1、一 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 计 70 分 请 把 答 案 填 写 在 答 2012 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 江 苏 卷 ）数 学（ 全 卷 满 分 160 分 ， 考 试 时 间 120 分 钟 ）棱 锥 的 体 积 V 13Sh ， 其 中 S 为 底 面 积 ， h 为 高 题 卡 相 应 位 置 上1 （ 2012 年 江 苏 省 5 分 ） 已 知 集 合 A 1 ， 2 ， 4 ， B 2 ， 4 ， 6 ， 则 A B 【 答 案 】 1,2,4,6 。【 考 点 】 集 合 的 概
2、念 和 运 算 。【 分 析 】 由 集 合 的 并 集 意 义 得 A B 1,2,4,6 。2 （ 2012 年 江 苏 省 5 分 ） 某 学 校 高 一 、 高 二 、 高 三 年 级 的 学 生 人 数 之 比 为 3 : 3 : 4 ， 现 用 分 层 抽样 的 方 法 从 该 校高 中 三 个 年 级 的 学 生 中 抽 取 容 量 为 50 的 样 本 ， 则 应 从 高 二 年 级 抽 取 名 学 生 【 答 案 】 15。【 考 点 】 分 层 抽 样 。【 解 析 】 分 层 抽 样 又 称 分 类 抽 样 或 类 型 抽 样 。 将 总 体 划 分 为 若 干 个 同
3、质 层 ， 再 在 各 层内 随 机 抽 样 或 机 械 抽 样 ， 分 层 抽 样 的 特 点 是 将 科 学 分 组 法 与 抽 样 法 结 合 在 一 起 ， 分 组减 小 了 各 抽 样 层 变 异 性 的 影 响 ， 抽 样 保 证 了 所 抽 取 的 样 本 具 有 足 够 的 代 表 性 。 因 此 ，由 50 3 =15 知 应 从 高 二 年 级 抽 取 15 名 学 生 。3 3 43 （ 2012 年 江 苏 省 5 分 ） 设 a ， b R ， a bi 11 7i（ i 为 虚 数 单 位 ） ， 则 a1 2ib 的 值 为 【 答 案 】 8。【 考 点 】 复
4、 数 的 运 算 和 复 数 的 概 念 。【 分 析 】 由 a bi 11 7i1 2i得 a b i 11 7i1 2i = 11 7i 1 2i1 2i 1 2i=11 15i 141 4 =5 3i ， 所 以a =5， b =3 ， ab=8 。4 （ 2012 年 江 苏 省 5 分 ） 下 图 是 一 个 算 法 流 程 图 ， 则 输 出 的k 的 值 是 【 答 案 】 5。【 考 点 】 程 序 框 图 。【 分 析 】 根 据 流 程 图 所 示 的 顺 序 ， 程 序 的 运 行 过 程 中 变 量 值 变 化 如 下 表 ：是 否 继 续 循 环 k k 2 5k
5、4循 环 前第 一 圈第 二 圈第 三 圈第 四 圈第 五 圈第 六 圈是是是是是否012345输 出 500 2 204 最 终 输 出 结 果k=5。5 （ 2012 年 江 苏 省 5 分 ） 函 数 f ( x)0， 6 。【 答 案 】1 2 log 6 x 的 定 义 域 为 【 考 点 】 函 数 的 定 义 域 ， 二 次 根 式 和 对 数 函 数 有 意 义 的 条 件 ， 解 对 数 不 等 式 。【 解 析 】 根 据 二 次 根 式 和 对 数 函 数 有 意 义 的 条 件 ， 得x 01 2log 6 x 0x 0log 6 x 12x 01x 6 2 = 60
6、0， y 0x作 出 （ x， y） 所 在 平 面 区 域 （ 如 图 ） 。 求 出 y=e 的 切线 的 斜 率 e ， 设 过 切 点 P x0， y0 的 切 线 为 y=ex m m 0 ，则 y0x0= ex0x0m =e mx0 ， 要 使 它 最 小 ， 须m=0 。 yx 的 最 小 值 在 P x0， y0 处 ， 为 e 。 此 时 ， 点 P x0， y0 在 y=ex 上 A, B 之 间 。当 （ x， y ） 对 应 点 C 时 ，y=4 xy=5 3 x5 y =20 5 x4 y=20 12 x y=7 xyx =7 ， yx 的 最 大 值 在 C 处 ，
