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类型2020版山东数学(文)大一轮复习课件:第四章 7-第七节 正弦定理和余弦定理 .pptx

  • 上传人:HR专家
  • 文档编号:6560498
  • 上传时间:2019-04-17
  • 格式:PPTX
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    2020版山东数学(文)大一轮复习课件:第四章 7-第七节 正弦定理和余弦定理 .pptx
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    1、第七节 正弦定理和余弦定理,1.正弦定理和余弦定理,2.在ABC中,已知a、b和A时,解的情况,3.三角形面积,教材研读,考点一 利用正、余弦定理解三角形,考点二 与三角形面积有关的问题,考点三 判断三角形的形状,考点突破,考点四 求解几何计算问题,教材研读,1.正弦定理和余弦定理,2.在ABC中,已知a、b和A时,解的情况,上表中,若A为锐角,则当absin A时无解;若A为钝角或直角,则当a b时无解.,3.三角形面积 设ABC的角A、B、C所对的边分别为a、b、c,其面积为S. (1)S= ah(h为BC边上的高). (2)S= absin C= acsin B = bcsin A.,1

    2、.判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比. ( ) (2)在ABC中,若sin Asin B,则AB. ( ) (3)在ABC的六个元素中,已知任意三个元素,可求其他元素.( ) (4)当b2+c2-a20时,三角形ABC为锐角三角形;当b2+c2-a2=0时,三角形ABC 为直角三角形;当b2+c2-a20时,三角形ABC为钝角三角形. ( ) (5)在三角形中,已知两边和一角就能求三角形的面积. ( ),答案 (1) (2) (3) (4) (5),2.在ABC中,若a=2,c=4,B=60,则b等于 ( ) A.2 B.12 C.2 D.28

    3、,答案 A 由b2=a2+c2-2accos B,得b2=4+16-8=12,所以b=2 .,A,3.在ABC中,化简bcos C+ccos B的结果为 ( ) A.a B.b C.c D. b,答案 A bcos C+ccos B=b +c = += =a.,A,4.在ABC中,已知b=40,c=20,C=60,则此三角形的解的情况是( ) A.有一解 B.有两解 C.无解 D.有解但解的个数不确定,答案 C 由正弦定理得 = , sin B= = = 1. 角B不存在,即满足条件的三角形不存在.,C,5.(2018课标全国,7,5分)在ABC中,cos = ,BC=1,AC=5,则AB=

    4、( ) A.4 B. C. D.2,答案 A 本题考查半角公式和余弦定理. cos C=2cos2 -1=2 -1=- ,BC=1,AC=5, AB= = =4 .故选A.,A,6.在ABC中,A=60,AC=4,BC=2 ,则ABC的面积等于 .,答案 2,解析 = ,sin B=1,B=90, AB=2,SABC= 22 =2 .,利用正、余弦定理解三角形 命题方向一 求边长,考点突破,典例1 (2018贵州贵阳模拟)在ABC中,内角A,B,C的对边a,b,c成公差 为2的等差数列,C=120. (1)求边长a; (2)求AB边上的高CD的长.,解析 (1)由题意得b=a+2,c=a+4,

    5、 由cos C= 得cos 120= , 即a2-a-6=0,a=3或a=-2(舍去),a=3. (2)解法一:由(1)知a=3,b=5,c=7,由三角形的面积公式得 absinACB= c CD,CD= = = ,即AB边上的高CD= . 解法二:由(1)知a=3,b=5,c=7,由正弦定理得 = = ,则sin A= , 在RtACD中,CD=ACsin A=5 = , 即AB边上的高CD= .,命题方向二 求角 典例2 (2018河北“五个一名校联盟”模拟)已知a,b,c分别是ABC的 内角A,B,C所对的边,且c=2,C= ,若sin C+sin(B-A)=2sin 2A,则A= .,

    6、答案 或,解析 在ABC中,由sin C+sin(B-A)=2sin 2A可得sin(A+B)+sin(B-A)= 2sin 2A,即sin Acos B+cos Asin B+cos Asin B-sin Acos B=4sin Acos A, cos Asin B=2sin Acos A,即cos A(sin B-2sin A)=0,即cos A=0或sin B= 2sin A. 当cos A=0时,A= ; 当sin B=2sin A时,根据正弦定理得b=2a,由c2=b2+a2-2abcos C,结合c=2,C= ,得a2+b2-ab=4, a= ,b= ,b2=a2+c2,B= ,A

    7、= . 综上可得,A= 或 .,方法技巧 应用正弦、余弦定理的解题技巧 (1)求边:利用公式a= ,b= ,c= 或其他相应变形公式求解. (2)求角:先求出正弦值,再求角,即利用公式sin A= ,sin B= , sin C= 或其他相应变形公式求解. (3)已知两边及其夹角或已知三边可利用余弦定理求解. (4)灵活利用式子的特点转化.如出现a2+b2-c2=ab形式用余弦定理,等式 两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.,1-1 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A, 则B= .,答案 60,解析 解法一:由正弦定理得2sin B

