1、第 1 页（共 26 页）2016-2017 学年广西柳州铁一中高三（上）9 月联考数学试卷（文科） （2）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 A=1，3， ，B=1，m ，A B=A，则 m 的值为（ ）A0 或 B0 或 3 C1 或 D1 或 32设复数 z 满足（1+i）z=12i 3（i 为虚数单位） ，则复数 z 对应的点位于复平面内（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3设 a=（ ） 0.5，b=0.3 0.5，c=log 0.30.2，则 a，b，c 的大小关系是（ ）Aabc Ba b
2、c Cba c Dacb4某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，最大的面积是（ ）A B C D5函数 y=Asin（x+） （A0，0，|）在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为（ ）Ay=2sin（2x + ） By=2sin（ ） Cy=2sin（2x ）Dy=2sin （2x+ ）6某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 ，则 a 的值为（ ）第 2 页（共 26 页）A13 B12 C11 D107若实数 x，y 满足 ，设 u=x+2y，v=2x+y，则 的最大值为（ ）A1 B C D28若直线 l：mx+ny=4 和圆 O：x 2+y2=4 没有交点，则
3、过点（m ，n）的直线与椭圆的交点个数为（ ）A0 个 B至多有一个 C1 个 D2 个9已知数列a n为等差数列，S n 为前 n 项和，公差为 d，若 =100，则 d 的值为（ ）A B C10 D2010在四面体 SABC 中，ABBC，AB=BC= ，SA=SC=2，SB= ，则该四面体外接球的表面积是（ ）A B C24 D611已知双曲线 与抛物线 y2=8x 有一个公共的焦点 F，且两曲线的一个交点为 P，若|PF|=5，则双曲线的离心率为（ ）A2 B2 C D第 3 页（共 26 页）12设函数 ，其中x表示不超过 x 的最大整数，如1.2=2，1.2 =1，1=1，若直线
4、 y=kx+k（k0）与函数 y=f（x）的图象恰有三个不同的交点，则 k 的取值范围是（ ）A B C D二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分.13在一个盒子中有分别标有数字 1，2，3，4 的 4 张卡片，现从中一次取出 2 张卡片，则取到的卡片上的数字之和为 5 的概率是 14已知| |=1，| |=2， （ + ） ，则 与 夹角为 15如图，在直角梯形 ABCD 中，ABCD，AB=2 ，AD=DC=1 ，P 是线段 BC 上一动点，Q 是线段 DC 上一动点， = ， =（1） ，则 的取值范围是 16设点 M（x 1，f（x 1） ）和点 N（x 2，g（x 2） ）分别
5、是函数 f（x）=e x x2 和 g（x）=x 1图象上的点，且 x10，x 20，若直线 MNx 轴，则 M，N 两点间的距离的最小值为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知向量 =（sinA ，cosA） ， =（cosB，sinB） ， =sin2C 且 A、B、C 分别为ABC 的三边 a，b，c 所对的角（1）求角 C 的大小；（2）若 sinA，sinC，sinB 成等比数列，且 =18，求 c 的值 18某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出 1 盒该产品获利润 50 元，未售出的产品，每盒亏损 30 元根据历史资料，得到开
6、学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示该同学为这个开学季购进了 160 盒该产品，以 x（单位：盒，100x200）表示这个开学季内的市场需求量，y（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润（）根据直方图估计这个开学季内市场需求量 x 的众数和中位数（四舍五入取整数） ；（）将 y 表示为 x 的函数；（）根据直方图估计利润 y 不少于 4800 元的概率第 4 页（共 26 页）19如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ACAB，AB=2AA 1，M 是 AB 的中点，A 1MC1是等腰三角形，D 为 CC1 的中点，E 为 BC 上一点（1）若 DE平面 A1MC1，求 ；（2）平面
