1、1高等数学 I课程教学大纲(试用稿)课程代码： 适用专业：理科类学时数：180 学分数：10执笔人：刘 群 编写时间：2004 年 9 月一、课程的性质和目的高等数学课程是师范类大学各相关专业学生的一门必修的重要基础理论课，它为学生继续学习各专业课提供必要的数学基础知识，也为学生解决一些实际问题提供了有效的数学方法，同时，通过 180 学时的教学，逐步培养学生具有抽象概话问题的能力，较强的逻辑推理能力和较熟练的运算能力，从而提高综合运用所学知识去分析问题、解决问题的能力，为进一步学习后继专业课打下较好的基础。二、教学内容及要求第一章 函数与极限(讲授 16 学时,习题课 2 学时)（一）教学要
2、求1、理解函数、函数极限、无穷小与无穷大及函数的连续的概念。2、掌握极限的性质及运算方法，会利用极限存在的准则，两个重要极限、等价无穷小及函数的连续性计算极限。3、了解闭区间上连续函数的性质，并会运用。（二）教学内容重点：函数的概念、极限的概念、极限的性质及其运算，连续函数的概念。难点：复合函数、分段函数的概念、极限的概念1.1 映射与函数集合、映射、函数 1.2 数列的极限数列极限的定义、数列极限的性质1.3 函数的极限函数极限的定义、函数极限的性质 1.4 无穷小与无穷大1.5 极限运算法则 1.6 极限存在准则，两个重要极限1.7 无穷小的比较21.8 函数的连续与间断函数的连续性、函数
3、的间断点1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的和、差、积、商的连续性，反函数与复合函数的连续性初等函数的连续性1.10 闭区间上的连续函数的性质有界性与最大值、最小值定理、零点定理与介值定理一致连续性第二章 导数与微分(讲授 12 学时,习题课 2 学时)（一）教学要求1、理解导数、微分的概念、相互关系、物理和几何意义，理解可导与连续之间的关系，了解高阶导数的概念。2、会求平面曲线的切线方程和法线方程，掌握基本初等函数的求导公式，会求各种类型函数的导数，简单函数的高阶导数，分段函数的一、二阶导数，了解微分的不变性，会求函数的微分。（二）教学内容重点：导数的概念、微分的概念、导数的几
4、何意义和物理意义、初等函数微分法。2.1 导数概念导数的定义、导数的几何意义、函数可导性与函数连续性的关系2.2 函数的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则、反函数的求导法则、复合函数的求导法则、基本求导法则与求导公式 2.3 高阶导数2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率2.5 函数的微分微分的定义、微分的几何意义、微分公式及运算法则、微分在近似计算中的应用第三章 微分中值定理与导数的应用(讲授 18 学时,习题课 2 学时)（一）教学要求1、理解并会用微分中值定理2、掌握导数在判断函数的单调性、求极值、求最值、判断函数图象的各3种特征等方面的运用3、掌握洛必达法则、泰勒公
5、式4、了解曲率和曲率半径的概念，并会计算（二）教学内容重点：拉格朗日中值定理、泰勒公式、洛必达法则，函数增减性和凹凸性判别法、函数极值及其求法、最值问题。难点：中值定理、泰勒公式 3.1 微分中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理3.2 洛必达法则3.3 泰勒公式3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性及拐点3.5 函数的极值、最大值及最小值 3.6 函数图形的描绘3.7 曲率弧微分、曲率及其计算公式、曲率园与曲率半径、 *曲率中心计算公式、渐屈线与渐伸线3.8 方程的近似解第四章 不定积分(讲授 14 学时,习题课 2 学时)（一）教学要求1、理解原函数、不定积分的概念2、掌握不定积分的
6、基本公式、掌握不定积分的性质、换元积分法及分部积分法、会求有理函数、三角函数和简单无理函数的积分，会使用积分表。（二）教学内容重点：原函数、不定积分的概念、基本积分公式、换元积分与分部积分法4.1 不定积分的概念与性质4.2 换元积分法4.3 分部积分法4.4 有理函数的积分4.5 积分表的使用4第五章 定积分(讲授 12 学时,习题课 2 学时)（一）教学要求1、理解定积分的概念、性质2、理解变上限积分定义的函数，掌握牛顿莱布尼茨公式3、了解广义积分的概念，并会计算广义积分，会计算函数的平均值（二）教学内容重点：定积分概念。定积分中值定理，变上限定积分及其求导定理，牛顿莱布尼兹公式，定积分的
