1、专题二 集合与逻辑、函数与不等式 第5讲 集合、简单逻辑用语、推理与证明1.集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言,并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题.该部分为每年高考必考内容，主要考查方式有两种：（1）考查集合知识本身.对集合基本概念的认识和 了解水平，如集合的表示法、集合中元素的互异性、元素与集合的关系、集合与集合的关系等.,（2）考查“集合语言”的运用.在考查集合知识的同时，突出基本数学思想方法的考查，准确使用数学语言的能力和用数形结合的思想解决问题的能力. 2.纵观往年集合方面的考查形式多为选择题，面对江苏省新课标新高考，取消选择题题型这一现实，备
2、考中要特别注意集合形式的正确书写，这是相当重要的一点，而且对于其它题目的结果建议采用“集合”的书写方式比较妥当，如函数值域、字母取值范围等. 3.集合部分的重点是要加强“图、文、式”三种语言（图形语言、文字语言、数学符号语言）的互化训练.,4.推理论证能力是新课标考试说明明确要求考查学生的五种重要能力之一，“能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题，运用归纳、类比和演绎进行推理,论证某一数学命题的真假性”， 这是考试说明对这种能力的定位.推理证明是数学的基本思维过程，新课程的重要目标是培养和提高学生的演绎推理和逻辑证明的能力.高考考查时，可以以任何一个其它知识点为载体，因而重点不在于作为载
3、体的具体知识点，而在于理解和把握推理的方式与方法、证明的分类与应用.,5.分析法的特点是“执果索因”，综合法的特点是“由因导果”，两种方法在证明的思路上恰恰相 反，分析法有利于寻找解题思路，综合法便于证明过程的表达叙述，两种方法各有所长，在解决具体问题时，综合应用相得益彰. 6.数学归纳法为新增加内容，考查理科学生的应用 意识和能力，备考中要重点理解数学归纳法的使用原理、使用步骤及其特点，能较熟练地应用解决与自然数有关的部分命题.,【例1】（2008南师大附中模拟）集合A=x|x2-x=0,B=y|y=-lg(sin x)，C=t|y= ,则xA是xBC的 条件.（填 “充要”、“充分不必要”
4、、“必要不充分”或“既不充分也不必要” ）分析 首先将各集合化简，并求出BC，然后依据充分性与必要性的要求加以判断.解析 化简得A=0,1,B=y|y0,C=t|- t1，BC=x|0x1，可见ABC，故xAxBC反之不可.,充分不必要,1,探究拓展 (1)对于用描述法表示的集合，首先弄 清代表元素，这是关键，否则，似是而非，前功 尽弃.(2)关于“充要性”命题的判断，首先要认定谁是 “前提条件，谁是结论”，这是问题的核心与关键.充分性的实质是“有之必然，无之未必不然”，而必要性的实质是“有之未必然，无之必不然”.注意两个方向的认定.变式训练1 （2009扬州大学附中月考）已知条件p:x1,条
5、件q: 则 p是q的 条件.（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”或 “既不充分也不必要”）,充分不必要,【例2】 集合A中代表元素设为x,集合B中代表元素 设为y,若xB且 则A与B的关系是.分析 弄清存在性命题与全称命题的含义是判断A、B关系的前提.解析 xB，属存在性命题，即:A中至少有一个元素在B中.A、B有公共元素，所以AB； yA为全称命题，即B中任意元素都在A中，所以B为A的子集.,yA，,探究拓展 存在性命题与全称命题是新教材内容，新高考考查涉及的可能性较大，以体现一个 “新”字，备考时要注意.另外，要关注两类命题的否定的命题.存在性命题的否定，往往用全称命题形式叙述，全
6、称命题的否定往往用存在性命题形式叙述，共性是对结论都作否定.如“xR，使得x2+10”的否定是“xR,总有 “xR，总有x+32”的否定为“xR,使得x+32”.变式训练2 若r(x):sin 若xR,r(x)为假命题，且s(x)为真命题，则实数m的取值范围为 .,x2+10”；,x+cosxm,s(x):x2+mx+10,解析 r(x)为假命题，即xR,sin x+cos xm恒不成立，故m2;又s(x)为真命题，即xR,有x2+mx+10恒成立，故=m2-40,-2m2.综上有2m2.答案,【例3】已知a,b,c是全不相等的正实数,证明 方法一（分析法）,方法二 （综合法） a,b,c全不
