1、第二节 充分条件与必要条件、 全称量词和存在量词,1.充分条件与必要条件,2.全称命题和特称命题,教材研读,考点一 充分条件、必要条件的判断,考点二 充分条件、必要条件的探求及应用,考点三 全称命题与特称命题,考点突破,1.充分条件与必要条件 (1)若pq,则p是q的 充分 条件,q是p的 必要 条件. (2)若pq,且q/ p,则p是q的 充分不必要条件 . (3)若p/ q,且qp,则p是q的 必要不充分条件 . (4)若pq,则p与q互为 充要条件 .,教材研读,(5)若p/ q,且q/ p,则p是q的 既不充分也不必要条件 . 提醒 不能将“若p,则q”与“pq”混为一谈,只有“若p,
2、则q”为 真命题时,才有“pq”.,2.全称命题和特称命题 (1)全称量词和存在量词,(2)全称命题和特称命题,知识拓展 充分、必要条件与集合的关系,1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”). (1)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件. ( ) (2)q不是p的必要条件时,“p/ q”成立. ( ) (3)写特称命题的否定时,存在量词变为全称量词. ( ) (4)“x0M,p(x0)”与“xM,p(x)”的真假性相反. ( ),答案 (1) (2) (3) (4),2.设p:x3,q:-1x3,则p是q的 ( C ) A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分
3、也不必要条件,答案 C 令A=x|x3,B=x|-1x3.BA,p是q的必要不充分条 件.故选C.,3.命题“x0R, -x0-10”的否定是 ( A ) A.xR,x2-x-10 B.xR,x2-x-10 C.x0R, -x0-10 D.x0R, -x0-10,答案 A 依题意得,命题“x0R, -x0-10”的否定是“xR,x2 -x-10”,选A.,4.(教材习题改编)命题p:x2=3x+4,命题q:x= ,则p是q的 条 件.,答案 必要不充分,解析 当x2=3x+4时,x=-1或4,当x=-1时,x= 不成立,即p/ q. 当x= 时,x0,3x+40,则x2=3x+4,即qp, 所
4、以p是q的必要不充分条件.,5.命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是 .,答案 存在两个全等三角形的面积不相等,6.若“x ,tan xm”是真命题,则实数m的最小值为 .,答案 1,解析 0x ,0tan x1,“x ,tan xm”是真命题, m1,实数m的最小值为1.,典例1 (1)(2018北京,4,5分)设a,b,c,d是非零实数,则“ad=bc”是 “a,b,c,d成等比数列”的 ( B ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,充分条件、必要条件的判断,考点突破,(2)(2019成都模拟)已知锐角ABC的三个内角分别为A,B
5、,C,则“sin A sin B”是“tan Atan B”的 ( C ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案 (1)B (2)C,解析 (1)本题主要考查充分条件与必要条件,等比数列的性质. 由a,b,c,d成等比数列,可得ad=bc,即必要性成立; 当a=1,b=-2,c=-4,d=8时,ad=bc,但a,b,c,d不成等比数列,即充分性不成立, 故选B. (2)因为ABC是锐角三角形,所以sin Asin B AB0tan Atan B, 所以“sin Asin B”是“tan Atan B”的充要条件,故选C.,方法技巧 判断充要条件的
6、常用方法 (1)定义法:直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假. (2)利用集合间的包含关系判断:若AB,则A是B的充分条件或B是A的 必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.,易错警示 判断充要条件需注意以下三点 (1)要分清条件与结论分别是什么; (2)要从充分性、必要性两个方面进行判断; (3)直接判断比较困难时,可举出反例说明.,1-1 (2019河北石家庄质量检测)已知p:-1x2,q:log2x1,则p是q成立的 ( B ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,答案 B 由log2x1,解得0x2,所以-1x2是log2x1的必要
7、不充分条 件,故选B.,1-2 设a,b是实数,则“ab”是“a2b2”的 ( D ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,答案 D ab不能推出a2b2,例如a=-1,b=-2;a2b2也不能推出ab,例如a =-2,b=1.故“ab”是“a2b2”的既不充分也不必要条件.,1-3 (2018天津,4,5分)设xR,则“ ”是“x31”的 ( A ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案 A 本题主要考查解不等式和充分、必要条件的判断. 由 得- x- ,解得0x1. 由x31得x1.当0
