；故答案为 24点睛：本题考查排列、组合的应用，注意优先分析受到限制的元素13在直角坐标系中，已知直线 的参数方程为 （ 为参数） ，以该直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲
11、线 的极坐标方程为 ，则直线 被曲线 截得的弦的长为_.【答案】8【解析】分析：求出直线 的直角坐标方程为 ，曲线 的直角坐标方程为 联立 设直线与抛物线交于由此利用弦长公式能求出直线 被曲线 截得的弦的长详解：直线 的参数方程为 （ 为参数） ，直线 的直角坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 ，即 ，曲线 的直角坐标方程为 设直线与抛物线交于 ，则 ，直线 被曲线 截得的弦的长： 故答案为 8点睛：本题考查弦长的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题14在 中， ， ， ，点 满足 ，点 在线段 上运动，若 ，则 取得最小
12、值时，向量 的模为_.【答案】【解析】分析：由题可得可得 建立平面直角坐标系，则设可得 ，则利用基本不等式可求 的最小值，进而得到 的模.第 9 页 共 19 页详解： 在 ，可得 满足 如图建立平面直角坐标系，则 ，设则 ，当且仅当 时取最小值 此时 .故答案为 .点睛：本题考查了平面向量得坐标运算，均值不等式，属于中档题三、解答题15已知函数 （ ）的图象上相邻的最高点的距离是 .（1）求函数 的解析式；（2）在锐角 中，内角 满足 ，求 的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】分析：（1）利用三角恒等变换化函数 为正弦型函数，求出 的值，写出的解析式；（2）由正弦、余弦定理求得
13、的值，由此求出 的取值范围，再求 的取值范围详解：（1）因为函数 图象上相邻的两最高点间的距离是 ，所以第 10 页 共 19 页由 ， ， ，所以（2）由 得，即 ，又 ， 是锐角三角形， ， ，点睛：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题16某大学数学学院拟从往年的智慧队和理想队中选拔 4 名大学生组成志愿者招募宣传队.往年的智慧对和理想队的构成数据如下表所示，现要求选出的 4 名大学生中两队中的大学生都要有.（1）求选出的 4 名大学生仅有 1 名女生的概率；（2）记选出的 4 名大学生中女生的人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望.【答案】(1
14、) ;(2)见解析.【解析】分析：（1）选出的 4 人中智慧队和理想队的都要有，选法种数是种，选出的 4 名大学生仅有 1 名女生的选法有 2 种选法：从智慧队中选取 1 女生的选法共有 种，从理想队中选取 1 女生的选法共有 种，由此能求出选出的 4 名大学生仅有 1 名女生的概率（II）随机变量 X 的取值可为 0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量 的分布列和 详解：第 11 页 共 19 页（1）选出的 4 人中智慧队和理想队的都要有，所以选法种数是：（种）选出的 4 名大学生仅有 1 名女生的选法有：从智慧队中选取 1 女生的选法共有 （种）从理想队中选取 1 女生的
15、选法共有 （种）或者用排除法： （种）所以，选出的 4 名大学生仅有 1 名女生的概率为（2）随机变量 的可能取值为 0，1，2，3则 ，所以随机变量 的分布列为.点睛：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档17如图，在四棱锥 中，侧棱 底面 ，底面 为长方形，且， 是 的中点，作 交 于点 .第 12 页 共 19 页（1）证明： 平面 ；（2）若三棱锥 的体积为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值；（3）在（2）的条件下，求二面角 的余弦值.【答案】(1)见解析;(2) ;(3) .【解析