    8、cos B=sin Acos C+sin Ccos A,即sin 2B =sin(A+C),即sin 2B=sin(180-B),所以cos B= ,又0B180,所以B=60. 解法二:由余弦定理得2b =a +c ,即b=b,所以a2+c2-b2=ac,所以cos B= ,又0B180,所以B=60.,1-2 (2018河南郑州模拟)在ABC中,A、B、C的对边分别为a、b、c. 若2cos2 -cos 2C=1,4sin B=3sin A,a-b=1,则c的值为 .,答案,解析 在ABC中,由2cos2 -cos 2C=1, 可得2cos2 -1-cos 2C=0, 则有cos 2C+c

    9、os C=0,即2cos2C+cos C-1=0, 解得cos C= 或cos C=-1(舍), 由正弦定理及4sin B=3sin A,得4b=3a, 又a-b=1,所以a=4,b=3, 则c2=a2+b2-2abcos C=16+9-12=13, 则c= .,与三角形面积有关的问题,典例3 (2018河北承德质检)(一题多解)在ABC中,A=60,c= a. (1)求sin C的值; (2)若a=7,求ABC的面积.,解析 (1)在ABC中,A=60,c= a,由正弦定理得sin C= = = . (2)解法一:因为a=7,所以c= 7=3a. 又A=60,所以C60. 又由(1)知sin

    10、 C= , 所以cos C= = = .,由A+B+C=180可得B=180-A-C, 所以sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=sin 60 +cos 60 =. 所以ABC的面积S= acsin B= 73 =6 .,解法二:因为a=7,所以c= 7=3,由余弦定理得72=b2+32-2b3 ,解得b=8 或B=-5(舍去). 所以ABC的面积S= bcsin A= 83 =6 .,方法技巧 1.对于面积公式S= absin C= acsin B= bcsin A,一般是已知哪一个角就 使用哪一个公式. 2.与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理

    11、进行边和角的转 化.,2-1 在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B. (1)证明:A=2B; (2)若ABC的面积S= ,求角A的大小.,解析 (1)证明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B, 故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B, 于是sin B=sin(A-B). 又A,B(0,),故0A-B,所以B=-(A-B)或B=A-B, 因此A=(舍去)或A=2B, 所以A=2B. (2)由S= 得 absin C= ,故有sin Bsin C= sin 2B

    12、=sin Bcos B,因sin B 0,得sin C=cos B.,又B,C(0,),所以C= B, 即B+C= 或C-B= . 当B+C= 时,A= ; 当C-B= 时,A= . 综上,A= 或A= .,判断三角形的形状,典例4 (2018重庆六校联考)在ABC中,cos2 = (a,b,c分别为角A,B, C的对边),则ABC的形状为 ( ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形,答案 B,B,解析 因为cos2 = ,所以2cos2 -1= -1,所以cos B= , 所以 = ,所以c2=a2+b2,所以ABC为直角三角形.无法判断是 不是等

    13、腰三角形,故选B.,探究1 (变条件)将本例中“cos2 = ”改为“c-acos B=(2a-b)cos A”,试判断ABC的形状.,解析 因为c-acos B=(2a-b)cos A, 所以由正弦定理得sin C-sin Acos B=2sin Acos A-sin Bcos A, 又因为C=-(A+B), 所以sin Acos B+cos Asin B-sin Acos B=2sin Acos A-sin Bcos A, 所以cos A(sin B-sin A)=0,所以cos A=0或sin B=sin A, 所以A= 或B=A或B=-A(舍去),所以ABC定为等腰三角形或直角三角形.

    14、,探究2 (变条件)将本例中的“cos2 = ”改为“ = ,(b+c+a) (b+c-a)=3bc”,试判断ABC的形状.,解析 = , = ,b=c. 又(b+c+a)(b+c-a)=3bc, b2+c2-a2=bc, cos A= = = . A(0,),A= , ABC是等边三角形.,方法技巧 判定三角形形状的两种常用途径,提醒 判断三角形形状的3个注意点 (1)“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系; (2)“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱 导公式推出角的关系; (3)还要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形及直角三角形” 的区别.,3

    15、-1 在ABC中,cos = ,则ABC一定是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.无法确定,答案 A 由已知得cos2 = , 2cos2 -1=cos B,cos A=cos B, 又0A,B,A=B, ABC一定为等腰三角形.,A,3-2 设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则ABC的形状为 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定,答案 B 因为bcos C+ccos B=asin A,所以由正弦定理得sin Bcos C+ sin Ccos B=sin2A,所以sin(B+

    16、C)=sin2A.又sin(B+C)=sin A且sin A0,所以 sin A=1,所以A= ,所以ABC为直角三角形,故选B.,B,求解几何计算问题,典例5 (2018云南昆明调研)在ABC中,AC=2 ,BC=6,ACB=150. (1)求AB的长; (2)延长BC至D,使ADC=45,求ACD的面积.,解析 (1)由AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB, 得AB2=12+36-22 6cos 150=84, 所以AB=2 . (2)因为ACB=150,ADC=45,所以CAD=150-45=105, 由 = ,得CD= ,又sin 105=sin(60+45)=sin 60 cos 45+cos 60sin 45= ,所以CD=3+ ,又ACD=180-ACB= 30,所以SACD= ACCDsinACD= 2 (3+ ) = ( +1).,方法技巧 求解几何计算问题要注意 (1)根据已知的边角画出图形并在图中标示; (2)选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.,4-1 如图,在ABC中,B=45,D是BC边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB = .,答案,解析 在ACD中,由余弦定理可得 cos C= = , 则sin C= . 在ABC中,由正弦定理可得 = , 则AB= = = .,

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