7、相等，,探究拓展 本题的证明运用了两种方法:综合法和 分析法.可以看出,分析法和综合法是对立统一的两种方法,分析法的证明过程恰好是综合法的分析、思考过程，而综合法则是分析法的逆过程，分析法的证明过程是“执果索因”，综合法的证明过程是“执因索果”.另外，用分析法和综合法来叙述证明过程时，语气之间有明显的区别，在综合法中，每个推理都必须是正确的，每个论断都是其前面一个论断的必然结果，因此语气是肯定的；而在分析法中，就应当用假定的语气，其过程叙述模式为：“要证，只需证”或“要证，即证”.,变式训练3 当a+b0时,求证：证明 要证明由于函数 在区间(0，+)上是减函数，所以只要证（a+b）2(a2+
8、1)(b2+1),即证a2b2-2ab+10,即证(ab-1)20，上式显然成立，所以原不等式成立.,【例4】(2008盐城第三次调研)对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：.仿此，若m3的“分裂数”中有一个是59，则m的值为 .解析 分析条件，归纳出如下结论：分裂数是以3为首项，公差为2的等差数列中的项 （即大于1的奇数序列）且m3的“分裂数”由m个连续的奇数构成.问题是确认59位于哪一组.,8,由an=2n+1知若令59=2x+1,则x=29,即59位于上述数列中第29项.m3的“分裂数”组含有m个奇数，故有 的最小整数解即为所求.化简不等式有m2+m-600.解得m=
9、8符合题意.答案 8探究拓展 归纳法的特点是由特殊到一般，其优 点是创新大 胆，利于培养学生的创新意识和能力，其缺点是：不完全归纳法的结果未必正确，还需要证明或实践检验.本题以“立方数”的“分裂数”为载体，设计独特新颖，实际上是奇数列的分组问题.,变式训练4 将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n3）从左向右的第3个数为 .解析 前n-1行共有正整数1+2+(n-1)个,即因此第n行第3个数是全体正整数中第,1,2 3,4 5 6,7 8 9 10,【例5】等差数列an的前n项和为 S3=9+3 .（1）求数列an的通项an与前n项和Sn;（2）设 (nN*),求证：数
10、列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.（1）解 (2)证明 由(1)得假设数列bn中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则,Sn,a1=1,所以数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.探究拓展 反证法是一种重要的间接证明的方 法，其基本思路是由否定结论产生矛盾，从而肯定结论.其基本程序是“假设推理归谬结,论”.该法亦适用于以下几类问题的证明：基本定理;“唯一性”问题;“否定性”命题；“至多”、“至少”类问题；“必然性”命题.变式训练5 若x、y都是正实数，且x+y2，求证：证明 假设因为x0且y0，所以1+x2y,1+y2x,两式相加得2+x+y2x+2y,x
11、+y2.这与已知条件x+y2矛盾.,规律方法总结 1.对于含有n个元素的集合，其子集、真子集、非空 子集、非空真子集的个数分别为2n、2n-1、2n-1、2n-2. 2. U(AB)= UA UB; U(AB)= UA UB;AB=AAB=BAB UB UAA UB= UAB=U. 3.集合中元素的“三性”既是解题的突破口，也是检验所得字母取值是否保留的依据. 4.将命题逻辑联结词“或”“且”“非”与集合论中“并、交、补”进行类比理解，互相支撑加强记忆.,5.“否命题”与“命题的否定”区别在于，前者否 定条件与结论，后者仅仅否定结论. 6.类比推理的一般步骤是：首先找出两类对象之间可以确切表述
