第18讲 垂径定理及其推论.doc

1、第 18 讲 垂径定理及其推论一、学习目标1通过观察、思考、归纳和概括形成圆的概念.2结合图形认识和理解弦、直径、半圆、弧、优弧、劣弧、等圆和等弧等概念.3. 通过折叠操作得出垂径定理及其推论，通过推理的方式说明结论的正确性，会运用垂径定理或逆定理解决实际问题.考情分析垂径定理及其推论是中考必考知识，常常与直角三角形、等腰三角形等一起考查.与圆有关的计算中，经常利用“垂直于弦的直径平分这条弦”添加辅助线（半径或弦心距） ，构造直角三角形，运用勾股定理计算有关线段长度.二、基础知识轻松学1.圆的基本概念（1）圆的定义：在一个平面内，一条线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆

2、，固定的端点叫做圆心，线段叫做半径.【精讲】 圆 是所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合，即同一个 圆上所有的点到定点的距离等于定长，反 过来，到定点的距离等于定长的所有的点都在同一个圆上；圆 是一条封 闭的曲线（ 圆周），而不是 圆面.（2）相关概念连结圆上任意两点的线段叫做弦.过圆心的弦叫做直径.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧.【精讲】 直径是 圆中最长的弦；直径是弦，但弦不一定是直径； 半圆是一种特殊的弧，但弧不一定是半圆.（3）关于等圆、等弧能够重合的两个圆叫做等圆.能

3、重合的两条弧叫做等弧.【精讲】等圆是两个半径相等的圆； 等弧存在于同圆或等圆； 长度相等的弧不一定是等弧（等弧的半径相等、过弧的两端的半径所夹的角也相等） .2.圆的轴对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.3.垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧.【精讲】垂径定理和推论可以理解为一条直线涉及五个特征：垂直于弦、经过圆心、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，只要具备这五个中的任意两个条件，就可得出其余三个结论.三、重难疑点轻松破1.运用垂径定理及推论进行有关的判断运用垂径定

4、理可以得出直径所分弦所成的两条相等的线段，两组相等的弧；运用垂径定理的推论可知经过圆心、平分非直径弦的直线与这条弦的位置关系垂直，两组相等的弧；根据圆的轴对称性可知，弧的中点与弦的中点所在直线一定经过圆心，所以这条直线也是弧、弦所构成的弓形的对称轴，进行有关判断时，注意将垂径定理、推论和圆的轴对称性综合运用.例 1 如图 18-1，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，则下列结论一定正确的个数有CEDE；BEOE； ；CABDAB；ACAD。 （ ）CB BD A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 答案：A解析：AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，根据垂径定理可得CEDE， ；

5、CB BD 从而可知 AB 垂直平分弦 CD，根据线段的垂直平分线定理可知ACAD；所以ACD 是等腰三角形，由三线合一的性质即可判定CABDAB；根据所给条件无法判断BEOE 的正确性，四个结论正确.点评：本题考查垂径定理，解决本题关键是利用垂径定理，证明两线段相等、两条弧相等，在此基础上利用线段的垂直平分线性质定理证明两条线段的等量关系，继而构造了等腰三角形，运用三线合一的性质说明两角的数量关系图 18-1 图 18-2变式 1 如图 18-2 ，在 O 中，P 是弦 AB 的中点，CD 是过点 P 的直径，则下列结论中正确的个数是（ ）ABCD ， APD=BPD， ， ，A4 个 B3

6、 个 C2 个 D1 个2.根据垂径定理构造直角三角形进行有关计算过圆心作弦的垂线，这时圆心到弦之间的垂线段、弦、过弦的端点的半径构成了直角三角形，在进行弦长、半径的有关计算时，往往应用垂径定理和勾股定理来解决. 如图18-3，在 a、r、d、h 四个量中，存在关系式 r=d+h， 利用这两个关系式，22rda知道其中任何两个量，就可以求出其余两个量图 18-3 图 18-4 图 18-5例 2 已知：如图 18-4，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于P，CD10cm，APPB15求O 的半径解析：连接 OC.APPB15， 设 APx，PB5x，ABAPPB6x，直径AB弦 CD，PCPD

7、 CD5cm，OCOA3x，PO2x，在 RtPOC 中，根据勾股21定理，得 OC2PC 2OP 2（3x） 25 2（2x） 2解方程，得 x ，x 不合5题意，舍去O 的半径为 3 cm点评：本题运用了方程思想和构造法，已知弦长和直径被分两段比，作过弦的端点的半径，构造出一个直角三角形，设一条边为未知数，利用勾股定理列方程，使问题顺利解决变式 2 如图 18-5，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧） ，其跨度 AB 为 24 米，拱的半径为 13 米，则拱高（弧的中点到弦的中点之间的距离）为（ ） A5 米 B8 米 C7 米 D5 米 3四、课时作业轻松练A.基础题组1.下列说法正确的是

8、（ ）A平分弦的直径垂直于弦 B垂直于弦的直线必过圆心 C垂直于弦的直径平分弦 D平分弦的直径平分弦所对的弧 2.（2013长宁区一模）如图 18-6，圆 O 的弦 AB 垂直平分半径 OC，则四边形 OACB 一定是（ ）A正方形 B长方形 C菱形 D梯形图 18-6 图 18-7 图 18-83.（2013佛山）半径为 3 的圆中，一条弦长为 4，则圆心到这条弦的距离是（ ）A.3 B.4 C. 5 D. 74.如图 18-7，AB 是O 的弦，AB 长为 8，P 是O 上一个动点（不与 A、B 重合） ，过点 O作 OCAP 于点 C，ODPB 于点 D，则 CD 的长为 5.如图 18

