2018年广西省南宁市第二中学高三2月月考数学（文）试题（解析版）.doc

1、第 1 页 共 19 页2018 届广西省南宁市第二中学高三 2 月月考数学（文）试题一、单选题1已知集合 ， ，则 为（ ）A B C D 【答案】B【解析】【分析】先求出 中的不等式的解集确定出集合 ，再求 的交集即可【详解】，则故选【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法和集合的交集及其运算法则，属于基础题。2复数 对应的点在复平面内位于（ ）A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限【答案】D【解析】试题分析： ,故 在复平面内对应的点位于第四象限.【考点】复数与复平面的关系.3已知 ，则双曲线 的离心率等于（）A B C 2 D 3【答案】B【解析】【分析】根据离心率公

2、式即可求出结果第 2 页 共 19 页【详解】根据离心率公式 .故选【点睛】本题主要考查了离心率公式，熟练掌握公式是解题的关键，属于基础题。4直线 与圆 有两个不同交点的充要条件是（ ）A B C D 【答案】A【解析】【分析】由已知条件计算圆心到直线的距离和半径进行比较，即可求出结果【详解】圆 ，圆心 到直线 的距离小于半径 ，由点到直线的距离公式： ，故选【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，根据题意将其转化为圆心到直线的距离，然后和半径进行比较，较为基础。5一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A B C D 第 3 页 共 19 页【答案】B【解析】试题分析：几何体为一个

3、四棱锥与一个半圆锥的组合体，四棱锥的高为 ，底面为正方形；半圆锥高为 ，底面为半径为 1 的半圆，因此体积为，选 D.【考点】三视图【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图2三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据6已知 ， 则数列 的通项公式是（ ）A B C D 【答案】A【解析】试题分析：由已知整理得 ， ， 数列 是常数列且 ， ，故选项为 A.【考点】数列的递推式.【一题多解】当 时， ， ， ， ， 两边分别相乘得 .又 ， 7在 中，内

4、角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 ，则 A（ ）A 30 B 60 C 120 D 150【答案】A【解析】【分析】第 4 页 共 19 页根据正弦定理，结合已知正弦的等式可得 ，则 ，再由余弦定理求得，将 代入化简可求得 的值，再根据特殊角的三角函数值进行求解即可确定出【详解】，结合正弦定理得 ，则 ，又 ，那么 ，由余弦定理得 ，故选【点睛】本题是一道关于解三角形的题目，解题的关键是熟练运用正弦定理和余弦定理，运用正弦定理进行边角的互化，推导出三边之间的数量关系，然后再运用余弦定理求出结果。8如图是一个算法的程序框图，当输入的 x 的值为 7 时，输出的 y 值恰好是 ，则“？

5、”处应填的关系式可能是（）A B C D 【答案】A【解析】试题分析：依题意，输入的 的值为 ，执行 次循环体， 的值变为 ，这时，如果输出的 值恰好是 ，则函数关系式可能为 ,故应填 A.【考点】程序框图中的循环结构.9某工厂对一批产品进行了抽样检测，上图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）第 5 页 共 19 页数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是 样本数据分组为 ， ， ， ，已知样本中产品净重小于 100 克的个数是48，则样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是（）A 90 B 75 C 120 D 45【答案】C【解析】【分析】由频率分布直方图，

6、求出样本容量，再求出净重大于或等于 克并且小于 克的产品的频率和频数，即可得到答案【详解】样本中产品净重小于 克的频率为 ，样本总数 ，样本净重大于或等于 克并且小于 克的产品的频率为对应的频数为故样本中净重大于或等于 克并且小于 克的产品的个数是故选【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用问题，根据频率分布直方图求出样本的容量是解题的关键，属于基础题。10球面上有三点 A，B，C 组成这个球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中， ， ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则球的表面积为（）A B C D 第 6 页 共 19 页【答案】A【解析】【分析】利用勾股定理判断出 为直角三角形，

7、可以求出其外接圆半径，利用球心到截面的距离为球半径的一半，求得球的半径 ，代入球的表面积公式计算即可求出答案【详解】由 ，为直角三角形，其外接圆半径为 ，即截面的圆的半径为 ，又球心到截面的距离为 ， ，故选【点睛】本题主要考查了球的表面积公式以及球心到截面的距离与截面圆的半径之间的数量关系，解题的关键是求出 为直角三角形，其外接圆半径，属于中档题。11抛物线 的焦点 F 已知点 A 和 B 分别为抛物线上的两个动点.且满足，过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN，垂足为 N，则 的最大值为（）A B C D 【答案】D【解析】试题分析：如图所示，过 分别作准线的垂线 ，垂足分别为

