1、第 1 页 共 21 页2019 届安徽省江淮六校高三上学期开学联考数学（理）试题一、单选题1复数 等于（ ）A B C D 【答案】C【解析】【分析】化简分式，分子、分母分别平方，再按照复数的除法运算法则化简可得结果.【详解】，故选：C【点睛】本题主要考查了复数代数形式的运算，是基础题2已知集合 ，则 （ ）A B C D 【答案】C【解析】分析：先求出集合 A，由此利用交集的定义能求出 的值.详解： 集合 ， ，.故选：C.点睛：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用.3函数 的图象是（ ）A B 第 2 页 共 21 页C D 【答案】B【解析】【分析】由
2、题意结合函数的性质排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可知函数为偶函数，则函数图象关于 y 轴对称，选项 AC 错误；当 时， ，选项 D 错误；本题选择 B 选项.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势 (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项4已知两个单位向量 和 夹角为 ，则向量 在向量 方向上的投影为（ ）A B C D 【答案】D【解析】【分析】由题意首先求得 的值，然后求解向量 在向量
3、方向上的投影即可.【详解】由题意可知： ，则 ，第 3 页 共 21 页，据此可得向量 在向量 方向上的投影为 .本题选择 D 选项.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的几何意义，数量积的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5已知双曲线 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则双曲线的标准方程为（ ）A B C D 【答案】D【解析】【分析】由题意得到关于 m 的方程，解方程求得 m 的值即可确定双曲线方程 .【详解】由题意可得： ，则实轴长为： ，虚轴长为 ，由题意有： ，解得： ，代入 可得双曲线方程为 .本题选择 D 选项.【点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，意在考查学
4、生的转化能力和计算求解能力.6在 中， ， ， ，则角 等于（ ）第 4 页 共 21 页A 或 B C D 【答案】A【解析】【分析】由题意结合正弦定理求解角 B 的值即可.【详解】由正弦定理 可得： ，则角 等于 或 .本题选择 A 选项.【点睛】本题主要考查正弦定理及其应用，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7学校就如程序中的循环体，送走一届，又会招来一级。老师们目送着大家远去，渐行渐远 执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出的结果为（ ）A 2 B 3 C 4 D 5【答案】C【解析】【分析】由题意结合流程图运行程序确定输出的值即可.【详解】第 5 页
5、共 21 页结合流程图可知程序运行过程如下：首先初始化数据： ， ，此时满足 ，执行 ；此时满足 ，执行 ；此时满足 ，执行 ；此时不满足 ，输出 的值为 .本题选择 C 选项.【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题(3)按照题目的要求完成解答并验证8从装有 3 个白球,4 个红球的箱子中,随机取出了 3 个球,恰好是 2 个白球,1 个红球的概率是( )A B C D 【答案】C【解析】分析：根据古典概型计算恰好是 2 个白球 1 个红球的概率.详解：由题得恰好是 2 个白球 1
6、个红球的概率为 .故答案为:C.点睛：（1）本题主要考查古典概型，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 古典概型的解题步骤:求出试验的总的基本事件数 ；求出事件 A 所包含的基本事件数 ；代公式 = .9在长方体 中， ， 与 所成的角为 ，则 （ ）A B 3 C D 【答案】D第 6 页 共 21 页【解析】【分析】由题意首先找到异面直线所成的角，然后结合三角函数的性质求解 的长度即可.【详解】如图所示，连结 AC，由于 ，故 为直线 与 所成的角，即，在 中， ，由长方体的几何特征可得 .本题选择 D 选项.【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把
7、异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；计算：求该角的值，常利用解三角形；取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 ，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角第 7 页 共 21 页10将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图像，若 在 上为增函数，则 的最大值为（ ）A 1 B 2 C 3 D 4【答案】B【解析】【分析】首先整理函数的解析式，然后结合三角函数的单调性确定 的最大值即可.【详解】由三角函数的性质可得：，其图象向左平移 个单位所得函数的解析式为：
8、，函数的单调递增区间满足： ，即 ，令 可得函数的一个单调递增区间为： ，在 上为增函数，则： ，据此可得： ，则 的最大值为 2.本题选择 B 选项.【点睛】第 8 页 共 21 页本题主要考查三角函数解析式的化简，辅助角公式的应用，三角函数的平移变换，三角函数的周期公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11函数 对任意的实数 都有 ，若 的图像关于 对称，且 ，则 （ ）A 0 B 2 C 3 D 4【答案】B【解析】分析：先根据对称得 为偶函数，再根据 ，解得 =0，利用周期性质可得 ，即得结果.详解：因为 的图像关于 对称，所以 的图像关于 对称，即 为偶函数，因为
9、 ，所以 ,所以 =0， ，因此 ， ,选 B.点睛：(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去 ，即将函数值的大小转化自变量大小关系, 对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系.12设 ， 分别为椭圆 的右焦点和上顶点， 为坐标原点， 是直线与椭圆在第一象限内的交点，若 ，则椭圆的离心率是（ ）A B C D 【答案】A【解析】分析：根据 ，由平面向量加
10、法法则，则有 为平行四边形第 9 页 共 21 页的对角线，故 ，联立椭圆 、直线 方程，可得 ，由 ，可得 可得 a 即可得到椭圆的离心率详解： 根据 ，由平面向量加法法则，则有为平行四边形 的对角线，故 ，联立椭圆 、直线 方程，可得 ，则 可得 故选：A点睛：本题的考查的知识点是椭圆的简单性质，其中根据平行四边形的性质，求出 C点的坐标，是解答本题的关键属于中档题二、填空题13曲线 在点 处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】首先求得导函数，然后利用导函数与切线的关系求解切线方程即可.【详解】第 10 页 共 21 页由题意可得： ，则切线的斜率 ，切线方程为： ，整理为一般式即： .