8、x1时能得到x1一定成立;当x1时,0x1不一定成 立.所以“ ”是“x31”的充分而不必要条件.,典例2 (1)(2019湖南湘东五校联考)“不等式x2-x+m0在R上恒定成 立”的一个必要不充分条件是 ( C ) A.m B.00 D.m1,充分条件、必要条件的探求及应用,(2)已知P=x|x2-8x-200,非空集合S=x|1-mx1+m.若“xP”是 “xS”的必要条件,则m的取值范围是 .,答案 (1)C (2)0,3,探究(变问法) 若本例(2)条件不变,问是否存在实数m,使“xP”是 “xS”的充要条件?并说明理由.,解析 不存在. 理由如下:若“xP”是“xS”的充要条件,则P
9、=S, 方程组无解, 不存在实数m,使“xP”是“xS”的充要条件.,方法技巧 根据充要条件求解参数范围的方法 解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件化为集合之间 的关系,然后根据集合之间的关系列关于参数的不等式(组)求解.,易错警示 求解参数的取值范围时,一定要注意对区间端点值的处理,尤其是利用 两个集合之间的包含关系求解参数的取值范围时,不等式中的等号能否 取得决定着端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.,2-1 使“a0,b0”成立的一个必要不充分条件是 ( A ) A.a+b0 B.a-b0 C.ab1 D. 1,答案 A 由a0,b0a+b0,反之不成立,而由a0
10、,b0不能推出a-b0, ab1, 1,故选A.,2-2 若“x2-x-60”是“xa”的必要不充分条件,则a的最小值为 .,答案 3,解析 由x2-x-60,解得x3. 因为“x2-x-60”是“xa”的必要不充分条件, 所以x|xa是x|x3的真子集, 即a3,故a的最小值为3.,典例3 (1)(2019陕西西安模拟)命题“x0, 0”的否定是( B ) A.x00,0x01 C.x0, 0 D.x0,0x1,命题方向一 含有一个量词的命题的否定,全称命题与特称命题,(2)命题“x0R,12 D.xR, f(x)1或f(x)2,答案 (1)B (2)D,解析 (1) 0,x1, 0的否定是
11、0x1,命题“ x0, 0”的否定是“x00,0x01”,故选B. (2)特称命题的否定是全称命题,则原命题的否定形式为“xR, f(x) 1或f(x)2”.,命题方向二 全称命题、特称命题的真假判断,典例4 (1)下列命题中的假命题是 ( B ) A.x0R,log2x0=0 B.xR,x20 C.x0R,cos x0=1 D.xR,2x0 (2)下列命题中的假命题是 ( B ) A.xR,ex0 B.xN,x20 C.x0R,ln x01 D.x0N*,sin x0=1,答案 (1)B (2)B,解析 (1)对于A,令x=1,成立;对于B,x=0时,不成立;对于C,令x=0,成立;对 于D
12、,根据指数函数的性质,成立.故选B. (2)对于B,当x=0时,x2=0,因此B中的命题是假命题.,命题方向三 根据命题的真假求参数,典例5 已知命题“x0R,2 +(a-1)x0+ 0”是假命题,则实数a的取 值范围是 ( B ) A.(-,-1) B.(-1,3) C.(-3,+) D.(-3,1),答案 B 原命的否定为xR,2x2+(a-1)x+ 0,由题意知,其为真命题, 即=(a-1)2-42 0,则-2a-12,即-1a3.,方法技巧,1.对全称命题与特称命题进行否定的方法 (1)改变量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义 加上量词,再对量词进行改变. (2)否
13、定结论:对原命题的结论进行否定.,2.全称命题与特称命题的真假判断的方法 (1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验 证p(x)成立;要判断全称命题是假命题,只要能找出集合M中的一个x=x0, 使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”). (2)要判断一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,至少能找到一 个x=x0,使p(x0)成立即可,否则,这一特称命题就是假命题. 提醒 因为命题p与p的真假性相反.因此无论是全称命题,还是特称 命题,当其真假不容易正面判断时,可先判断其否定的真假.,3-1 已知命题p:x0R,log2( +1)0,则 ( B )
14、 A.p是假命题;p:xR,log2(3x+1)0 B.p是假命题;p:xR,log2(3x+1)0 C.p是真命题;p:xR,log2(3x+1)0 D.p是真命题;p:xR,log(3x+1)0,答案 B 3x0,3x+11,则log2(3x+1)0,p是假命题.p:xR, log2(3x+1)0,故选B.,3-2 (2018东北三校联考)下列命题中假命题的是 ( C ) A.xR,log2x=0 B.xR,cosx=1 C.xR,x20 D.xR,2x0,答案 C 因为log21=0,cos 0=1,所以选项A、B均为真命题,02=0,选项C 为假命题,2x0,选项D为真命题,故选C.,3-3 已知命题“xR,x2-5x+ a0”的否定为假命题,则实数a的取 值范围是 .,答案,解析 由“xR,x2-5x+ a0”的否定为假命题,可知原命题必为真 命题,即不等式x2-5x+ a0对任意实数x恒成立.,故=25-4 a , 即实数a的取值范围是 .,设f(x)=x2-5x+ a,则由题意知其图象恒在x轴的上方.,