7、 A1MC1 将三棱柱 ABCA1B1C1 分成两个部分，求较小部分与较大部分的体积之比20已知椭圆 C： 的离心率为 ，点 在椭圆 C 上（）求椭圆 C 的方程；（）设动直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点 O 为圆心的圆，满足此圆与 l 相交两点 P1，P 2（两点均不在坐标轴上） ，且使得直线 OP1，OP 2 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由21已知函数 f（x）=e x1 （）若曲线 y=f（x）在（2，f（2） ）处的切线过（0， 1） ，求 a 的值；（）求证：当 a1 时，不等式 f（x）lnx0 在（0，1）（1，+）上恒成立
8、选修 4-1：几何证明选讲第 5 页（共 26 页）22如图，已知圆 O 是ABC 的外接圆，AB=BC，AD 是 BC 边上的高，AE 是圆 O 的直径过点 C 作圆 O 的切线交 BA 的延长线于点 F（）求证：ACBC=AD AE；（）若 AF=2，CF=2 ，求 AE 的长选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 23在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线 C1 的极坐标方程为 2= ，直线 l 的极坐标方程为 = （）写出曲线 C1 与直线 l 的直角坐标方程；（）设 Q 为曲线 C1 上一动点，求 Q 点到直线 l 距离的最小值选修 4-5
9、：不等式选讲24已知函数 f（x）= ，g（x）=af（x） |x2|，aR （）当 a=0 时，若 g（x）|x1|+b 对任意 x（0，+ ）恒成立，求实数 b 的取值范围；（）当 a=1 时，求函数 y=g（x）的最小值第 6 页（共 26 页）2016-2017 学年广西柳州铁一中高三（上）9 月联考数学试卷（文科） （2）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 A=1，3， ，B=1，m ，A B=A，则 m 的值为（ ）A0 或 B0 或 3 C1 或 D1 或 3【考点】集合关系中的参数取值
10、问题【分析】由题设条件中本题可先由条件 AB=A 得出 BA，由此判断出参数 m 可能的取值，再进行验证即可得出答案选出正确选项【解答】解：由题意 AB=A，即 BA，又 ，B=1，m ，m=3 或 m= ，解得 m=3 或 m=0 及 m=1，验证知，m=1 不满足集合的互异性，故 m=0 或 m=3 即为所求，故选：B2设复数 z 满足（1+i）z=12i 3（i 为虚数单位） ，则复数 z 对应的点位于复平面内（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】化简复数为：a+bi 的形式，求出对应点的坐标，即可判断选项【解答】解：复数 z 满
11、足（1+i ）z=12i 3，可得 z= = = ，复数对应点的坐标（ ）在第一象限故选：A3设 a=（ ） 0.5，b=0.3 0.5，c=log 0.30.2，则 a，b，c 的大小关系是（ ）Aabc Ba bc Cba c Dacb【考点】对数函数的单调性与特殊点【分析】a，b 的比较可由幂函数 y=x0.5 来判断，易知两数都小于 1，c 的判断可由对数函数 y=log0.3x 在（ 0，+）上为减函数，得到 c 大于 1，从而得到三个数的大小【解答】解：幂函数 y=x0.5 来判断，在（0，+）上为增函数，1 0.3 0.50第 7 页（共 26 页）0ba1又对数函数 y=log
12、0.3x 在（ 0，+）上为减函数log 0.30.2log 0.30.31cab故选 C4某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，最大的面积是（ ）A B C D【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据三视图画出三棱锥 PABC 的直观图，并做出辅助线，由三视图求出棱长、判断出线面位置关系，由勾股定理求出其它棱长，判断该三棱锥的四个面中最大的面，由三角形的面积公式求出答案【解答】解：根据三视图画出三棱锥 PABC 的直观图如图所示：过 A 作 ADBC，垂足为 D，连结 PD，由三视图可知，PA平面 ABC，且 BD=AD=1，CD=PA=2 ，BC=3，PD= = ，同理可求 AC