7、 为 7。 yx 的 取 值 范 围 为 e， 7 ， 即 ba 的 取 值 范 围 是 e， 7 。题 卡 指 定 区 域明 、 证 明 过 程 或演 算 步 骤 15 （ 2012 年 江 苏 省 14 分 ） 在（ 1） 求 证 ： tan B3tan A ；ABC 中 ， 已 知 AB AC 3 BA BC （ 2） 若 cosC 55 ， 求 A 的 值 【 答 案 】 解 ： （ 1 ） AB ACA C c o s A = 3B C c o。 Bs3BA BC ， AB AC cos A =3 BA BC cos B ， 即由 正 弦 定 理 ， 得 ACsin B = BCsi
8、n A ， sin B cos A=3sin A cos B 。又 0 0， cos B 0 。 sin Bcos B=3 sin Acos A 即tan B 3tan A 。2（ 2） cosC 55 ， 0 0 ， tan A=1 。 A= 4 。【 考 点 】 平 面 微 量 的 数 量 积 ， 三 角 函 数 的 基 本 关 系 式 ， 两 角 和 的 正 切 公 式 ， 解 三 角 形 。【 解 析 】 （ 1） 先 将 AB AC式 证 明 。3BA BC 表 示 成 数 量 积 ， 再 根 据 正 弦 定 理 和 同 角 三 角 函 数 关 系（ 2） 由 cos C 55 ，
9、可 求 tan C ， 由 三 角 形 三 角 关 系 ， 得 到 tan A B ， 从而 根 据 两 角 和 的 正 切 公 式 和 （ 1） 的 结 论 即 可 求 得 A 的 值 。16 （ 2012 年 江 苏 省 14 分 ） 如 图 ， 在 直 三 棱 柱 ABC A1B1C1 中 ， AB1 1 AC1 1 ， D ， E 分 别 是 棱BC ， CC1 上 的 点 （ 点 D 不 同 于 点 C ） ，且 AD DE ， F 为 B1C1 的 中 点 求 证 ： （ 1） 平 面 ADE 平 面 BCC 1B1 ；（ 2） 直 线 A1F / 平 面 ADE 【 答 案 】
10、证 明 ： （ 1） ABC A1 B1C1 是 直 三 棱 柱 ， CC1 平 面 ABC 。又 AD 平 面 ABC ， CC1 AD 。又 AD DE ， CC1， DE 平 面 BCC1B1， CC1 DE E ， AD 平面 BCC1B1。（ lb ylfx ）又 AD 平 面 ADE ， 平 面 ADE 平 面 BCC 1B1 。（ 2） A1B1 AC1 1 ， F 为 B1C1 的 中 点 ， A1F B1C1 。又 CC1 平 面 A1B1C1 ， 且 A1F 平 面 A1B1C1 ， CC1 A1F 。又 CC1， B1C1 平 面 BCC1B1 ， CC1 B1C1 C1
11、 ， A1F 平 面 A1 B1C1 。由 （ 1） 知 ， AD 平 面 BCC1B1 ， A1 F AD 。又 AD 平 面 ADE , A1F 平 面 ADE ， 直 线 A1F / 平 面 ADE【 考 点 】 直 线 与 平 面 、 平 面 与 平 面 的 位 置 关 系 。【 解 析 】 （ 1） 要 证 平 面 ADE 平 面 BCC1B1， 只 要 证 平 面 ADE 上 的 AD 平 面 BCC1B1 即 可 。它 可 由 已 知 ABC A1 B1C1 是 直 三 棱 柱 和 AD DE 证 得 。（ 2） 要 证 直 线 A1F / 平 面 ADE ， 只 要 证 A1F
12、 平 面 ADE 上 的 AD 即 可 。17 （ 2012 年 江 苏 省 14 分 ） 如 图 ， 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 xoy ， x 轴 在 地 平 面 上 ， y 轴 垂 直 于地 平 面 ， 单 位 长 度 为 1 千 米 某 炮 位 于 坐 标 原 点 已 知 炮 弹 发 射 后 的 轨 迹 在 方 程y kx 120 2 2(1 k ) x (k 0) 表 示 的 曲 线 上 ， 其 中 k 与 发 射 方 向 有 关 炮 的 射 程 是 指 炮 弹 落 地点 的 横 坐 标 （ 1） 求 炮 的 最 大 射 程 ；（ 2） 设 在 第 一 象 限 有 一 飞 行