16、】分析：（1）推导出 ， ，从而 平面 ，进而 ，再证出 ，从而 平面 ， ，再由 ，能证明 平面 （2）由 两两垂直，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系 ，利用向量法能求出直线 与平面 所成角的正弦值（3）求出平面 的法向量和平面 PBC 的法向量，利用向量法能求出二面角 D-BP-C的余弦值详解：（1）证明： 底面 ， 平面 ， ，由于底面 为长方形， ，而 ， 平面 ， 平面 ， ， ， 为 的中点， ， ， 平面 ， ，又 ， ， 平面 .（2）由题意易知 两两垂直，以 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，可得 ，设 ，则有 ，第 13 页 共 19 页 ， ，设直线 与平面 所成角为
17、 ，且由（1）知 为平面 的法向量所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .（3）由（2）知 ， ，设平面 的法向量 ，由 ，则令 ，则 ，由（1） 平面 ， 为平面 PBC 的法向量，设二面角 为 ，则所以二面角 的余弦值为 .点睛：本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值、二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题18已知抛物线 的焦点与椭圆 ： 的一个顶点重合，且这个顶点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为 .（1）求椭圆 的方程； （2）若椭圆 的上顶点为 ，过 作斜率为 的直线 交椭圆 于另一点 ，线段 的中点为
18、 ， 为坐标原点，连接 并延长交椭圆于点 ， 的面积为 ，求 的值.【答案】(1) ;(2) .【解析】分析：（1）根据抛物线的性质可得椭圆中的 ，再根据三角形的面积求出 ，根据 ，即可求出椭圆方程，第 14 页 共 19 页（）过点 的直线方程为 ，代入到由 得 ，可求出 点的坐标，再求出 的坐标和 的坐标，以及| 和点 到直线 的距离，根据三角形的面积求出 的值详解：（1）因为抛物线 的焦点 与椭圆 的一个顶点重合， ，又椭圆 的顶点与其两个焦点构成的三角形的面积为 ， ，故椭圆的方程是 .（2）由题意设直线 的方程为 ，设点由 得解得 ，直线 斜率 ，直线 的方程为 ，由 得点 到直线
19、： 的距离为第 15 页 共 19 页 ， ，又 ，令 ，则 ，解得， ，解得 或 （舍） 的值为 .点睛：本题考查椭圆方程、椭圆性质、直线方程、理、弦长公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题19已知数列 的奇数项依次成公比为 2 的等比数列，偶数项依次成公差为 4 的等差数列，数列 的前 项和为 ，且 ， .（1）求数列 的通项公式；（2）令 ，求数列 的前 项和 .【答案】(1) ;(2) .【解析】分析：（I）设数列 的奇数项的公比为 ，偶数项的公差为 由已知 ，可得 ， 为奇数时， ，为偶数时， ；（II）由（1）知 为偶数时， ，
20、为奇数时， .详解：第 16 页 共 19 页（1）设数列 的奇数项的公比为 ，偶数项的公差为由已知 ， 得 ， ，解得为奇数时，为偶数时，（2）由（1）知 即为偶数时，为奇数时，.点睛：本题考查数列的性质和综合运用，分类讨论思想，难度较大解题时要认真审题，仔细解答20已知函数 ，若函数 有两个零点 ，第 17 页 共 19 页.（1）求实数 的取值范围；（2）求证：当 时， ；（3）求证： .【答案】(1) ;(2)见解析;(3)见解析.【解析】分析：详解：（1）求出函数的导数，通过讨论 的范围，求出函数的单调区间，结合函数的单调性以及函数零点的个数确定 的范围即可；（2）求出函数的导数，求
21、出 ，结合函数的单调性求出 是函数 的极大值点，也是最大值点，从而证明结论（3）证明：由题意得 是 两根， ， ，可得 ，要证明 ，只需证 ，即令 ，所以只需证 在 成立即可，设 ，利用导数研究其性质，可证 成立.设 ，所以 在 是增函数，即 成立. （1） ，定义域为 ，当 时， ， 在 递增， 不可能有两个零点，当 时， 时， ， 时，所以 是函数 的极大值点，也是最大值点又因为 时， ， 时， ，第 18 页 共 19 页要使 有两个零点，只需 ，（2） 在 是减函数， ，存在唯一的 ，使 ，即 ，所以 ，即当 时， ，当 时， ， 是函数 的极大值点，也是最大值点在 上， ， ，即 成立（3）证明：由题意得 是 两根， ， ， 得 ， ，得 ，要证明 ，只需证 ，即证所以只需证 ，即令 ，所以只需证 在 成立即可设 ，第 19 页 共 19 页所以 在 是增函数，即 成立. 点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，属难题
