1、研究圆锥曲线中的存在性问题 李老师1 / 17探究圆锥曲线中的存在性问题圆锥曲线是解析几何的核心内容，是中学数学的重点、难点，是高考命题的热点之一，各种解得到了很好的体现和充分的展示,尤其是在最近几年的高考试题中,平面向量与解析几何的融合,提高了解题方法在本章题目的综合性,形成了题目多变,解法灵活的特点,充分体现了高考中以能力立意的命题方向近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以押轴题的形式出现，主要考察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计 2010 年高考对本讲的考察，仍将以以下两类题型为主1
2、求曲线（或轨迹）的方程。对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力；2与圆锥曲线有关的最值（或极值）和取值范围问题，圆锥曲线中的定值、定点问题，探究型的存在性问题。这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、平面向量、函数、不等式、三角函数知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。存在性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件和结论不完备，要求学生结合已有的条件进行观察、分析、比较和概括，它对数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力有较高的要求，特别是在解析几何第二问中经常考到
3、“是否存在这样的点”的问题，也就是是否存在定值定点定直线的问题。今天，我就圆锥曲线中的存在性问题从五个方面给大家做一个分享，也希望能给大家带来一点点的启示。一、是否存在这样的常数例 1 （2007 宁夏理 19 题）在平面直角坐标系 中，经过点 且斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交xOy(02)， kl21xy点 和 PQ（I）求 的取值范围；k（II）设椭圆与 轴正半轴、 轴正半轴的交点分别为 ，是否存在常数 ，使得向量xyAB， k与 共线？如果存在，求 值；如果不存在，请说明理由OABk解：（）由已知条件，直线 的方程为 ，l2yx代入椭圆方程得 整理得 22()1xk 10kkx直
4、线 与椭圆有两个不同的交点 和 等价于 ，l PQ2284研究圆锥曲线中的存在性问题 李老师2 / 17解得 或 即 的取值范围为 2kkk2， （）设 ，则 ，12()()PxyQ， 1212()OPQxy，由方程， 1224k又 1212()ykx而 0)(1)ABA，所以 与 共线等价于 ，OPQ212()xy将代入上式，解得 k由（）知 或 ，故没有符合题意的常数 2k练习 1：（08 陕西卷 20） （本小题满分 12 分）已知抛物线 ： ，直线 交 于 两点， 是线段C2yx2ykxCAB， M的中点，过 作 轴的垂线交 于点 ABMN（）证明：抛物线 在点 处的切线与 平行；（）
5、是否存在实数 使 ，若存在，求 的值；若不存在，说明k0ABk理由解法一：（）如图，设 ， ，把 代入 得 ，21()x， 2()x， 2yx2yx20kx由韦达定理得 ， ，12kx2， 点的坐标为 4NMN248k，设抛物线在点 处的切线 的方程为 ，l2ymx将 代入上式得 ，2yx22048kx直线 与抛物线 相切，lC， 22 228()4mkkmk k即 lABxAy112MNBO研究圆锥曲线中的存在性问题 李老师3 / 17（）假设存在实数 ，使 ，则 ，又 是 的中点，k0NABANBMA1|2MNB由（）知 121212()()()4yykxkx4轴， MNx2216|8MN
6、kky又 2221211|()4ABkxxxA224)6kA，解得 222161684kk即存在 ，使 0NAB解法二：（）如图，设 ，把 代入 得221()()xx， ， ， 2ykx2yx由韦达定理得 20xk212k， 点的坐标为 ， ，124NMxkN48， 2yx4yx抛物线在点 处的切线 的斜率为 ， lklAB（）假设存在实数 ，使 k0AB由（）知 ，则2 21124848kNxNx， ， ， 22121kAB 221214461kxx12124kA研究圆锥曲线中的存在性问题 李老师4 / 172 21211214()464kkkxxxkxA2 2()223164kk，0， ，