12、的相似性或一致性，然后用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想，最后再检验这个猜想. 7.综合法实际上是寻找它的必要条件，由因导果，从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”. 8.用分析法时要正确使用连接有关分析推理步骤的关键词，如“欲证，只需证”、“即”、“假定成立，则”等. 9.反证法是一种常用的间接证明方法，它首先假设命题的结论不成立，然后从这个假定出发，经过推理得出矛盾，从而判定假设不成立，得出命题的结论正确.,一、填空题 1.设集合A=（x，y）|x-y=0，B=（x，y）|2x-3y+4=0，则AB= .解析 集合A、B分别表示两直线上的点集，解方程组 即交点坐标为
13、（4，4）.,（4，4）,2. 设a,bR，集合1,a+b,a= ,则b- a= . 解析 由题知a0，否则 无意义，a+b=0， a=-b0,即 ,b=1,a=-1,b-a=1-(-1)=2. 3.（2009盐城质检）命题“xR,x3-x2+10”的否定是 .解析 全称命题的否定，往往用存在性命题形式叙述；反之，存在性命题的否定，往往选用全称命题形式.关键是理解透原命题的含义，把握准确，是正确否定的前提.,2,xR,使得x3-x2+10,4. 设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出 f(k+1)(k+1)2成 立”.那么，下列命题总成立的是 .若
14、f(3)9成立,则当k1时，均有f(k)k2成立若f(5)25成立,则当k5时，均有f(k)k2成立若f(7)49成立，则当k8时，均能f(k)k2成立若f(4)=25成立,则当k4时，均有f(k)k2成立解析 当f(k)k2成立时，f(k+1)(k+1)2成立.当k=4时，f(4)=2516=42成立.k4时，有f(k)k2成立.,5.设A=x|x-1|2,B=x|(x+1)(x-a)-1,则B=(-1，a),当a（-1，3符合题意；若a-1,则B=（a,-1），不符合题意；若a=-1,则B=,符合题意.综合以上知a-1，3. 6.（2009淮安市五月调研）设等差数列an的前n项和Sn，若存
15、在正整数m,n (mn)，使得Sm=Sn,则Sm+n=0.类比以上结论，设正项等比数列bn的前n项积为Tn，若存在正整数m，n(mn)，使得Tm=Tn，则Tm+n= .,-1，3,1,二、解答题 7.已知全集S=1，3，x3-x2-2x，A=1，|2x-1|，若 SA=0,则这样的实数x是否存在？若存在，求出x；否则，说明理由.解 方法一 SA=00S且0A，即由x3-x2-2x=0，得x=0或-1或2.当x=0时,|2x-1|=1,A中元素不满足互异性,x0.当x=-1时，|2x-1|=3S,符合题意.当x=2时，|2x-1|=3S,符合题意.方法二 SA=0，0S且0A，3A.,8.“三角
16、函数是周期函数， 是三角函数，所以 是周期函数”.在以上演绎推理中，是否存在错误？若存在错误，请加以分析.解 存在错误.分析如下：推理中出现两个“三角函数”，它们的含义不完全相同，第一个是指定义在无特殊限制条件范围内的三角函数，如正弦、余弦函数，定义域为R，正切函数定义在(kZ)上，余切函数定义在 (kZ)上,第二个是指一个特殊的三角函数,不具备前述性质.所以上面推理犯了“偷换概念”的错误.,9.已知函数 其零点记为k (k-1).证明 k不可能是负数.证明 假设k是负数，则方程f(x)=0有负数根k，与假设k0（k-1)矛盾.假设是错误的，k不可能是负数.,10.已知集合0,若AB=A,求实
17、数a的取值范围.分析一 A、B均为点集，A是一个圆，B是一平面区域，AB=A，则圆在平面区域内.解 方法一 AB=AAB，圆x2+(y-1)2=1总在平面区域x+y+a0内.当x=y=0时，x+y+a0中的a0,直线y=-x-a的截距小于0.在坐标系中作出平面区域和圆，如图，当直线y=-x-a在图中l的位置且向左下方平移时，均满足 条件，故只需求出临界状态l的截距.,A=(x,y)|x2+(y1)2=1,B=(x,y)|x+y+a,由直线x+y+a=0与圆x2+(y-1)2=1相切，a的取值范围是 -1，+）.分析二 本题中考虑到a是一次，且求a的取值范围，所以a-(x+y)，则a大于等于-(x+y)的最大值即可，从而转化为求z=-(x+y)在条件x2+(y-1)2=1下的最大值问题.方法二 设中，得,返回,