13、 物 （ 忽 略 其 大 小 ） ， 其 飞 行 高 度 为 3.2 千 米 ， 试 问 它 的 横 坐 标 a 不超 过 多 少 时 ，炮 弹 可 以 击 中 它 ？ 请 说 明 理 由 【 答 案 】 解：（ 1） 在 y kx 1202 2(1 k ) x ( k 0) 中 ， 令 y 0 ， 得 kx 1202 2(1 k ) x =0 。由 实 际 意 义 和 题 设 条 件 知 x 0， k 0 。 x= 20k21 k = 1k20k202 =10 ， 当 且 仅 当 k =1 时 取 等 号 。 炮 的 最 大 射 程 是 10 千 米 。（ 2） a 0 ， 炮 弹 可 以
14、击 中 目 标 等 价 于 存 在 k 0 ，使 ka 120 2 2(1 k )a =3.2成 立 ，2即 关 于 k 的 方 程 a k 2 20ak a2 64=0 有 正 根 。由 = 20 a 2 4 a2 a2 64 0 得 a 6 。20a 20a 2 4a2 a2 64此 时 ， k = 2a2 0 （ 不 考 虑 另 一 根 ） 。 当 a 不 超 过 6 千 米 时 ， 炮 弹 可 以 击 中 目 标 。【 考 点 】 函 数 、 方 程 和 基 本 不 等 式 的 应 用 。【 解 析 】 （ 1） 求 炮 的 最 大 射 程 即 求 y kx 1202 2(1 k )
15、x (k 0) 与 x 轴 的 横 坐 标 ， 求 出 后 应 用基 本 不 等 式 求 解 。（ 2） 求 炮 弹 击 中 目 标 时 的 横 坐 标 的 最 大 值 ， 由 一 元 二 次 方 程 根 的 判 别 式 求 解 。18 （ 2012 年 江 苏 省 16 分 ） 若 函 数 y函 数 yf ( x) 的 极 值 点 。f ( x) 在 x x0 处 取 得 极 大 值 或 极 小 值 ， 则 称 x0 为已 知 a， b 是 实 数 ， 1 和 1 是 函 数 f ( x) x3 ax2 bx 的 两 个 极 值 点 （ 1） 求 a 和 b 的 值 ；（ 2） 设 函 数
16、g ( x) 的 导 函 数 g ( x) f (x) 2 ， 求 g ( x) 的 极 值 点 ；（ 3） 设 h( x) f ( f ( x) c ， 其 中 c 2 ， 2 ， 求 函 数 y h (x) 的 零 点 个 数 【 答 案 】 解：（ 1） 由 f ( x) x3 ax2 bx ， 得 f ( x) 3x2 2ax b 。 1 和 1 是 函 数 f (x) x3 ax2 bx 的 两 个 极 值 点 ， f (1) 3 2a b=0 ， f ( 1) 3 2 a b =0 ， 解 得 a = 0， b = 3 。（ 2） 由 （ 1） 得 ， f ( x) x3 3 x
17、， g ( x) f ( x) 2=x3 3 x 2= x 1 2 x 2 ， 解 得 x1 =x2 =1， x3 = 2 。 当 x 0 ， x= 当2 是 g ( x) 的 极 值 点 。2 1 时 ， g ( x) 0 ， x=1 不 是 g (x) 的 极 值 点 。 g ( x) 的 极 值 点 是 2。（ 3） 令 f ( x)= t ， 则 h (x) f (t ) c 。先 讨 论 关 于 x 的 方 程 f ( x)= d 根 的 情 况 ： d 2, 2当 d =2 时 ， 由 （ 2 ） 可 知 ， f ( x)= 2 的 两 个 不 同 的 根 为 I 和 一 2 ，
18、注 意到 f (x) 是 奇 函 数 ， f ( x)=2 的 两 个 不 同 的 根 为 一 和 2。当 d 0 ，f (1) d =f ( 2) d = 2 d 0 ， 于 是 f ( x) 是 单 调 增 函 数 ， 从 而f ( x) f (2)=2 。此 时 f ( x)= d 在 2， 无 实 根 。 当 x 1， 2 时 f ( x) 0 ， 于 是 f ( x) 是 单 调 增 函 数 。又 f (1) d 0 ， y= f ( x) d 的 图 象 不 间 断 ， f ( x)= d 在 （ 1 , 2 ） 内 有 唯 一 实 根 。同 理 ， f ( x)= d 在 （ 一