7、解得 21k230k2k即存在 ，使 NAB练习 2.直线 与曲线 相交于 P、Q 两点。axy-=21xy-=（1 ） 当 a 为何值时， ；2PQa+（2 ） 是否存在实数 a，使得以 PQ 为直径的圆经过原点 O？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。解：（1）联立方程 ，221()430xyax-=-=得，即 ，22P ,Q,016()0aa-D=+-又 知 直 线 与 曲 线 相 交 于 两 点 可 得 62a0）,则该圆的方程为 (x-m)2+(y-n)2=8 已知该圆与直线 y=x 相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则 2nm=2 即 nm=4 又圆与直线切于原点，将点
8、(0，0) 代入得 ，m 2+n2=8 研究圆锥曲线中的存在性问题 李老师11 / 17联立方程和组成方程组解得 2nm， 故圆的方程为(x +2)2+(y-2)2=8(2) a=5，a 2=25，则椭圆的方程为 159xy+=其焦距 c= 95=4，右焦点为(4 ，0)，那么 OF=4。要探求是否存在异于原点的点 Q，使得该点到右焦点 F 的距离等于 O的长度 4，我们可以转化为探求以右焦点 F 为顶点，半径为 4 的圆(x 4) 2+y2=8 与(1) 所求的圆的交点数。通过联立两圆的方程解得 x= 5，y= 1即存在异于原点的点 Q( ， )，使得该点到右焦点 F 的距离等于 的长。三、
9、是否存在这样的直线例 4.（2007 湖北理 19） （本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 中，过定点 作直线与抛物线xOy(0)Cp，（ ）相交于 两点2xpy0AB，（I）若点 是点 关于坐标原点 的对称点，求 面积NANB的最小值；（II）是否存在垂直于 轴的直线 ，使得 被以 为直径的圆yllC截得的弦长恒为定值？若存在，求出 的方程；若不存在，说明理由 （此题不要求在答题卡上画图）解析：本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力解法 1：（）依题意，点 的坐标为 ，可设 ，N(0)p，12()()AxyB，直线
10、的方程为 ，与 联立得 消去 得 ABykxp2y2kp， 20xpk由韦达定理得 ， 12212于是 2ABNCANSSpx NOACByx研究圆锥曲线中的存在性问题 李老师12 / 1721211()4pxxx，48kpk当 时， 02min()ABNS（）假设满足条件的直线 存在，其方程为 ，lya的中点为 ， 与 为直径的圆相交于点 ， 的中点为 ，ACOlCPQH则 ， 点的坐标为 HPQ12xyp，22111()2A，11ypOaayp222PH 2 211()()4ayp，1()paya22()PQ 14()pya令 ，得 ，此时 为定值，故满足条件的直线 存在，其方程为 ，0p
11、aaPQl2py即抛物线的通径所在的直线解法 2：（）前同解法 1，再由弦长公式得22222111()448ABkxkxxkp ，p又由点到直线的距离公式得 21pdk从而 2 212ABNSdppk ，当 时， 0k2min()ABNS（）假设满足条件的直线 存在，其方程为 ，则以 为直径的圆的方程为lyaACNOACByxl研究圆锥曲线中的存在性问题 李老师13 / 17，11(0)()0xyp将直线方程 代入得 ，a21()0xapy则 21114()4()xpya设直线 与以 为直径的圆的交点为 ，lAC34PxyQxy，则有 341 1()2()2ppPQxaaa令 ，得 ，此时 为
12、定值，故满足条件的直线 存在，其方程为 ，02paPl2py即抛物线的通径所在的直线练习 1.已知双曲线方程为 ，问：是否存在过点 M(1，1) 的直线，使得直线与双曲线交于21yx-=P、Q 两点，且 M 是线段 PQ 的中点？如果存在，求出直线的方程，如果不存在，请说明理由。解：显然 x=1 不满足条件，设 .:()lykx-联立 和 ，消去 y 得 ，1()ykx-=-21=222()30kxkxk+-+-=由 0，得 k0 ）过M（2 ， ） ，N( 6，1) 两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E恒有两个交点A,B,
13、且 OAB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。解:（1）因为椭圆 E: 21xyab（a，b0）过 M（2， ） ，N( 6,1)两点,所以2416ab解得284所以2椭圆 E 的方程为2184xy（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且OAB,设该圆的切线方程为 ykxm解方程组 2184xykm得 22()8xk,即22(1)480kxm,则= 26(1)()0kk,即 20km1228xmk, 22221212112(8)48()()11kmkmkyxxkmx要使研究圆锥曲线中的存在性问题 李老师15 /