13、= ，AB= ， PB= ，PC=3，PBC 是该三棱锥的四个面中最大的面积，PBC 的面积 S= = = 故选：A第 8 页（共 26 页）5函数 y=Asin（x+） （A0，0，|）在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为（ ）Ay=2sin（2x + ） By=2sin（ ） Cy=2sin（2x ）Dy=2sin （2x+ ）【考点】正弦函数的图象【分析】由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得函数的解析式【解答】解：由函数的最小值为2 可得 A=2，再根据 = = （ ）= ，求得=2，再根据五点法作图可得 2（ ）+ = ，求得 = ，故函
14、数的解析式为y=2sin（2x+ ） ，故选：D6某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 ，则 a 的值为（ ）A13 B12 C11 D10【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S，k 的值，当 S= 时，根据题意，求得此时 k 的值，应该满足条件 ka，退出循环，输出 S 的值，从而得解【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=1，k=1第 9 页（共 26 页）不满足条件 ka，S=1 + =2 ，k=2不满足条件 ka，S=1 + + =2 ，k=3不满足条件 ka，S=1 + + =2 ，k=4不满足条件 ka，S=1 + + + =2 ，k=5不满足条
15、件 ka，S=1 + + + + =2 ，k=6不满足条件 ka，S=1 + + + + + =2 ，k=8最后一次循环，不满足条件 ka，S=2 = ，k=x+1满足条件 ka，退出循环，输出 S 的值为 可解得：x=12，即由题意可得 a 的值为 11故选：C7若实数 x，y 满足 ，设 u=x+2y，v=2x+y，则 的最大值为（ ）A1 B C D2【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用分式的性质转化为直线斜率，利用数形结合进行求解即可【解答】解：画出不等式组 ，所表示的可行域，如图所示，则目标函数 = = ，令 t= ，则 t 表示可行域内点 P（x，y）与原点
16、的斜率的取值，当取可行域内点 A（ ， ）时， t 取得最大值，此时最大值为 t=3；当取可行域内点 B（1，1）时， t 取得最小值，此时最小值为 t=1，第 10 页（共 26 页）此时可得，当 t=3 时，目标函数 有最大值，此时最大值为 = ；故选 C8若直线 l：mx+ny=4 和圆 O：x 2+y2=4 没有交点，则过点（m ，n）的直线与椭圆的交点个数为（ ）A0 个 B至多有一个 C1 个 D2 个【考点】椭圆的简单性质【分析】通过直线与圆、圆与椭圆的位置关系可得点 P（m，n）在椭圆内，进而可得结论【解答】解：由题意可得： 2，即 m2+n2 4，点 P（m，n）是在以原点为
17、圆心，2 为半径的圆内的点，椭圆的长半轴 3，短半轴为 2，圆 m2+n2=4 内切于椭圆，点 P 是椭圆内的点，过点 P（m，n）的一条直线与椭圆的公共点数为 2，故选：D9已知数列a n为等差数列，S n 为前 n 项和，公差为 d，若 =100，则 d 的值为（ ）A B C10 D20【考点】等差数列的前 n 项和【分析】由等差数列a n可得： = d= n+ 为等差数列，即可得出第 11 页（共 26 页）【解答】解：由等差数列a n可得： = d= n+ 为等差数列， =100， + =100，10d=1，解得 d= 故选：B10在四面体 SABC 中，ABBC，AB=BC= ，S
18、A=SC=2，SB= ，则该四面体外接球的表面积是（ ）A B C24 D6【考点】球内接多面体【分析】取 SB 中点 O，连接 OA，OC，由题意可得SAB=SCB=90，由直角三角形的性质可得 O 点为四面体的外接球球心，再由球的表面积公式计算即可得到【解答】解：取 SB 的中点 O，连接 OA，OC，在SBA 中， SB= ，AB= ，SA=2，由 AB2+SA2=SB2，可得SAB=90，即有 OA=OB=OS，同理可得 OC=OB=OS，则 O 为四面体 SABC 的外接球球心，且半径为 ，则该四面体外接球的表面积是 4 =6故选：D第 12 页（共 26 页）11已知双曲线 与抛物