8、，设，连接 ，由抛物线的定义，得 ，在梯形中， ，由余弦定理得：，整理得 ，因为 ，则 ，即 ，所以第 7 页 共 19 页，所以 ，故选 D【考点】抛物线的定义及其简单的几何性质【方法点晴】本题主要考查了抛物线的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用、基本不等式求解最值、余弦定理等知识的应用，解答中由抛物线的定义和余弦定理得：，在利用基本不等式，得到 是解答本题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力及转化与化归思想的应用，属于中档试题12已知函数 ， ，若存在 ，使得 ，则实数 b的取值范围是（ ）A B C D 【答案】D【解析】分析：对任意的 x1，2，f（x）x+f（x）0 恒

9、成立对任意的 x1，2，恒成立对任意的 x1，2，2x22tx+10 恒成立，t 恒成立，求出 x+ 在1，2上的最小值即可详解：对任意的 x1，2，f（x）x+f（x）0 恒成立对任意的 x1，2， 恒成立，第 8 页 共 19 页对任意的 x1，2，2x22tx+10 恒成立， t 恒成立，又 g（x）=x+ 在1，2上单调递增， ，t 故选：B点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.二、填空题13若实数 x，y 满足条件 则 的

10、最大值为_.【答案】10.【解析】【分析】由约束条件画出可行域，然后改写目标函数，求出最值【详解】作出可行域如图，令 ，在点 处达到最大值 ，则【点睛】本题考查了线性规划问题，解题方法为：先画出可行域，然后改写目标函数，运用直线的几何意义来求出最值。14已知向量 ， 且 在 上的投影为 3，则 与 角为_.第 9 页 共 19 页【答案】 【答案】 .【解析】试题解析： 在 上的投影为3， ， ，向量 与 夹角为【考点】平面向量15定义在 R 上函数 ，则不等式 的解集为_.【答案】 【答案】 .【解析】试题分析：当 时， ；当 时， 不等式 的解集为 .【考点】分段函数及不等式的解法.16已

11、知圆 ： 与 轴负半轴的交点为 ， 为直线 上一点，过 作圆 的切线，切点为 ，若 ，则 的最大值为_.【答案】 【答案】 .【解析】试题分析：设 ，由 可得 ，化简得，可转化为直线 与圆 有公共点，所以，解得 .【考点】曲线与方程及直线与圆的位置关系.【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系，曲线与方程，考查了转化的数学思想属于中档题.本题解答的难点是对条件“ ”的应用，实际上就是描述了动点第 10 页 共 19 页的轨迹，到定点 的距离是圆 切线长的两倍，把几何条件转化为坐标关系即的 的轨迹方程，把问题转化为直线与圆有公共点，利用圆心到直线的距离小于半径求出参数 的范围，得其最大值.三

12、、解答题17在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且满足 .（1 ）求角 的大小；（2 ）若等差数列 的公差不为零， ，且 ， ， 成等比数列，求的前 项和 .【答案】(1) (2)【解析】【分析】由已知条件推导出 ，求出 ，由此能求出角 的大小由已知条件推导出 ，又 不为零，求出 ，得到，进而能求出 的前 项和【详解】(1) ， ，又 ， ； (2)设 的公差为 ，由已知得 ，且 ， 又 不为零， ， 第 11 页 共 19 页【点睛】本题主要考查了角的大小的求法，考查了数列的前 项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用，属于中档题。18为选拔选手参加“ 全市高中数学竞赛

13、” ，某中学举行了一次“ 数学竞赛”活动，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100 分）作为样本（样本容量为 n）进行统计.按照 ， ， ， 的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在 ， 的数据）.（）求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x、y 的值；（）在选取的样本中，从竞赛成绩在 80 分以上（含 80 分）的学生中随机抽取 2 名学生参加“全市高中数学竞赛”，求所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在 内的概率.【答案】 （） （）【解析】【分析】（）利用频率分布直方图能求出样本容量 和频率分布直方图中的 ， 的值（

14、）枚举出可能出现的 21 种情况，然后再找出 2 名同学的分数都不在 内的情况，最后计算出概率【详解】（）由题意可知，样本容量 ，第 12 页 共 19 页（）由题意可知，分数在 内的学生有 5 人，记这 5 人分别为 ， ， ， ，分数在 内的学生有 2 人，记这 2 人分别为 ， .抽取的 2 名学生的所有情况有 21 种，分别为：（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ）其中 2 名

15、同学的分数都不在 内的情况有 10 种，分别为：（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ）. 所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在 内的概率 .【点睛】本题考查了频率分布直方图的实际运用，根据计算方法求出样本容量和频率，然后再根据题意计算出概率问题，较为基础。19如图长方体 的 ，底面 ABCD 的周长为 4，E 为 的中点.（）判断两直线 与 AD 的位置关系，并给予证明：（）当长方体 体积最大时，求直线 与平面 所成角 【答案】() 见解析( ) 【解析】【分析】第 13 页 共 19 页（） 与 是相交直线，连