11、【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.14若变量 ， 满足约束条件 ，则 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】首先绘制可行域，然后结合目标函数的几何意义求解取值范围即可.【详解】绘制不等式组表示的可行域如图所示，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点 处取得最大值 ，在点 处取得最小值 ，
12、综上可得，目标函数 的取值范围是 .【点睛】求线性目标函数 zaxby (ab0)的最值，当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距第 11 页 共 21 页最大时，z 值最大，在 y 轴截距最小时，z 值最小；当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最小，在 y 轴上截距最小时，z 值最大.15已知 ， ，则 _【答案】【解析】分析：通过同角三角函数关系式求得 ，再利用二倍角公式即可得到答案.详解： ， ，则 ，解得 .故答案为： .点睛：本题考查同角三角函数基本关系，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键另外，切化弦是常用的规律技巧，以及考查二倍角公式的灵活运用.16四
13、棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形，侧面 是以 为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥 的体积取值范围为 ，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是_.【答案】 .【解析】四棱锥 中，可得： 平面 平面 平面 ，过作 于 ，则 平面 ，设 ，故 ，所以 ， ，在 中， ，则有， ,所以 的外接圆半径第 12 页 共 21 页，将该四棱锥补成一个以 为一个底面的直三棱柱，得外接球的半径 ，所以 故答案为：点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截
14、面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 三、解答题17设 为数列 的前 项和，已知 ， （1 ）证明： 为等比数列；（2 ）求 的通项公式，并判断 ， ， 是否成等差数列？【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由递推关系可得 ，则递推关系为 ，整理可得 ，则是首项为 2，公比为 2 的等比数列（2）由（1）知 ，分组求和可得 ，据此计算可得 ，即 ， 成等差数列【详解】（1） ， ， ， ， ， ， 是首项为 2，公比为 2 的等比数列第 13 页 共 21 页（2）由（1）知， ， ， ， ， ，即 ， ， 成等差数列【点睛】本题主要考
15、查数列的递推关系，等比数列的判定，数列求和公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18某体育公司对最近 6 个月内的市场占有率进行了统计，结果如表：（1 ）可用线性回归模型拟合 与 之间的关系吗？如果能，请求出 关于 的线性回归方程，如果不能，请说明理由；（2 ）公司决定再采购 ， 两款车扩大市场， ， 两款车各 100 辆的资料如表：平均每辆车每年可为公司带来收入 500 元，不考虑采购成本之外的其他成本，假设每辆车的使用寿命都是整数年，用每辆车使用寿命的频率作为概率，以每辆车产生利润的期望值作为决策依据，应选择采购哪款车型？参考数据： ， ， ， 参考公式：相关系数 ；第
16、14 页 共 21 页回归直线方程 ，其中 ， 【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】分析：（1）先计算相关系数 越接近于 1 则代表线性关系越强即可判断；（2）用频率估计概率，分别求出 、B 款车的利润的分布列求出期望即可作出选择.（1） ， ， ， ， ，所以两变量之间具有较强的线性相关关系，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系，又 ， ， ，回归直线方程为 （2）用频率估计概率， 款车的利润 的分布列为：第 15 页 共 21 页 （元） 款车的利润 的分布列为： （元） 以每辆车产生利润俄期望值为决策依据，故应选择 款车型点睛：考查线性回归方程的判定和计算，相关系数的绝对越接近于
17、1 则线性关系越强，对于第二问则直接计算出分布列求期望即可，属于基础题.19如图，在四棱锥 中， 底面 ，点 为棱 的中点。（1 ）证明： ；（2 ）若 为棱 上一点，满足 ，求二面角 的余弦值。【答案】(1)证明见解析.(2) .【解析】分析：以点 为原点， 以 为轴建立空间直角坐标系， （1）求出向量，由空间向量垂直的坐标表示可得结论；(2)先确定点 的位置，利用向量垂直数量积为零列方程组，求出平面 的法向量，取平面 的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果.详解：依题意，以点 为原点，以 为轴建立空间直角坐标系如图，可得由 为棱 的中点，得第 16 页 共 21 页（1）向量故（2）由点