19、线 y2=8x 有一个公共的焦点 F，且两曲线的一个交点为 P，若|PF|=5，则双曲线的离心率为（ ）A2 B2 C D【考点】圆锥曲线的共同特征【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得 p 和 c 的关系，根据抛物线的定义可以求出 P 的坐标，代入双曲线方程与 p=2c，b 2=c2a2，联立求得 a 和 c 的关系式，然后求得离心率 e【解答】解：抛物线 y2=8x 的焦点坐标 F（2，0） ，p=4，抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，p=2c，c=2，设 P（m，n） ，由抛物线定义知：|PF|=m+ =m+2=5，m=3P 点的坐标为（3， ）|解得： ，c=2则双曲线的离心率为 2
20、，故答案为：212设函数 ，其中x表示不超过 x 的最大整数，如1.2=2，1.2 =1，1=1，若直线 y=kx+k（k0）与函数 y=f（x）的图象恰有三个不同的交点，则 k 的取值范围是（ ）A B C D【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】画图可知 f（x）就是周期为 1 的函数，且在0，1）上是一直线 y=x 的对应部分的含左端点，不包右端点的线段，要有三解，只需直线 y=kx+k 过点（3，1）与直线y=kx+k 过点（2，1）之间即可第 13 页（共 26 页）【解答】解：函数 ，函数的图象如下图所示：y=kx+k=k（x+1） ，故函数图象一定过（1，0）点若 f（x）=k
21、x +k 有三个不同的根，则 y=kx+k 与 y=f（x）的图象有三个交点当 y=kx+k 过（2，1）点时，k= ，当 y=kx+k 过（3，1）点时，k= ，故 f（x）=kx +k 有三个不同的根，则实数 k 的取值范围是故选 D二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分.13在一个盒子中有分别标有数字 1，2，3，4 的 4 张卡片，现从中一次取出 2 张卡片，则取到的卡片上的数字之和为 5 的概率是 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】先求出基本事件总数 n= ，再由列举法求出取到的卡片上的数字之和为 5 包含的基本事件个数，由此能求出取到的卡片上的数字之和为 5
22、 的概率【解答】解：一个盒子中有分别标有数字 1，2，3，4 的 4 张卡片，现从中一次取出 2 张卡片，基本事件总数 n= ，取到的卡片上的数字之和为 5 包含的基本事件有：（1，4） ， （2，3） ，取到的卡片上的数字之和为 5 的概率是：p= 故答案为： 14已知| |=1，| |=2， （ + ） ，则 与 夹角为 【考点】数量积表示两个向量的夹角【分析】设向量 与 夹角为 ，由题意可得：（ + ） =0，即+ cos=0，代入已知可得答案第 14 页（共 26 页）【解答】解：设向量 与 夹角为 ，则由题意可得：（ + ） =0，即 + cos=0，代入可得：1+12cos=0，解
23、得 cos= ，又 0，故 =故答案为：15如图，在直角梯形 ABCD 中，ABCD，AB=2 ，AD=DC=1 ，P 是线段 BC 上一动点，Q 是线段 DC 上一动点， = ， =（1） ，则 的取值范围是 0，2 【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【分析】通过向量的坐标运算转化为二次函数的单调性即可得出【解答】解：如图所示，A（0，0） ，B（2，0） ，C（1 ，1） ，D（0，1） =（1，1）+（1 ） ， 0，1=（1，1）+（1 ） （1，1）=（2 ，） = =（0，1）+ =（0，1）+（1，0）=（， 1） f（） = =（2 ，） （，1）=（2）+=2+3=
24、， 0，1，f（0）f（）f （1） ，0f（ ） 2 的取值范围是 0，2故答案为：0，2第 15 页（共 26 页）16设点 M（x 1，f（x 1） ）和点 N（x 2，g（x 2） ）分别是函数 f（x）=e x x2 和 g（x）=x 1图象上的点，且 x10，x 20，若直线 MNx 轴，则 M，N 两点间的距离的最小值为 2 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出导函数 f（x） ，根据题意可知 f（x 1）=g（x 2） ，令 h（x）=e x x2+1x（x0） ，求出其导函数，进而求得 h（x）的最小值即为 M、N 两点间的最短距离【解答】解：当 x0 时，f（
