1、第三部分 高考解答题训练 专题十 立体几何解答题训练,目 录,专题概览 （3）,模拟训练 （7）,规律总结 （40）,返回目录,专题概览,承载着空间想象能力、逻辑推理能力、运算能力考查的立体几何试题，在历年的高考中被定位于中、低档难度，一般处在解答题的第二至第四题的位置.立体几何每年都有一道解答题，主要考查空间想象能力和逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力，近三年高考立体几何考查情况是：2006年高考18套试题中，有19道解答题(江苏有2道，其中一道是立体几何的实际应用性问题，需要建立3次函数，用导数来处理).有11道锥体，3道柱体，2道折叠问题，1道二面角图形，另外，涉及二面角的有10题
2、.,返回目录,专题概览,2007年高考35份试卷中，江苏省文理科合卷共命制立体几何试题3道，其他各卷中，理科共命制立体几何49道，文科共命制立体几何试题50道，内容涉及各个方面.2008年大纲卷15套试题中，每套题都命制了立体几何解答题，一般处在大题的一至四道的位置，其中上海在第一大题，有2套处于第二题，3套处于第四道，其余9套试题均处于解答题的第三道题的位置.15套题中都涉及求角的问题，其中12套都有求二面角的平面角的问题，另一问主要涉及线面位置关系的证明，包括直线与平面垂直的证明、平面与平面垂直的证明、直线与平面平,返回目录,专题概览,行的证明及四点共面的证明等，此外还涉及异面直线的距离、
3、点到平面的距离、体积的计算等.总结近几年高考题的命题特点，可以看出：解答题在考查中经常涉及的知识及题型有：证明“平行”和“垂直”；求多面体的体积；三种角的计算；有关距离的计算；多面体表面积的计算.这类问题的解法主要是化归思想，如两条异面直线所成的角转化为两相交直线所成的角，面面距离转化为线面距离，再转化为点面距离.立体几何解答题的设计，注意了求解方法既可用向量方法处,返回目录,专题概览,理，又可用传统的几何方法解决，并且一般来说，向量方法比用传统方法解决较为简单.由于立体几何解答题属于常规题、中档题，因而，立体几何的复习应紧扣教材，熟练掌握课本中的每一个概念、每一个定理的种种用途，突破画图、读
4、图、识图、用图的道道难关，同时要注意总结证明垂直、平行的常用方法和技巧，掌握角、距离、面积、体积等的转化和计算方法，在做题的过程中进行反思，在反思中总结、提炼，不断提升空间想象能力及分析问题和解决问题的能力.,返回目录,模拟训练,1. (2008北京市东城区高三综合练习)已知正方形ABCD，沿对角线BD将ABD折起，使点A到点A1的位置，且二面角A1BDC为直二面角.() 求二面角A1BCD的大小；() 求异面直线A1D与BC所成角的大小;() 求直线BD与平面A1BC所成角的大小.,返回目录,解析 解法1：() 设O为BD中点，连结A1O，A1D=A1B，A1OBD.又二面角A1BDC是直二
5、面角，A1O平面BCD，过O作OEBC，垂足为E，连结A1E，由三垂线定理可知A1EBC.A1EO为二面角A1BCD的平面角，设正方形ABCD边长为2，则A1O= , OE=1，,模拟训练,返回目录,二面角A1BCD的大小为arctan .() 连结A1A，ADBC，A1DA为异面直线A1D与BC所成的角，A1O平面ABCD，且O为正方形ABCD的中心，,模拟训练,返回目录,A1ABCD为正四棱锥.A1A=A1D，又AD=A1D，A1DA=60,异面直线A1D与BC所成角的大小为60.() 易知BC平面A1OE，平面A1OE平面A1BC，过点O作OFA1E，垂足为F，连结BF，则OF平面A1B
6、C，,模拟训练,返回目录,OBF为直线BD与平面A1BC所成的角，设正方形ABCD边长为2，则直线BD与平面A1BC所成角的大小为arcsin解法2：()连结AC，交BD于点O，连结A1O，又A1D=A1B，O为BD中点，A1OBD.又二面角A1BDC是直二面角, 平面A1BD平面BCD，,模拟训练,返回目录,A1O平面BCD，又OCBD.可建立如图的空间直角坐标系Oxyz，设OC=1，则A1(0,0,1), B(0,1,0), C(1,0,0),设n=(x,y,z)为平面A1BC的一个法向量,则,模拟训练,返回目录,又 =(0,1,1), =(1,0,1), 令x=1,则 y=1, z=1.