19、 2 ， 一 I ） 内 有 唯 一 实 根 。 当 x 1， 1 时 ， f (x) 0 ， f (1) d 0， y2 0 。2x1 2y12my1=x1 11 2m 2 2y1 2my1 1=0 y1 =mm2m2222 。 AF1= x1 1 2 2y1 0 = my1 2 2 2y1 = m 1 m22m2m 22 22 m 12m2m m21。 同 理 ， BF2 =22 m 12mm m22 1。 （ i） 由 得 ， AF1 BF2 2 m m2m221 。 解 2m m2m221= 622得 m=2。 注 意 到 m 0 ， m= 2 。 直 线 AF1的 斜 率 为 1m
20、= 22 。（ ii ） 证 明 ： AF1 BF2 ， PBPF1BF2AF1 ， 即PBPF1 1BF2AF 1 1PB PFPF11BFAF2 。11 PF1= AF1AF1 BF2BF1 。由 点 B 在 椭 圆 上 知 ， BF1 BF2 2 2 ， PF1= AF1AF1 BF22 2 BF2 。同 理 。 PF2 = BF2AF1 BF22 2 AF1 。 PF1+ PF2 = AF1AF1 BF22 2 BF2 BF2AF1 BF22 2 AF1 2 2 2 AF BF2AF1 BF2由 得 ， AF1 BF =2 2 m2m221， AF BF =2m2m12 ， PF1+
21、PF2 =2 2 PF1PF2是 定 值 。2 3=2 22 。【 考 点 】 椭 圆 的 性 质 ， 直 线 方 程 ， 两 点 间 的 距 离 公 式 。【 解 析 】 （ 1） 根 据 椭 圆 的 性 质 和 已 知 (1， e) 和 e， 32 都 在 椭 圆 上 列 式 求 解 。（ 2） 根 据 已 知 条 件 AF1 BF2 62 ， 用 待 定 系 数 法 求 解 。20 （ 2012 年 江 苏 省 16 分 ） 已 知 各 项 均 为 正 数 的 两 个 数 列 an 和 bn 满 足 ：a n 1a na n2bnbn 2， n N * ，2（ 1） 设 bn 1 1 b
22、nan， n N * ， 求 证 ： 数 列 bnan是 等 差 数 列 ；（ 2） 设 bn 1 2 bnan， n N * ， 且 an 是 等 比 数 列 ， 求 a1 和 b1 的 值 【 答 案 】 解：（ 1） bn 1 1 bnan， an 1 an2a nbnbn2=1bn 1bnan2 。2 bnan111 bnan。 bnan112 bnan21 bnan2 2 bnan21 n N * 。2 数 列 bnan是 以 1 为 公 差 的 等 差 数 列 。（ 2） an 0， bn 0 ， an2bn2an2 2bn 0 知 q 0 ， 下 面 用 反 证 法 证 明 q
23、=1若 q 1,则 a1 = a 2q log q 2a1时 ， an 1 na1q 2 ， 与（ ） 矛 盾 。若 0 a2 1 ， 当 n log q 1a1时 ， an 1 na1q 1 ， 于 是 b1 b2 b3 。又 由 a n 1a na n 2bnbn 2即 a1 a12a1bnbn2， 得 bn = a12a12a122 a11。 b1， b2， b3 中 至 少 有 两 项 相 同 ， 与 b1 b2 b3 矛 盾 。 a1 = 2 。2 22 2 2 2 bn = 2 = 2 。2 1 a1=b2= 2 。【 考 点 】 等 差 数 列 和 等 比 数 列 的 基 本 性
24、 质 ， 基 本 不 等 式 ， 反 证 法 。21 选 做 题 本 题 包 括 A、 B、 C、 D 四 小 题 ， 请 【 解 析 】 （ 1） 根 据 题 设 a n 1 a nan 2bnbn 2和 bn 1 1 bnan， 求 出 bnan111 bnan2， 从 而2 2证 明 bnan11bna n 1 而 得 证 。（ 2） 根 据 基 本 不 等 式 得 到 1 an 1 an2anbnbn22 ， 用 反 证 法 证 明 等 比 数 列 an 的 公 比 q =1。从 而 得 到 a n a1 n N * 的 结 论 ， 再 由 bn 1 2 bnan =2a1 bn 知
25、bn 是 公 比 是2a1的 等 比数 列 。 最 后 用 反 证 法 求 出 a1=b2 = 2 。数 学 (附 加 题 )选 定 其 中 两 题 ， 并 在 相 应 的 答 题 区 域 内 作 答 若多 做 ， 则 按 作 答 的 前 两 题 评 分 解 答 时 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 A 选 修 4 - 1： 几 何 证 明 选 讲 （ 2012 年 江 苏 省 10 分 ） 如 图 ， AB 是 圆 O 的 直 径 ， D , E 为圆 上 位 于 AB 异 侧 的 两 点 ， 连 结 BD 并 延 长 至 点 C ， 使 BD DC ， 连