14、17OAB,需使 120xy,即22801mk,所以 2380mk,所以 238mk又 24k,所以2,所以 23,即 63m或 6,因为直线 ykx为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为 21mrk，22831rmk， 263r，所求的圆为 2xy，此时圆的切线 ykxm都满足 263或 263m，而当切线的斜率不存在时切线为 63与椭圆2184的两个交点为 (,)或 (,)满足OAB，综上，存在圆心在原点的圆 283xy，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且.【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题 ,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的
15、位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系五、是否存在这样的最值例 7 (2009 年浙江卷)已知椭圆 1C：21(0)yxab的右顶点为 (1,0)A，过 1C的焦点且垂直长轴的弦长为 研究圆锥曲线中的存在性问题 李老师16 / 17（I）求椭圆 1C的方程；（II）设点 P在抛物线 2：2()yxhR上， 2C在点 P处的切线与 1C交于点 ,MN当线段 A的中点与 MN的中点的横坐标相等时，求 h的最小值解析：（I）由题意得21,ba所求的椭圆方程为214yx， （II）不妨设212(,)(,)(,),xyNPth则抛物线 2C在点 P 处
16、的切线斜率为 2xty，直线 MN 的方程为 th，将上式代入椭圆 1的方程中，得22()40xth，即 22241()()40txx，因为直线 MN 与椭圆 1有两个不同的交点，所以有46ht，设线段 MN 的中点的横坐标是 3x，则21()xth， 设线段 PA 的中点的横坐标是4x，则12t，由题意得 34，即有2()0tt，其中的2()0,h或 h；当 3时有2,0，因此不等式4216()40tht不成立；因此 1h，当 时代入方程 (1)tt得 t，将 ,1代入不等式426()4tth成立，因此 h的最小值为 1掌握研究解析几何问题的基本方法近几年解析几何的考题在难度、计算的复杂程度
17、等方面都有所下降，突出对解析几何基本思想和基本方法的考查，重点要掌握解析几何的一些基本方法来解决问题，解析几何中解题的基本方法有解析法、待定系数法、变换法、参数法等方法课堂教学中选择例题要突出题目的普遍性，解题方法要具有代表性，即通性通法所以在复习时应做到:1牢固掌握圆锥曲线定义 圆锥曲线定义反映了圆锥曲线的本质属性，是构建有关知识网络的基础。同时，定义直接用于解题常常使一些看似很难解决的问题变得简单。 2重视基础知识，基本题型的复习 研究圆锥曲线中的存在性问题 李老师17 / 17（1）注意课本典型例题、习题的延伸 教材中的例题、习题虽然大多比较容易，但其解法往往具有示范性，可延伸性，适当地
18、编拟题组进行复习训练，有利于系统地掌握知识，融会贯通。如教材中题:“过抛物线 y2=2px 焦点的一条直线和抛物线相交，两个交点的纵坐标为 y1,y2，求证 y1y2=-p2。 ”给出的结论是关于抛物线焦点弦的一条重要性质，而其证明方法也是解决有关直线与圆锥曲线的位置关系问题的最基本最典型的方法。 （2）注意转化条件，优化解题方法 解析几何中有一些基本问题，如两直线垂直的证明、求弦的中点、弦长的计算等等，对这些问题的处理方法是熟知的。但有不少题目，所给的条件无法直接使用，或者使用起来比较困难，此时，可考虑对条件进行适当的转化，使解题过程纳入到学生所熟悉的轨道。3重视判别式的作用 有关直线与圆锥
19、曲线的位置关系问题，通常都是利用一元二次方程来解决的。其中，根的判别式往往起着关键的作用。4强化数学思想方法的训练和运用 （1）函数与方程思想 解析几何的研究对象和方法决定了它与函数、方程的“不解之缘” ，很多解析几何问题实际上就是建立方程后研究方程的解或建立函数后研究函数的性质。（2）分类讨论思想解析几何中，有些公式，性质是有适用条件的，解题时必须注意分类讨论、区别处理。例如直线方程的点斜式、斜截式中斜率必须存在，截距式只适用在两轴上的截距存在且不为零的情况，两点式不适用于与坐标轴垂直的直线。（3）数形结合思想解析几何的本质就是将“数”与“形”有机地联系起来，曲线的几何特征必然在方程、函数或不等式中有所反映，而函数、方程或不等式的数字特征也一定体现出曲线的特性。