7、得 n=(1,1,1).又 =(0,0,1)是平面BCD的一个法向量,设二面角A1BCD的大小为，cos=,模拟训练,返回目录,二面角A1BCD的大小为arccos . () 由D(0,1,0)可得 =(0,1,1),又 =(1,1,0), 异面直线A1D与BC所成角的大小为60.() 由 =(0,2,0),又n=(1,1,1)为平面A1BC的一个法向量,直线BD与平面A1BC所成角的大小为,模拟训练,返回目录,2. (2008安徽高考信息交流试卷)如图：已知四棱锥PABCD的底面是平行四边形，PE面ABCD,垂足E在边AD上，BEC是等腰直角三角形，BE=EC=2,四面体PBEC的体积为 .
8、() 求面PBC与底面ABCD所成 的锐二面角的大小；() 求点A到面PBC的距离；() 若点F在直线PC上， 且PC面BEF,求 的值.,模拟训练,返回目录,解析 以 为x、y、z轴建系如图.于是各点坐标是E(0,0,0)、P(0,0,4)、B(2,0,0)、C(0,2,0),模拟训练,返回目录,() PE面ABCD 面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1)，设面PBC的一个法向量n=(x,y,z)，由取z=1, 得n=(2,2,1),模拟训练,返回目录,由cosm，n=得所求锐二面角为arccos() A点到面PBC的距离d就是E点到面PBC的距离，大小为() 由于点F在直线PC上，所以
9、设BEPE 且BEEC， BE面PEC，BEPC.要使PC面BEF，只要使PCEF即可.,模拟训练,返回目录,3. (2008江西九江市5月高三联合考试试题)已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG= CD=1.() 求证：EFB1C；,模拟训练,返回目录,() 记二面角FEGC1的大小为，求cos的值；() 求四面体C1EFG的体积；() 求异面直线EF与CC1的距离.,解析 解法1：()连结D1B、BC1，E, F分别是D1D,BD的中点，,模拟训练,返回目录,EFD1B，又D1C1平面BC1，D1B在平面BC1上的射影为BC1，BC1B
10、1C，由三垂线定理知B1CD1B，EFB1C.() 取DC的中点M，连结FM，则FM面DC1，过M作MNEG于N，连结FN，由三垂线定理可得FNEG，MNF的邻补角为二面角FEGC1的平面角.由已知得正方体的棱长为4，则FM=2，在RtEDG中，EDGMNG，,模拟训练,返回目录,在RtFMN中，FMN=90，() 易知四面体C1EFG的体积为,模拟训练,返回目录,() 连AC，则F为AC的中点ABCD是正方形，ACEF，又CC1平面ABCD，CC1AC， 故FC是异面直线EF与CC1的公垂线.异面直线EF与CC1的距离为解法2：如图建立空间直角坐标系Oxyz，,模拟训练,返回目录,由已知得正
11、方体棱长为4，则E(0,0,2),F(2,2,0),C(0,4,0),B(4,4,0),C1(0,4,4),B1(4,4,4),G(0,3,0).() =(2,2,2), =(4,0,4) ， =2(4)+20+(2)(4)=0， ，EFB1C.() 平面D1DCC1的一个法向量为 =(4,0,0)，设平面EFG的一个法向量为n=(x,y,z)，,模拟训练,返回目录,令x=1，则y=2,z=3， 可取n=(1,2,3)， ()()同解法1.,模拟训练,返回目录,4. (2008北京海淀区高三期末练习)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，SA=AB,点M是SD的中
12、点，ANSC，且交SC于点N.() 求证：SB平面ACM；() 求二面角DACM的大小；() 求证：平面SAC平面AMN.,模拟训练,返回目录,解析 解法1：()证明：连接BD交AC于E，连接ME.ABCD是正方形，E是BD的中点.M是SD的中点，ME是DSB的中位线.MESB.,模拟训练,返回目录,又ME 平面ACM，SB 平面ACM，SB平面ACM.() 取AD的中点F，则MFSA.作FQAC于Q，连接MQ.SA底面ABCD，MF底面ABCD.FQ为MQ在平面ABCD内的射影.FQAC，MQAC.FQM为二面角DACM的平面角.设SA=AB=a，在RtMFQ中，,模拟训练,返回目录,二面角
13、DACM的大小为arctan .() 证明：由条件DCSA，DCDA，DC平面SAD，AMDC.又SAAD，M是SD的中点，AMSD.AM平面SDC.SCAM.,模拟训练,返回目录,由已知SCAN，SC平面AMN.又SC 平面SAC，平面SAC平面AMN.解法2：()同解法1.() 如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，,模拟训练,返回目录,由SAAB，故设ABADAS1,则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D(1,0,0)，S(0,0,1)，SA底面ABCD， 是平面ABCD的法向量， (0,0,1)，设平面ACM的法向量为n(x，y，z)，,模拟训练,返回目