26、 结 AC , AE , DE 求 证 ： E C 【 答 案 】 证 明 ： 连 接 AD 。 AB 是 圆 O 的 直 径 ， ADB 090 （ 直 径 所 对 的 圆 周 角 是 直 角 ） 。 AD又 BDBD （ 垂 直 的 定 义 ） 。DC ， AD 是 线 段 BC 的 中 垂 线 （ 线 段 的 中 垂 线 定 义 ） 。 AB AC （ 线 段 中 垂 线 上 的 点 到 线 段 两 端 的 距 离 相 等 ） 。 B C （ 等 腰 三 角 形 等 边 对 等 角 的 性 质 ） 。又 D , E 为 圆 上 位 于 AB 异 侧 的 两 点 ，BEE （ 同 弧 所
27、对 圆 周 角 相 等 ） 。C （ 等 量 代 换 ） 。【 考 点 】 圆 周 角 定 理 ， 线 段 垂 直 平 分 线 的 判 定 和 性 质 ， 等 腰 三 角 形 的 性 质 。【 解 析 】 要 证 E C ， 就 得 找 一 个 中 间 量 代 换 ， 一 方 面 考 虑 到 B 和 E 是 同 弧 所 对 圆 周角 ， 相 等 ； 另一 方 面 由 AB 是 圆 O 的 直 径 和 BD DC 可 知 AD 是 线 段 BC 的 中 垂 线 ， 从 而 根 据 线 段 中 垂 线上 的 点 到 线 段 两 端 的 距 离 相 等 和 等 腰 三 角 形 等 边 对 等 角 的
28、 性 质 得 到 B C 。 从 而 得 证 。本 题 还 可 连 接 OD ， 利 用 三 角 形 中 位 线 来 求 证 B C 。1 3B 选 修 4 - 2： 矩 阵 与 变 换 （ 2012 年 江 苏 省 10 分 ） 已 知 矩 阵 A 的 逆 矩 阵 A 1 41 41 ，2 2求 矩 阵 A 的 特 征 值 1【 答 案 】 解 ： A A = E ， A = A131 1 。 A 1 41 41 ， A = A 11 2 32 1 。2 2 矩 阵 A的 特 征 多 项 式 为 f = 2 2 31 = 2 3 4 。令 f =0 ， 解 得 矩 阵 A的 特 征 值 1
29、= 1， 2 =4 。【 考 点 】 矩 阵 的 运 算 ， 矩 阵 的 特 征 值 。【 解 析 】 由 矩 阵 A 的 逆 矩 阵 ， 根 据 定 义 可 求 出 矩 阵 A ， 从 而 求 出 矩 阵 A 的 特 征 值 。C 选 修 4 - 4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 （ 2012 年 江 苏 省 10 分 ） 在 极 坐 标 中 ， 已 知 圆 C 经 过 点P 2 ， 4 ， 圆 心 为 直 线 sin 3 32 与 极 轴 的 交 点 ， 求 圆 C 的 极 坐 标 方 程 【 答 案 】 解 ： 圆 C 圆 心 为 直 线 sin 3 32 与 极 轴 的 交 点 ，
30、 在 sin 3 32 中 令 =0 ， 得 1 。 圆 C 的 圆 心 坐 标 为 （ 1， 0） 。【 必 做 题 】 第 22 题 、 第 23 题 ， 每 题 10 分 ， 共 计 20 分 请 在 答 作 答 ， 解 答 时 应 写 圆 C 经 过 点 P 2 ， 4 ， 圆 C 的 半 径 为PC 22 21 2 1 4 2。 c o s = 1 圆 C 经 过 极 点 。 圆 C 的 极 坐 标 方 程 为【 考 点 】 直 线 和 圆 的 极 坐 标 方 程 。=2cos 。【 解 析 】 根 据 圆 C 圆 心 为 直 线 sin 3 32与 极 轴 的 交 点 求 出 的
31、圆 心 坐 标 ； 根 据 圆 C 经过 点 P 2 ，4求 出 圆 C 的 半 径 。 从 而 得 到 圆 C 的 极 坐 标 方 程 。D 选 修 4 - 5： 不 等 式 选 讲 （ 2012 年 江 苏 省 10 分 ） 已 知 实 数 x， y 满 足 ：| x y | 13 ， | 2 x y | 16 ， 求 证 ： | y | 518 【 答 案 】 证 明 ： 3| y | =| 3 y | = | 2 x y 2 x y | 2 x y 2 x y ，由 题 设 | x y | 13 ， | 2 x y | 16 ， 3| y | 13 16= 56 。 | y | 518