25、x）=e xx0，函数 y=f（x）在0，+）上单调递增点 M（x 1，f（x 1） ）和点 N（x 2，g（x 2） ）分别是函数 f（x）=e x x2 和 g（x）=x 1 图象上的点，且 x10，x 20，若直线 MNx 轴，则 f（x 1）=g（x 2） ，即 =x21，则 M，N 两点间的距离为 x2x1= +1x1令 h（x）=e x x2+1x，x0 ，则 h（x）=e xx1，h（x） =ex10，故 h（x）在0，+）上单调递增，故 h（x）=e xx1h（0）=0，故 h（x）在0，+）上单调递增，故 h（x）的最小值为 h（0）=10+1 0=2，即 M，N 两点间的距
26、离的最小值为 2，故答案为 2三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知向量 =（sinA ，cosA） ， =（cosB，sinB） ， =sin2C 且 A、B、C 分别为ABC 的三边 a，b，c 所对的角（1）求角 C 的大小；（2）若 sinA，sinC，sinB 成等比数列，且 =18，求 c 的值 【考点】平面向量数量积的运算；等比数列的通项公式；正弦定理第 16 页（共 26 页）【分析】 （1）由 =sin2C，结合向量的数量积的坐标表示及两角和的正弦公式可求cosC，进而可求 C（2）由已知可得，sin 2C=sinAsinB，结合正弦定理可得 c2=ab
27、，再由向量的数量积的定义可求 ab，进而可求 c【解答】解：（1） =sin2CsinAcosB+sinBcosA=sin2Csin（A+B ）=sinC=sin2C=2sinCcosCsinC0cosC=C（0，）（2）sinA，sinB，sinB 成等比数列，sin 2C=sinAsinB由正弦定理可得 c2=ab =18， = =18，ab=36c 2=36，c=618某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出 1 盒该产品获利润 50 元，未售出的产品，每盒亏损 30 元根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示该同学为这个开学季购进了 16
28、0 盒该产品，以 x（单位：盒，100x200）表示这个开学季内的市场需求量，y（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润（）根据直方图估计这个开学季内市场需求量 x 的众数和中位数（四舍五入取整数） ；（）将 y 表示为 x 的函数；（）根据直方图估计利润 y 不少于 4800 元的概率【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式第 17 页（共 26 页）【分析】 （）由频率直方图分别求出各组距内的频率，由此能求出这个开学季内市场需求量 X 的众数和中位数（）由已知条件推导出当 100x160 时，y=50x30=80x 1800，当 160x200 时，y=16050=8000，由
29、此能将 Y 表示为 X 的函数（）利用频率分布直方图能求出利润不少于 4800 元的概率【解答】解：（ I）众数为 150，中位数为 153 4 分（ II）每售出 1 盒该产品获利润 50 元，未售出的产品，每盒亏损 30 元，当 100x160 时，y=50x30=80x1800，当 160x200 时，y=16050=8000，y= 8 分（ III）由 80x48004800 得 x120估计利润 y 不少于 4800 元的概率 12 分19如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ACAB，AB=2AA 1，M 是 AB 的中点，A 1MC1是等腰三角形，D 为 CC1 的中点，E 为
30、 BC 上一点（1）若 DE平面 A1MC1，求 ；（2）平面 A1MC1 将三棱柱 ABCA1B1C1 分成两个部分，求较小部分与较大部分的体积之比【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【分析】 （1）先证明 A1，M，N ，C 1 四点共面，利用 DE平面 A1MC1，可得 DEC 1N，利用 D 为 CC1 的中点，即可求 ；第 18 页（共 26 页）（2）将几何体 AA1MCC1N 补成三棱柱 AA1MCC1F，求出几何体 AA1MCC1N 的体积、直三棱柱 ABCA1B1C1 体积，即可求较小部分与较大部分的体积之比【解答】解：（1）取 BC 中点为 N，连结 MN，