16、接 ， ，说明 ， ， ， 四点共面， 与 为梯形两腰，即可得到结果（）解法 1：利用等体积法求出点 到平面 的距离，然后计算出结果；解法 2：以边 ， ， 所在直线为 ， ， 轴，建立直角坐标系，求出平面 的法向量，利用向量的数量积求解直线与平面所成角的大小【详解】() 与 是相交直线 证明如下：连接 ，则 是平行四边形， 也是 的中点， 为梯形， 四点共面，与 为梯形两腰，故 与 相交 ()设 ， ，当且仅当 时取等号解法 1：连接 ，设点 到平面 的距离为 ，则根据等体积法 ，其中 ， ，所以 ， 则直线 与平面 所成角 满足 ，所以 . 解法 2：分别以边 所在直线为 轴，建立如图所示

17、直角坐标系，则 ， 设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，则 ， 第 14 页 共 19 页【点睛】本题主要考查了立体几何中线线的位置关系以及线面角的计算，在求解线面角时给了两种解法，一是运用等体积计算出长度，然后求得结果；一是建立空间直角坐标系，求出法向量，继而求出结果。20已知椭圆 ： 和椭圆 ： ，离心率相同，且点 在椭圆 上.（）求椭圆 的方程；（）设 为椭圆 上一点，过点 作直线交椭圆 于 ， 两点，且 恰为弦 的中点，则当点 变化时，试问 的面积是否为常数，若是，请求出此常数，若不是，请说明理由。【答案】() () 无论 怎样变化， AOC 的面积为常数【解析】试题分析：（1）由题知，

18、 且 ， 解这个方程组求得 即可得椭圆 的方程；（2）涉及直线与曲线的关系的问题，多是将直线方程与曲线方程联立再用韦达定理解决.此题中有两个椭圆，将哪个椭圆的方程与直线方程联立？此题意即直线与 的交点的中点在 上，故应将直线方程与 的方程联立由韦达定理得中点坐标，再将中点坐标代入 的方程.然后求出三角形 OAB 的面积的表达式，再利用前面所得关系式化为一常数即可.试题解析：（1）由题知， 且 即 ， 椭圆 的方程为； 4 分（2 ）当直线 的斜率不存在时，必有 ，此时 ， 5 分当直线 的斜率存在时，设其斜率为 、点 ，则第 15 页 共 19 页与椭圆 联立，得 ，设，则 即 8 分又 9

19、分综上，无论 怎样变化， 的面积为常数 12 分【考点】1、椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系 .21已知函数 .（）讨论函数 的单调性：（）若函数 的两个零点为 ，且 ，求证： .【答案】() 见解析( )见解析【解析】试题分析：（）由 ,可得 在 上单调增；在 上单调增；在 上单调减；（）根据有,由此可得,令 ,可以确定根据 在第 16 页 共 19 页上单调增, 所以试题解析：（）函数 , 的定义域为 ,在 上单调增；在 上单调增；在 上单调减.（）令 ,令 ,则令 ,令 ,则在 上单调增,【考点】函数的单调性；导数的应用.22在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为

20、极轴建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为： ，直线 的参数方程是 （ 为常数，）第 17 页 共 19 页（）求曲线 的直角坐标方程；（）设直线 与曲线 交于两点 ， ，且线段 的中点为 ，求 .【答案】() () 【解析】试题分析：（I）由极坐标与直角坐标互化的关系式 可将曲线极坐标方程化为普通方程.（II）将直线的参数方程代入取曲线的普通方程中，为 中点，由 的几何意义知 故得到关于 的方程，求出倾斜角.试题解析：（I）曲线 ,即 ,于是有 ,化为直角坐标方程为: （II）方法 1: 即由 的中点为 得 ,有 ,所以由 得 方法 2:设 ,则, , ,由 得 .方法 3: 设 ,则由 是 的中点得, , ,知第 18 页 共 19 页 ,由 得 . 方法 4:依题意设直线 ,与 联立得 ,即由 得 ,因为 ,所以 .23 （题文）已知函数 ，且 的解集为（）求 的值；（）若 ， ， 都是正实数，且 ，求证： .【答案】() ()见解析【解析】试题分析：（I）考查绝对值不等式的解法（II）采用配“1”法应用基本不等式证明或者采用柯西不等式证明.试题解析：（I）依题意 ,即 , （II）方法 1:当且仅当 ,即 时取等号 方法 2: 由柯西不等式得 整理得第 19 页 共 19 页当且仅当 ,即 时取等号.