32、 。【 考 点 】 绝 对 值 不 等 式 的 基 本 知 识 。【 解 析 】 根 据 绝 对 值 不 等 式 的 性 质 求 证 。题 卡 指 定 区 域 内出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 22 （ 2012 年 江 苏 省 10 分 ） 设 为 随 机 变 量 ， 从 棱 长 为 1 的 正 方 体 的 12 条 棱 中 任 取 两 条 ， 当两 条 棱 相 交 时 ， 0 ； 当 两 条 棱 平 行 时 ， 的 值 为 两 条 棱 之 间 的 距 离 ； 当 两 条 棱 异 面 时 ， 1 （ 1） 求 概 率 P ( 0) ；（ 2） 求 的 分 布 列
33、， 并 求 其 数 学 期 望 E ( ) 【 答 案 】 解：（ 1） 若 两 条 棱 相 交 ， 则 交 点 必 为 正 方 体有 3 条 棱 ，2 共 有 8C3 对 相 交 棱 。8 个 顶 点 中 的 一 个 ， 过 任 意 1 个 顶 点 恰 P ( 0)=28C32C128 366411。（ 2） 若 两 条 棱 平 行 ， 则 它 们 的 距 离 为 1 或 2 ， 其 中 距 离 为 2 的 共 有 6 对 ， P( 2)= 62C12666111 ，P( 1)=1 P( 0) P( 2)=1 4 1 6=11 11 11 。 随 机 变 量P ( )的 分 布 列 是 ：0
34、41116112111 其 数 学 期 望 E ( )=1 611 2 1 6 2= 。11 11【 考 点 】 概 率 分 布 、 数 学 期 望 等 基 础 知 识 。【 解 析 】 （ 1） 求 出 两 条 棱 相 交 时 相 交 棱 的 对 数 ， 即 可 由 概 率 公 式 求 得 概 率 P( 0) 。（ 2） 求 出 两 条 棱 平 行 且 距 离 为 2 的 共 有 6 对 ， 即 可 求 出 P( 2) ， 从 而 求 出P( 1) （ 两 条 棱 平 行 且 距 离 为 1 和 两 条 棱 异 面 ） ， 因 此 得 到 随 机 变 量 的 分 布 列 ， 求 出 其 数学
35、 期 望 。23 （ 2012 年 江 苏 省 10 分 ） 设 集 合 Pn条 件 的 集 合 A的 个 数 ： 1， 2 ， ， n ， n N * 记 f (n ) 为 同 时 满 足 下 列 A Pn ； 若 x A ， 则 2 x A ； 若 x C pn A ， 则 2 x C p n A 。（ 1） 求 f (4) ；（ 2） 求 f (n) 的 解 析 式 （ 用 n 表 示 ） 【 答 案 】 解：（ 1） 当 n=4 时 ， 符 合 条 件 的 集 合 A为 ： 2 ， 1 , 4 ， 2,3 ， 1,3, 4 ， f (4) =4。( 2 ） 任 取 偶 数 x Pn ，
36、 将 x 除 以 2 ， 若 商 仍 为 偶 数 再 除 以 2 ， 经 过 k 次以 后 商 必 为 奇 数 此 时 记 商 为 m 。 于 是 x=m 2 k ， 其 中 m 为 奇 数 k N * 。由 条 件 知 若 m A 则 x A k 为 偶 数 ； 若 m A ， 则 x A k 为奇 数 。于 是 x 是 否 属 于 A ， 由 m 是 否 属 于 A确 定 。设 Qn 是 Pn 中 所 有 奇 数 的 集 合 因 此 f ( n) 等 于 Qn 的 子 集 个 数 。当 n 为 偶 数 或 奇 数 ） 时 ， Pn 中 奇 数 的 个 数 是 n2（ n 12） 。x )
37、， 其 中 x填 写 在 答 。 f ( n)=n2 2 n 为 偶 数n 1 。2 2 n为 奇 数【 考 点 】 集 合 的 概 念 和 运 算 ， 计 数 原 理 。【 解 析 】 （ 1） 找 出 n=4 时 ， 符 合 条 件 的 集 合 个 数 即 可 。（ 2） 由 题 设 ， 根 据 计 数 原 理 进 行 求 解 。绝 密 启 用 前2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 江 苏 卷 ）数 学 注 意 事 项 ：考 生 在 答 题 前 请 认 真 阅 读 本 注 意 事 项 及 各 题 答 题 要 求1.本 试 卷 共 4 页 ， 均 为 非