31、C 1N，M，N 分别为 AB，CB 中点MNAC A 1C1，A 1，M，N，C 1 四点共面，且平面 BCC1B1平面 A1MNC1=C1N又 DE平面 BCC1B1，且 DE平面 A1MC1DEC 1ND 为 CC1 的中点，E 是 CN 的中点， （2）三棱柱 ABCA1B1C1 为直三棱柱，AA 1平面 ABC，又 ACAB ，则 AC平面 ABB1A1设 AB=2AA1=2，又三角形 A1MC1 是等腰三角形，所以 如图，将几何体 AA1MCC1N 补成三棱柱 AA1MCC1F几何体 AA1MCC1N 的体积为：又直三棱柱 ABCA1B1C1 体积为： 故剩余的几何体棱台 BMNB
32、1A1C1 的体积为：较小部分的体积与较大部分体积之比为： 第 19 页（共 26 页）20已知椭圆 C： 的离心率为 ，点 在椭圆 C 上（）求椭圆 C 的方程；（）设动直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点 O 为圆心的圆，满足此圆与 l 相交两点 P1，P 2（两点均不在坐标轴上） ，且使得直线 OP1，OP 2 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由【考点】圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程【分析】 （）利用离心率列出方程，通过点在椭圆上列出方程，求出 a，b 然后求出椭圆的方程（）当直线 l 的斜率不存在时，验证直线 OP1，OP 2 的斜率
33、之积当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y=kx+m 与椭圆联立，利用直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，推出 m2=4k2+1，通过直线与圆的方程的方程组，设 P1（x 1，y 1） ，P2（x 2，y 2） ，结合韦达定理，求解直线的斜率乘积，推出 k1k2 为定值即可【解答】 （本小题满分 14 分）（）解：由题意，得 ，a 2=b2+c2，又因为点 在椭圆 C 上，所以 ，解得 a=2，b=1， ，所以椭圆 C 的方程为 （）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为 x2+y2=5证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为 x2+y2=r2（r 0） 当直线 l 的斜
34、率存在时，设 l 的方程为 y=kx+m由方程组 得（4k 2+1）x 2+8kmx+4m24=0，因为直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，所以 ，即 m2=4k2+1由方程组 得（k 2+1）x 2+2kmx+m2r2=0，则 第 20 页（共 26 页）设 P1（x 1，y 1） ，P 2（x 2，y 2） ，则 ， ，设直线 OP1，OP 2 的斜率分别为 k1，k 2，所以= ，将 m2=4k2+1 代入上式，得 要使得 k1k2 为定值，则 ，即 r2=5，验证符合题意所以当圆的方程为 x2+y2=5 时，圆与 l 的交点 P1，P 2 满足 k1k2 为定值 当直线 l 的斜
35、率不存在时，由题意知 l 的方程为 x=2，此时，圆 x2+y2=5 与 l 的交点 P1，P 2 也满足 综上，当圆的方程为 x2+y2=5 时，圆与 l 的交点 P1，P 2 满足斜率之积 k1k2 为定值 21已知函数 f（x）=e x1 （）若曲线 y=f（x）在（2，f（2） ）处的切线过（0， 1） ，求 a 的值；（）求证：当 a1 时，不等式 f（x）lnx0 在（0，1）（1，+）上恒成立【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】 （）将 x=2 代入原函数和导函数，求出切点坐标和切线斜率，得到切线的点斜式方程，将（0，1）代入，可求 a 的
36、值；（）若证：当 a1 时，不等式 f（x）lnx0 在（0，1）（1，+）上恒成立只需证：（x1） （e x1） ax0 在（0，+ ）恒成立，设 g（x）=（x1） （e x1） ax，x0，+） ，利用导数法求其最值后，可得结论第 21 页（共 26 页）【解答】解：（）解由 x10 得：函数 f（x）=e x1 的定义域为 x（，1）（1，+） ，f（2）=e 212a， ，f （2）=e 2+a，曲线 y=f（x）在（2，f（2 ） ）处的切线 y（e 212a）=（e 2+a） （x 2）将（0，1）代入，得 1（e 212a）=2e 22a，解得：证明：（）若证：当 a1 时，不