9、-8，O 的弦 AB 垂直平分半径 OC，若 AB ，则O 的半径为 .6B.中档题组6.下列说法中，正确的有 .半圆是弧；弧是半圆；半径不是弦；两条半径组成一条直径；直径是弦，弦也是直径；圆中最长的弦是直径；过圆心的直线叫做直径.7.如图 18-9，AB 是O 的直径，弧 BC 度数是 60，D 是劣弧 BC 的中点，P 是 AB 上的动点，若O 的半径为 1，则 PC+PD 的最小值是 . 8.如图 18-10，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为 12 米，拱顶高出水面 4 米（1）求这座拱桥所在圆的半径（2）现有一艘宽 5 米，船舱顶部为正方形并高出水面 3.6 米的货船要经过这里，此

10、时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由 图 18-9 图 18-10 图 18-11中考试题初体验1.（2013绍兴）绍兴市著名的桥乡，如图 18-11，石拱桥的桥顶到水面的距离 CD 为 8m，桥拱半径 OC 为 5m，则水面宽 AB 为（ ）A 4m B 5m C 6m D 8m2.（2013广州）如图 18-12，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 P 在第一象限，P 与 x轴交于 O,A 两点，点 A 的坐标为（6,0） ，P 的半径为 13，则点 P 的坐标为 _.OEFAC DB图 18-12 图 18-133.（2013湖南邵阳）如图 18-13，某窗户是由矩形和弓形组成

11、，已知弓形的跨度AB3m，弓形的高 EF1m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出弧 AB 所在圆 O 的半径 r五、我的错题本参考答案变式练习变式 1. A 解析：P 是弦 AB 的中点，CD 是过点 P 的直径，运用垂径定理的推论，即可推出ABCD，正确；运用垂直定义APD=BPD=90，正确；平分弦所对的弧，即 ，正确，同理 ，因此 ，正确.变式 2.B 解析：延长 CD，设圆心是点 O，连接 OA，根据垂径定理、勾股定理计算即可；AD=BD=12，设圆的半径是 x，则 OD= =5，因此 CD=OCOD=135=8.213课堂作业A.基础题组1.C 解析：A、平分弦（弦不是直径）的直径垂直于

12、弦，故本选项错误；B、弦的垂线有多条，不一定过圆心哦，故本选项错误；C、垂直于弦的直径平分弦，正确，故本选项正确；D、平分弦（弦不是直径）的直径平分弦所对的两条弧，故本选项错误2. C 解析：因为 OCAC，根据垂径定理可知 AD=BD，所以 OA=OB，CA=CB；因为弦 AB 垂直平分半径 OC，所以 OA=AC，所以 OA=OB=CB=CC，则四边形 OACB 是菱形3.C 解析：如答图 18-1，过点 O 作 ODAB 于点 D，OB=3，AB=3，OD AB，由垂径定理 BD= AB= 4=2，在 RtBOD 中，OD= = = 214.4 解析：OCAP，ODPB，由垂径定理得：A

13、C=PC，PD=BD，CD 是APB 的中位线，CD= AB= 8=4.5. 解析：根据垂径定理的推论“垂直于弦（不是直径）的直径平分弦”求出弦的一半，2然后连半径 AO 构造直角三角形，用勾股定理计算半径.设O 的半径为 r，则 r2=（ ）2（ ） 2，r= 6答图 18-1 答图 18-2 答图 18-3B.中档题组6. 解析：弧有优弧、半圆、劣弧之分，其中半圆是特殊的弧；半径的两个端点不都在圆上，它不是弦；当两条半径在同一条直线上时，才能组成一条直径；直径是过圆心的弦，即是一条端点在圆上的线段，此时的弦最长，但是弦不一定过圆心.7. 解析：如答图 18-2，作 D 点关于 AB 的对称

14、点 E，连 CE 交 AB 于 P 点，弧 BC 度数2是 60，D 是劣弧 BC 的中点，弧 DC=弧 BD=弧 BE=30，CDE=90，CE 是 PD+PC 的最小值又OC=OE，COE 为等腰直角三角形OE=OC=1，CE= PD+PC 的最2小值为 28.解析：（1）如答图 18-3，连接 OA，根据题意得：CD=4 米，AB=12 米，则AD= AB=6（米） ，设这座拱桥所在圆的半径为 x 米，则 OA=OC=x 米，OD=OC-CD=（x-4）米，在 RtAOD 中，OA 2=OD2+AD2，则 x2=（x-4） 2+62， 解得：x=6.5，故这座拱桥所在圆的半径为 6.5

15、米（2）货船能顺利通过这座拱桥理由：连接 OM，设 MN=5 米，OCMN，MH=M N=2.5（米） ，在 RtOMH 中，OH=21=6（米） ，OD=OC-CD=6.5-4=2.5（米） ，OH-OD=6-2.5=3.5（米）3.62MHO米，货船不能顺利通过这座拱桥中考试题初体验1.D 解析：连接 OA，桥拱半径 OC 为 5m，OA=5m，CD=8m，OD=85=3m，AD= =4m，AB=2AD=24=8（m） 2.（3，2） 解析：过点 P 作 PDx 轴于点 D，连接 OP，A（6，0） ，PDOA，OD=OA=3，在 RtOPD 中，OP= ，OD=3，PD= =2，P（3，2） 3.解析：由题意知 OA=OE=r，EF=1，EF=r-1,OEAB，AF= AB= 3=1.5，在21中， ,即 ，解得 即圆 O 的半径为 米 RtOAF22OA225.1)(rr38138