38、 选 择 题 （ 第 1 题 -第 20 题 ， 共 20 题 ） 。 本 卷 满 分 为 160 分 。 考 试 时间 为 120 分 钟 。 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回 。2.答 题 前 请 务 必 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 用 0.5 毫 米 黑 色 墨 水 签 字 笔 填 写 在 试 卷 及 答 题 卡 的规 定 位 置 。3.请 认 真 核 对 监 考 员 在 答 题 卡 上 所 粘 贴 的 条 形 码 上 的 姓 名 、 准 考 证 号 与 您 本 人 是 否 相 符 。4.作 答 试 题 ， 必 须 用一 律 无
39、效 。5.如 需 作 图 ， 须 用参 考 公 式 ：0.5 毫 米 黑 色 墨 水 签 字 笔 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 作 答 ， 在 其 他 位 置 作 答2B 铅 笔 绘 ， 写 清 楚 ， 线 条 ， 符 号 等 须 加 黑 加 粗 。样 本 数 据 x1 , x2 , 2, xn 的 方 差 s 1nni 1( xi 2 1nni 1xi 。棱 锥 的 体 积 公 式 ： V 13 Sh ， 其 中 S 是 锥 体 的 底 面 积 ， h 为 高 。棱 柱 的 体 积 公 式 ： V Sh ， 其 中 S 是 柱 体 的 底 面 积 ， h 为 高 。一 、 填 空
40、题 ： 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 计 70 分 ， 请 把 答 案题 卡 的 相 应 位 置 上1、 函 数 y 3sin(2 x 4 ) 的 最 小 正 周 期 为 。答 案 ：2、 设 z (2 i )2 ( i 为 虚 数 单 位 )， 则 复 数 z 的 模 为 。答 案 ： 53、 双 曲 线2x162y91 的 两 条 渐 近 线 的 方 程 为 。答 案 ： y 34 x4、 集 合 -1， 0， 1共 有答 案 ： 8 个 子 集 。5、 右 图 是 一 个 算 法 的 流 程 图 ， 则 输 出 的 n 的 值 是 。答 案 ： 36、 抽
41、 样 统 计 甲 、 乙 两 位 射 击 运 动 员 的 5 次 训 练 成 绩 （ 单 位 ： 环 ） ， 结 果 如 下 ：运 动 员甲乙第 1 次8789第 2 次9190第 3 次9091第 4 次8988第 5 次9392则 成 绩 较 为 稳 定 ( 方 差 较 小 )的 那 位 运 动 员 成 绩 的 方 差 为答 案 ： 2 。7、 现 有 某 类 病 毒 记 作 为到 奇 数 的 概 率 为20答 案 ： 63X mYn ， 其 中 正 整 数 m, n( m 7, n。9) 可 以 任 意 选 取 ， 则 m, n 都 取8、 如 图 ， 在 三 棱 柱 A1B1C1 -A
42、BC 中 ， D、 E、 F 分 别 为 AB、 AC、 A A1 的 中 点 ， 设三 棱 锥 F-ADE 的 体 积 为 V1 ， 三 棱 柱 A1B1C1 -ABC 的 体 积 为 V2 ， 则 V1 ： V2 = 。答 案 ： 1:249、 抛 物 线 y 2x 在 x 1 处 的 切 线 与 坐 标 轴 围 成 三 角 形 区 域 为 D(包 含 三 角 形 内 部 与 边 界 ) 。若 点 P(x， y)是 区 域 D 内 的 任 意 一 点 ， 则 x 2 y 的 取 值 范 围 是 。6 小 题 ， 共 计 90 分 ， 请 在 答 内 作 答 ， 解 答 时 应 写 出 文
