1、,一元二次方程的根的判别式,1.解一元二次方程有哪些方法?,探究新知,3.求解一元二次方程： .,用公式法解下列方程： x2x1 = 0 x22x1 = 0 2x22x1 = 0 由此可以发现一元二次方程ax2bxc = 0（a0）的根的情况可由 来判定：当 时，方程有两个不相等的实数根； 当 时，方程有两个相等的实数根； 当 时，方程没有实数根。 我们把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc = 0（a0）的根的判别式。,尝试与探索,b24ac,b24ac0,b24ac = 0,b24ac 0,我们把,叫做一元二次方程,的根的判别式.,用符号“”来表示.,定义,比一比,不解方程，判别下列方程
2、的根的情况：,不解方程，判别下列方程的根的情况：,例1,例1.不解方程,判别下列方程的根的情况 3x2x1 = 3x 5（x21）= 7x x24x = 4,方程要先化为一般形式再求判别式,不解方程，判别下列方程的根的情况：,练一练,不解方程，判别下列关于 的方程根的情况：,例2,不解方程，判别下列关于 的方程根的情况：,变一变,变式一,不解方程，判别下列关于 的方程根的情况：,变一变,变式二,不解方程，判别下列关于 的方程根的情况：,变一变,变式三,例3、求证：关于x的方程：有两个不相等的实根。,返回,2、已知关于x 的方程： 有两个不相等的实数根，k为实数，求k 的取值范围。,3、设关于x
3、 的方程： ，证明，不论m 为何 值时，方程总有两个不相等的实数根。,返回,课时训练,1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况 是 ( )A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根,D,2.方程x2-3x+1=0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D.只有一个实数根,A,3.下列一元一次方程中，有实数根的是( )A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0C.x2+x-1=0 D.x2+4=0,C,4.关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论正确的是 ( )A.当k=1/2时，
4、方程两根互为相反数B.当k=0时，方程的根是x=-1C.当k=1时，方程两根互为倒数D.当k1/4时，方程有实数根,D,课时训练,5.若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根，则m的取值范围是 ( )A.m1 B. m1且m0C.m1 D. m1且m0,D,7.若关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0 有两个相等的实数根，则k= .,2,8.关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0, 其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。,解：=-(3m-1)2-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m=m2-2m+1=(m-1)2, (m-1)2=1,即
5、m12，m20(二次项系数不为0，舍去)。,当m=2时，原方程变为2x2-5x+30， x3/2或x=1.,6.已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有实数根，则k的取值范围是 ( )A.k1 B.k1 C.k1,A,例2：当k取什么值时，已知关于x的方程：（1）方程有两个不相等的实根；（2）方程有两个相等的实根；（3）方程无实根；,返回,已知关于X的一元二次方程当K取什么值时,方程有两个不相等的实数根?,(2)当K取什么值时,方程有实数根?,已知关于X的方程(1)当K取什么值时,方程有两个不相等的实数根?,4. 探讨一元二次方程的根的情况.,一元二次方程,当0时，方程有两个不相等的实数根
6、；,当=0时，方程有两个相等的实数根；,当0时，方程没有实数根.,小结,例二 求证关于x的方程x2+(m+2)x+2m-1=0有两个不相等的实数根。,分析：要证方程有两个不相等的实数根，就是要证 明判别式0而证0，需把变成“完全平方数+正数”。,证明： = -(m+2) 2-(2m-1)=m2-4m+8=m2-4m+4-4+8= (m-2) 2+4 不论m为任何数， (m-2) 2 0， (m-2) 2+4一定是正数，即0 方程x2+(m+2)x+2m-1=0有两个不相等的实数根。,例2.在一元二次方程,( ),A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.根的情况无法