37、等式 f（x）lnx0 在（0，1） （1，+）上恒成立只需证： 在（0，1）（1，+）上恒成立，x（0，1）（1，+）时， 恒成立，只需证：（x1） （e x1） ax0 在（0，+ ）恒成立设 g（x）=（x 1） （e x1）ax ，x0，+）g（0）=0 恒成立只需证：g（x）0 在0，+）恒成立g（x）=xe x1a，g（x）=（x+1）e x0 恒成立，g（x）单调递增，g（x）g （0）= 1a0g（x）单调递增，g（x）g（0）=0g（x）0 在0，+）恒成立即 在（0，1）（1，+ ）上恒成立选修 4-1：几何证明选讲22如图，已知圆 O 是ABC 的外接圆，AB=BC，AD
38、 是 BC 边上的高，AE 是圆 O 的直径过点 C 作圆 O 的切线交 BA 的延长线于点 F第 22 页（共 26 页）（）求证：ACBC=AD AE；（）若 AF=2，CF=2 ，求 AE 的长【考点】与圆有关的比例线段【分析】 （I）如图所示，连接 BE由于 AE 是O 的直径，可得 ABE=90利用E 与ACB 都是 所对的圆周角，可得E=ACB进而得到ABEADC ，即可得到（II）利用切割线定理可得 CF2=AFBF，可得 BF再利用AFCCFB，可得AF：FC=AC ： BC，进而根据 sinACD=sin AEB，AE= ，即可得出答案【解答】证明：（I）如图所示，连接 BE
39、AE 是O 的直径，ABE=90又E 与ACB 都是 所对的圆周角，E=ACBADBC， ADC=90ABEADC，AB：AD=AE：AC，ABAC=AD AE又 AB=BC，BCAC=ADAE解：（II）CF 是O 的切线，CF 2=AFBF，AF=2，CF=2 ，（2 ） 2=2BF，解得 BF=4AB=BF AF=2ACF=FBC，CFB=AFC，AFC CFB，AF：FC=AC：BC，AC= = cosACD= ，sinACD= =sinAEB，AE= =第 23 页（共 26 页）选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 23在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极
40、轴建立极坐标系已知曲线 C1 的极坐标方程为 2= ，直线 l 的极坐标方程为 = （）写出曲线 C1 与直线 l 的直角坐标方程；（）设 Q 为曲线 C1 上一动点，求 Q 点到直线 l 距离的最小值【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】 （）由题意可知：3= 2+22cos2，由 2=x2+y2， 即可求得3x2+y2=3，= 直线 l 的直角坐标方程 x+y=4；（）由题意可知：Q（cos ， sin ） ，则点 Q 到直线 l 的距离 d= ，根据正弦函数的性质，即可求得 Q 点到直线 l 距离的最小值【解答】解：（）曲线 C1 的极坐标方程为 2= ，3= 2+22cos2，由2=x2
41、+y2，3=x 2+y2+2x2，整理得：3x 2+y2=3，曲线 C1 的方程 3x2+y2=3，= 则 sin+cos=4，即 x+y=4，直线 l 的直角坐标方程：x+y=4（）设 Q（cos ， sin ） ，则点 Q 到直线 l 的距离 d= =，第 24 页（共 26 页）= = ，当且仅当 + =2k+ ，即 =2k+ （kZ）时，Q 点到直线 l 距离的最小值为 选修 4-5：不等式选讲24已知函数 f（x）= ，g（x）=af（x） |x2|，aR （）当 a=0 时，若 g（x）|x1|+b 对任意 x（0，+ ）恒成立，求实数 b 的取值范围；（）当 a=1 时，求函数
42、y=g（x）的最小值【考点】分段函数的应用；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题【分析】 （）求出当 a=0 时的 g（x）的解析式，运用绝对值不等式的性质可得b 不大于1，即可得到 b 的范围；（）求出当 a=1 时的 g（x）的解析式，再求各段的最值，结合基本不等式和函数的单调性，即可得到【解答】解：（）当 a=0 时，g（x）=|x 2|（x0） ，g（x）|x1|+ bb|x 1|+|x2|，由于|x1|+|x 2|（x1）（ x2）|=1 ，当且仅当 1x2 时等号成立，即有b 1，解得 b 1则实数 b 的取值范围是1， +） ； （）当 a=1 时，g（x）= ，当 0x1 时，g（x）=x+ 22 2=0； 当 x1 时，g（x）0，当且仅当 x=1 等号成立； 故当 x=1 时，函数 y=g（x）取得最小值 0第 25 页（共 26 页）第 26 页（共 26 页）2017 年 1 月 6 日