18、 在棱 上，设故由 ，得因此，即设 为平面 的法向量，则 ，即不妨令 ，可得 为平面 的一个法向量取平面 的法向量 ，则所以二面角 的余弦值为点睛：本题主要考查利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20已知 的直角顶点 在 轴上，点 ， 为斜边 的中点，且 平行于 轴.（1 ）求点 的轨迹方程；（2 ）设点 的轨迹为曲线 ，直线
19、 与 的另一个交点为 .以 为直径的圆交 轴于 、第 17 页 共 21 页，记此圆的圆心为 ， ，求 的最大值.【答案】(1) .(2) .【解析】分析：(1) 设点 的坐标为 ，表示点 D,A 坐标，再根据 列方程解得点 的轨迹方程；(2)设直线 的方程为 ，与抛物线方程联立，根据韦达定理以及中点坐标公式得圆心坐标，解得半径，再根据垂径定理得，最后根据函数值域得 最小值，即 的最大值.详解：（1）设点 的坐标为 ，则 的中点 的坐标为 ，点 的坐标为 .， ，由 ，得 ，即 ，经检验，当点 运动至原点时， 与 重合，不合题意舍去.所以，轨迹 的方程为 .（2）依题意，可知直线 不与 轴重合
20、，设直线 的方程为 ，点 、 的坐标分别为 、 ，圆心 的坐标为 .由 ，可得 ， ， . ， .圆 的半径 .过圆心 作 于点 ，则 .在 中， ，第 18 页 共 21 页当 ，即 垂直于 轴时， 取得最小值为 ， 取得最大值为 ，所以， 的最大值为 .点睛：求轨迹方程，一般有以下方法，一是定义法，动点满足圆或圆锥曲线定义；二是直接法，化简条件即得；三是转移法，除所求动点外，一般还有已知轨迹的动点，寻求两者关系是关键；四是交轨法或参数法，如何消去参数是解题关键，且需注意消参过程中的等价性.21已知函数 .（1 ）若 ，证明：当 时， ；（2 ）若 在 有两个零点，求 的取值范围.【答案】(
21、1)证明见解析.(2) .【解析】分析：（1）两次求导可证明 在 单调递增，从而可得 ；（2） 在 有两个零点等价于方程 在 有两个根 在有两个根，即函数 与 的图象在 有两个交点，利用导数可得在 递减， 在 递增，结合图象，利用零点存在定理即可的结果.详解：证明：当 时，函数 则 ，令 ，则 ，令 ，得 当 时， ，当 时， ， ， 在 单调递增，（2） 在 有两个零点方程 在 有两个根，在 有两个根，第 19 页 共 21 页即函数 与 的图象在 有两个交点 ，当 时， ， 在 递减当 时， ， 在 递增所以 最小值为 ，当 时， ，当 时， ， 在 有两个零点时， 的取值范围是 点睛：本
22、题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.22在平面直角坐标系 中，倾斜角为 的直线 的参数方程为以坐标原点为极点，以 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程
23、是 （1 ）写出直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；（2 ）已知点 若点 的极坐标为 ，直线 经过点 且与曲线 相交于 ， 两点，求 ， 两点间的距离 的值【答案】 （1）见解析；（2）8【解析】【分析】（1）参数方程化为普通方程可得直线 的普通方程为 ；极坐标方程化为直角坐标方程可得曲线 的直角坐标方程为 ；第 20 页 共 21 页（2）由题意可得直线 的参数方程为 联立直线的参数方程与抛物线的直角坐标方程，结合参数的几何意义可得 【详解】（1）由参数方程可得 ，消去参数可得直线 的普通方程为： ，即； 即 ，转化为直角坐标方程可得曲线 的直角坐标方程为 ；（2） 的极坐标为 ，点 的
24、直角坐标为 ，直线 的倾斜角 直线 的参数方程为 代入 ，得 设 ， 两点对应的参数为 ， ，则 ， 【点睛】本题主要考查参数方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，直线参数方程的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23选修 4-5：不等式选讲已知函数（1 ）求不等式 的解集；（2 ）关于 的不等式 的解集不是空集，求实数 的取值范围.【答案】(1) .第 21 页 共 21 页(2) .【解析】分析：（1）对 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（2）利用绝对值的几何意义求出 最小值为 ，由的解集不是空集，可得 .详解：（1） ，当 时，不等式可化为 ，解得 ，所以 ；当 ，不等式可化为 ，解得 ，无解；当 时，不等式可化为 ，解得 ，所以综上所述，（2）因为且 的解集不是空集，所以 ，即 的取值范围是点睛：绝对值不等式的常见解法：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想