7、,例3.设关于x的方程,证明:不论m为何值,这个方程总有两个不相等的实数根,所以,不论m为何值,这个方程总有两 个不相等的实数根,【例5】 已知：a、b、c是ABC的三边，若方程有两个等根，试判断ABC的形状.,解：利用 0，得出a=b=c. ABC为等边三角形.,典型例题解析,例6.一元二次方程 有两个实数根,则m的取值范围是 _,变,即一元二次方程：,当 时，方程有两个不相等的实数根；,当 时，方程有两个相等的实数根；,当 时，方程没有实数根。,当方程有两个相等的实数根， ；,当方程没有实数根， 。,记住了，别忘了!,谢谢光临,作业,不解方程，判别下列方程的根的情况：,必做题：,选做题：,
8、练习册24页,结论：,当a、c异号时， 0.,拓展1,已知一元二次方程,有两个不相等的实数根，字母k可取哪些实数呢？,思考,1.判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0)根的判别式为：=b2-4ac作用:不解方程判断根的情况,解决与根的情况有关的所有问题.主要内容: 判别式的值 根的情况 0 有两个不相等的实根0 有两个相等的实根0 没 有 实 数 根,2.根与系数的关系（韦达定理） （1）方程ax2+bx+c=0 (a0)的两根为x1, x2，则x1+ x2= - ， x1 x2= 特殊情况：当a=1时，x2+px+q=0 ,x1+ x2= -p, x1 x2=q （2） 以x1,
9、 x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x2 (x1+ x2)x+ x1 x2=0,判别式与韦达道理课堂练习 一、基础练习 1、一元二次方程2x2+3x-4=0的根的判别式= . 2、不解方程，判断2y2-6y+5=0的根的情况是 . 3、设x1、 x2是方程2x2-4x-7=0的两个根，则x1+ x2= ， x1 x2 = - . 4、已知方程5x2+mx-6=0的一个根为3，则它的另一个根 是- ， m的值为 . 5、以-1和3为两个根的一元二次方程是 .,41,没有实数根,2,-13,X2-2x-3=0,6、两个实数根的和是3，积是-4的一元二次方程是 . 7、方程x2+3x+k=
10、0有两个互为倒数的实数根则k= . 8、方程x-(m+1)x-6=0有两个互为相反数的实数根，则m= . 9、下列方程没有实数根的是（ ）A. x2+5= x B. 3x2-2x+2=0 C. x2-2=3x D. 2x= x2-1 10、若一元二次方程x2-ax-2a=0的两根之和为4a-3，则 两根之积是（ ） A. 2 B. -2 C.-6或2 D.6或-2,X2-3x-4=0,1,-1,B,B,典型问题二：不解方程，求方程两根所组成的某些代数式的值。,例三（1）已知关于x的方程3x2+6x-2=0的两根为 x1 ，x2，求 的值。,（2） 已知关于x的方程3x2-mx-2=0的两根为x
11、1 ，x2，且，求m的值； x12+x12的值。,解：, x1 ，x2 为方程的两根, x1 +x2 = ， x1 x2= -,又,即,解的 m=-2, x1 +x2 = -, x2+x2=(x1 +x2 )2-2 x1 x2=,（1）已知关于x的方程3x2+6x-2=0的两根为 x1 ，x2，求 的值。,（2） 已知关于x的方程3x2-mx-2=0的两根为x1 ，x2，且，求m的值； x12+x12的值。,归纳总结：,1、求方程两根所组成的代数式的值，关键在于：,把所求代数式化成两根的和与两根的积的形式。,2、常见的形式：,(1)(x1 -x2 )2=,(2) x13+x23=,(3) x1
12、 -x2 =,(x1+x2)2-4x1x2,(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2),综合应用：,例四、（2000年四川省中考试题） 若关于x的一元二次方程x2-3(m+1)x+m2-9m+20=0有两个实数根，又已知a、b、c分别是ABC的A、B、C的对边，C=90，且cosB=,b-a=3,是否存在整数m,使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于RtABC的斜边的平方？若存在，请求出满足条件m的值；若不存在，说明理由.（“存在性”问题）,解：假设整数m存在，在RtABC中，C=90.cosB= 设a=3k,c=5k,则由勾股定理有b=4k. b-a=3, 4k-3k=3k=3 a=9,
13、b=12, c=15设一元二次方程x2-3(m+1)x+m2-9m+20=0的两个实数根为x1,x2则有 x1+x2=3(m+1), x1x2= m2-9m+20x12+x22=( x1+x2)-2 x1x2=3(m+1)2-2(m2-9m+20)=7m2+36m-31 由x12+x22=c2,c=15 有7m2+36m-31=225解方程得 m1=4 , m2= - m= - 不是整数，应舍去 当m=4 时，=2250；存在整数m=4 ，使方程两个实数根的平方和等于Rt斜边的平方。,4.若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根，则m的取值范围是 ( )A.m1 B. m1且m0C.