43、字 说1答 案 ： 2, 210 、 设 D 、 E 分 别 是 ABC 的 边 AB 、 BC 上 的 点 ， 且 AD 12 AB , BE 23 BC 。 若DE 1 AB 2 AC ( 1 、 2 均 为 实 数 )， 则 1 + 2 的 值 为 。答 案 ： 1211、 已 知 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 。 当 x 0 时 ， f ( x) x2 4x ， 则 不 等 式 f ( x ) x 的解 集 用 区 间 表 示 为 。答 案 ： ( 5,0) (5, )12、 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 ， 椭 圆 C 的 方 程 为 xa22y
44、b22 1(a b 0) ， 右 焦 点 为 F， 右 准线 为 l ， 短 轴 的 一 个 端 点 为 B。 设 原 点 到 直 线 BF 的 距 离 为 d1 ， F 到 l 的 距 离 为 d2 。 若d2答 案 ：6d1 ， 则 椭 圆 C 的 离 心 率 为3 。313、 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 ， 设 定 点 A(a,a)， P 是 函 数 y 1x ( x 0) 图 象 上 的 一 动 点 。 若点 P、 A 之 间 的 最 短 距 离 为 2 2 ， 则 满 足 条 件 的 实 数 a 的 所 有 值 为 = 。答 案 ： 1, 1014、 在 正 项 等
45、比 数 列 an 中 ， a5 12, a6 a7 3 ， 则 满 足 a1 a2 an a1a2 an 的最 大 正 整 数 n 的 值 为答 案 ： 12 。二 、 解 答 题 ： 本 大 题 共明 、 证 明 或 演 算 步 骤15、 （ 本 小 题 满 分.14 分 ）题 卡 指 定 区 域已 知 向 量 a (cos ,sin ), b (cos ,sin ),0 。（ 1） 若 | a b | 2 ， 求 证 ： a b ；（ 2） 设（ 2） 设cc(0,1)， 若 a b(0,1)， 若 a bc ， 求c ， 求,的 值 。的 值 。 解 析 本 小 题 主 要 考 查 平
46、面 向 量 的 加 法 、 减 法 、 数 量 积 、 三 角 函 数 的 基 本 关 系 式 、 诱 导 公式 等 基 础 知 识 ， 考 查 运 算 求 解 能 力 和 推 理 论 证 能 力 。 满 分 14 分 。（ 1） 证 明 ： （ 方 法 一 ） 由 | a b | 2 ， 得 ： | a b |2 ( a b)2 2 ， 即 2a 22a b b 2 。又 a2 b2 2| a|2| b |， 1所 以 2 2a b 2， a b 0 ， 故 a b 。（ 方 法 二 ） a b (cos cos ,sin sin ),由 | a b | 22 ，得： | a b | ( a
47、 b)2 2 ， 即 ： (cos cos )2 (sin sin )2 2 ，化 简 ， 得 ： 2(cos cos sin sin ) 0 ，a b cos cos sin sin 0 ， 所 以 a b 。（ 2） a b (cos cos ,sin sin ), 可 得 ： cossincossin01(1)(2)（ 方 法 一 ） 由（ 1）得： cos cos( ) ，又 0 ， (0, ) ，故 。1代 入 （ 2） ， 得 ： sinsin， 又 0222（ 方 法 二 ）(1)(2) ,得 ： 2 2(cos cossin， 所 以sin)561,cos(,)6 。12 ，又
48、 0 ， 所 以 (0, ) 。 故 有 ： 23 ，23 代 入 （ 1） 式 ： cos(23 ) cos 0,化 简 ,得 : 12 cos32 sin 0, tan33 , 6. 从 而 56.（ 方 法 三 ） 两 式 和 差 化 积 ， 得 ：2cos2sin22coscos2201(3)(4)可 得 ：cos 2 0 ，又 0 ， 2 (0, ) ， 所 以 2 2 。代 入 （ 4） 式 ， 可 得 ： cos212 ， 又 2 (0, 2 ) ， 2 3 。以 上 联 立 ， 解 得 ： 56 , 6.16、 （ 本 小 题 满 分14 分 ）如 图 ， 在 三 棱 锥 S-ABC 中 ， 平 面 SAB平 面 SBC,AB BC ， AS=AB。 过 A 作 AF SB ，垂 足 为 F， 点 E、 G 分 别 为 线 段 SA、 SC 的 中 点 。求 证 ： （ 1） 平 面 EFG/平 面 ABC；（ 2） B