14、录,令x1,则n(1,1,1).二面角DACM的大小为arccos() 证明：又SCAN，且ANAMA， SC平面AMN，又SC 平面SAC，平面SAC平面AMN.,模拟训练,返回目录,5. (2008湖北华师一附中高三年级压轴考试试题)如图，在等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC= ，A为PB边上一点, 且PA=1，将PAD沿AD折起，使平面PAD平面ABCD.() 求证：平面PAD面PCD；() 试在PB上找一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分的体积之比为VPDCMAVMACB=21；,模拟训练,返回目录,() 在()的条件下，判断AM是否平行于平面PCD.,解析 ()
15、证明：依题意知CDAD，又平面PAD平面ABCD，CD 平面ABCD，CD平面PAD,又DC 平面PCD，平面PAD平面PCD.()设P、M到底面ABCD的距离分别为h、hM，则,模拟训练,返回目录,hM= h，M为PB中点.() ABCD，AB平面PCD，CD 平面PCD，AB平面PCD,若AM平面PCD，ABAM=A，平面ABM平面PCD,这与平面ABM与平面PCD有公共点P矛盾.AM与平面PCD不平行.,模拟训练,返回目录,6. (2008福建泉州高中毕业班适应性练习)在三棱锥PABC中,PA底面ABC,PA=AB=BC=2,ABC=90, M为棱PC的中点.() 求证：点P，A，B，C
16、四点在同一球面上；() 求二面角AMBC的大小；() 求过P、A、B、C四点的球面中， A、B两点的球面距离.,模拟训练,返回目录,解析 ()证明：由已知条件RtPAC中PM=MC，则MP=MC=MA，则 PBBC.所以MP=MC=MA=MB，即P，A，B， C四点都在以M为球心，半径为PM的球面上.() 以AC为y轴, AP为z轴建立如 图所示的空间直角坐标系Axyz,模拟训练,返回目录,设平面AMB的法向量为n=(x,y,1)，同理设平面BMC的法向量为m=(a,b,1)，则,模拟训练,返回目录,所以cos = 故二面角AMBC的大小为120.() 过P，A，B，C四点的球面的球心为M，半
17、径为在MAB中，AMB=arccos故A，B两点的球面距离为,模拟训练,返回目录,1.平行、垂直位置关系论证的策略(1)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路.(2)利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一.(3)三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑.2.空间角的计算方法与技巧主要步骤：一作、二证、三算；若用向量, 那就是一证、二算.,规律总结,返回目录,(1)两条异面直线所成的角平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，常常利用中位线或成比例线段引平行线.补形法：把空间图形补成熟悉的或
18、完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系.向量法：直接利用向量的数量积公式cos= (注意向量的方向).(2)直线和平面所成的角,规律总结,返回目录,作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算.用公式计算sin= (P直线l，M面,是l与所成的角，n是面的法向量).(3)二面角平面角的作法：()定义法；()三垂线定理及其逆定理法；()垂面法.,规律总结,返回目录,平面角的计算法：()找到平面角，然后在三角形中计算(解三角形)或用向量计算；()射影面积法：cos= ；()向量夹角公式：|cos|= ，n1,n2是两
19、面的法向量.(是锐角还是钝角，注意图形和题意取舍).*求平面的法向量：找；求：设a，b为平面内的任意两个向量，n=(x,y,1)为的法向量,规律总结,返回目录,则由方程组 ，可求得法向量n.3.空间距离的计算方法与技巧(1)求点到直线的距离：经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点到直线的距离.(可用向量法来计算)(2)求两条异面直线间距离：一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长.在不能直接作出公垂线的情况下，可转化为线面距离求解(这种情形高考不作要求).,规律总结,返回目录,(3)求点到平面的距离：一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平
20、面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算；也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离；有时直接利用已知点求距离比较困难时，我们可以把点到平面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一点上去求“点到平面的距离”.求直线与平面的距离及平面与平面的距离一般均转化为点到平面的距离来求解.向量法： (N为P在面内的射影, M ，n是面的法向量).,规律总结,返回目录,4.熟记一些常用的小结论，诸如：正四面体的体积公式是V=a3；面积射影公式；“立平斜关系式”；最小角定理等.弄清楚棱锥的顶点在底面的射影为底面的内心、外心、垂心的条件，这可能是快速解答某些问题的前提.5.平面图形的翻折、立体图形的展开等一类问题，要注意翻折前、展开前后有关几何元素的“不变性”与“不变量”.,规律总结,返回目录,祝您高考成功！,去学习一学生把硬币抛向空中：“正面朝上就去看电视，背面朝上就去打游戏，如果硬币立起来，我就去学习。”,