14、m1 D. m1且m0,D,3.已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有实数根，则k的取值范围是 ( )A.k1 B.k1 C.k1,A,5.若关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0 有两个相等的实数根，则k= .,2,6.关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0, 其根的判别式的值为1，求m的值,解：=-(3m-1)2-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m=m2-2m+1,m2-2m+1=1 即 m(m-2)=0m12，m20(二次项系数不为0，舍去)。, m=2,拓展提高,例3：已知关于x的一元二次方程,有两个不相等的实数根， 求k的取值范围.,
15、拓展提高,例4：试说明：不论x取何值， 关于x的方程,总有两个不相等的实根.,例5 求证:无论a为任何实数,关于x的方程 x2(2a1)xa30总有两个不相等的实数根. 证:(2a1)24(a3)4a28a134(a1)29 即0 无论a为任何实数 (a1)20 4(a1)290 无论a为任何实数,方程x2(2a1)xa30总有两个不等实根. 由例5可知:要说明0常将它配成完全平方式正数. .,试一试：设关于x的方程,证明:不论m为何值,这个方程总有两个不相等的实数根,所以,不论m为何值,这个方程总有两 个不相等的实数根,拓展练习：,试一试：m取什么值时,关于x的方程2x2(m2)x2m20
16、有两个相等的实数根？并求出这时方程的根. 解:方程有两个相等的实数根, (m2)28(2m2)m212m20(m2)(m10)0 m12 m210 当m12时 当m210时 所求m2或m10 ,方程的根为1或3.,例2 关于x的方程(m2)x22(m1)xm10在下列条件下, 分别求m的非负整数值. （1）方程只有一个实数根； （2）方程有两个相等的实数根； （3）方程有两个不相等的实数根.解:（1）当m20即m2时方程为一元一次方程2x30,即m2时,已知方程只有一个实数根.,（2）当方程有两个相等的实根时,必须且只需 解出m3时,方程有两个相等的实数根. （3）当方程有两个不相等实数根时,
17、必须且只需解出又m是非负整数 m0或m1 小结:使用时必须在a0的前题下.,（2）当方程有两个相等的实根时,必须且只需 解出m3时,方程有两个相等的实数根. （3）当方程有两个不相等实数根时,必须且只需解出又m是非负整数 m0或m1 小结:使用时必须在a0的前题下.,4.关于x的方程kx24x1=0有实数根，则k范围为( ) A.k4 B. k4且k0 C. k4且k0 D.k0,A,(2)关于x的方程kx24x1=0有两实数根，则k范围为( ) A.k4 B. k4且k0 C. k4且k0 D.k0,B,例5 已知方程 的一个根是1,求k及另一根 解法一:设方程的另一根为x1所求 ,解法二
18、1是方程的根 方程为 x21 所求 另一根为 引申:若 x21 则对应的方程是什么？ 即以 ,1为根的方程为 0,例题2： （1）若关于x的方程2x25xn0的一个根是2，求它的另一个根及n的值。（2）若关于x的方程x2kx60的一个根是2，求它的另一个根及k的值。,例题3：设x1，x2是方程2x23xm0的两个根，且8x12x27，求m的值。,例题4： 已知关于x的一元二次方程x2（2k1）xk20 有两个不相等的实数根，且方程的两根之和比两根 之积7，求k的值。,例题5： 已知：关于x的一元二次方程x23x1m0 （1）请选取一个你喜爱的m的值，使方程有两 个不相等的实数根，并说明它的正确
19、性。 （2）设x1，x2是（1）中所得方程的两个根，求 x1x2x1x2的值。,例6 方程x2(m1)x2m10求m满足什么条件时,方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？ 解:(m1)24(2m1)m26m5 两根互为相反数两根之和m10,m1,且0m1时,方程的两根互为相反数.,两根互为倒数 m26m5,两根之积2m11 m1且0,m1时,方程的两根互为倒数. 方程一根为0,两根之积2m10 且0, 时,方程有一根为零.,引申:1、若ax2bxc0 (a0 0) （1）若两根互为相反数,则b0; （2）若两根互为倒数,则ac; （3）若一根为0,则c0 ; （4）若一根为
20、1,则abc0 ; （5）若一根为1,则abc0; （6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.,引申2 若a、b是方程x22x70的两个实数根,求: a2b2 a23b24b a35b2b76的值. 解:由根系关系ab2,ab7, a272a b272b, a2b2=(ab)22ab41418. a23b24b(72a)3(72b)4b2(ab)282(2)2832. a35b2b76aa25b2b76a(72a)5(72b)b767a2a23511b767a2(72a)3511b7611(ab)497611(2)49765.,一元二次方程根与系数的关系：,若,的两个根为,若,的两个根为,则,
21、则,归纳总结:,拓展练习：,、已知方程x2mx+2=0的两根互为相反数，则m= 。 2、 已知方程x2+4x2m=0的一个根比另一个根小4，则= ；= ；m= . 3、已知方程5x2+mx10=0的一根是5，求方程的另一根及m的值。 4、关于x的方程2x23x+m=0，当 时，方程有两个正数根；当m 时，方程有一个正根，一个负根；当m 时，方程有一个根为0。,7. 用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k23k5的值必定大于零.,8. 关于x的方程2x2-(m+4)x+m+4=0有两个实数根.求m的取值范围.,10.已知x2-7xy+12y2=0,求证：X=3y或=4y,9.你会解方程：x2-2|x|-1=0吗？,