7、换元积分法及分部积分法。难点：定积分的概念、变上限定积分作为上限函数及其求导定理。5.1 定积分的概念与性质5.2 微积分基本公式变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系、积分上限的函数及其导数，牛顿莱布尼茨公式5.3 定积分的换元法和分部积分法5.4 反常积分5.5 反常积分的审敛法、部函数第六章 定积分的应用(讲授 6 学时)（一）教学要求理解定积分的元素法，掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积，平行截面面积为已知的主体体积，功、引力、压力） 。（二）教学内容重点：定积分的元素法、平面图形的面积、旋转体的体积、弧长、功。6.1 定
8、积分的元素法6.2 定积分在几何学上的应用平面图形的面积、体积、平面曲线的弧长6.3 定积分在物理学上的应用变力沿直张线所作的功、水压力、引力第七章 空间解析几何与向量代数(讲授 12 学时,习题课 2 学时)（一）教学要求1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示，掌握向量的运算，了5解两个向量垂直、平行的条件，理解单位向量、方向数与量向余弧、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。2、掌握平面方程和直线方程及其求法，会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。3会求点到直线的距离以及点到平面的距离4了解曲面方程和空间曲线方程
9、的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程，了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。（二）教学内容重点：向量概念，向量的坐标表达式及向量运算平面的点法式方程，直线的对称方程，曲面方程的概念，空间曲线一般方程和参数方式，空间曲线在坐标平面上的投影。7.1 向量及其线性运算向量概念、向量的线性运算、空间直角坐标系，利用坐标系作向量的线性运算，向量的模、方向角、投影。7.2 数量积、向量积、混和积7.3 曲面及其方程曲面方程的概念、旋转曲面、柱面、二次曲面7.4 空间曲线及其方程7.5 平面及其方程平面的
10、点法式方程、平面的一般方程，两平面的夹角7.6 空间直线及其方程空间直线的一般方程，空间直线的对称方程与参数方程、两直线的夹角，直线与平面的夹角第八章 多元函数微分法及其应用(讲授 16 学时,习题课 2 学时)（一）教学要求1、理解多元函数的概念、理解二元函数的几何意义，了解二元函数的极限与连续的概念及有界闭区域上连续函数的性质。2、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性，掌握多元复合函数一、二阶段的求法，会用隐函数的求导法则。3、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。64、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面积法平面的概
11、念，会求它们的方程。5、了解二元函数的二阶泰勒公式。6、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。（二）教学内容重点：多元函数的概念，偏导数与全微分的概念，偏导数的计算。难点：复合函数的高阶偏导数8.1 多元函数的基本概念平面与集、n 维空间、多元函数概念、多元函数的极限、多元函数的连续性8.2 偏导数偏导数的定义及计算方法、高阶偏导数8.3 全微分8.4 多元复合函数的求导法则8.5 隐函数的求导公式8.6 多元函数微分学的几
12、何应用空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线8.7 方向导数与梯度8.8 多元函数的极值及求法8.9 二元函数的泰勒公式第九章 重积分(讲授 10 学时,习题课 2 学时)（一）教学要求1、理解二重积分、三重积分的性质，了解二重积分的中值定理2、掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标） 。3、会求曲面的面积，求质心、重心转动惯量及引力。（二）教学内容重点：二重积分的概念和计算难点：重积分化为累次积分次序及积分上、下限的确定9.1 二重积分的概念与性质9.2 二重积分的计算法利用直角坐标、极坐标计算二重积分9.3 三重积分7三重积分的概念、三重
13、积分的计算（直角、坐标、柱面坐标、球面坐标）9.4 重积分的应用曲面的面积、质心、转动惯量、引力9.5 含参变量的积分第十章 曲线积分与曲面积分(讲授 10 学时,习题课 2 学时)（一）教学要求1、理解对弧长的和对坐标的曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及相互关系，掌握其计算方法。2、掌握格林公式，会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。3、了解两类曲面积分的概念、性质及相互关系，掌握计算两类曲面积分的方法，会用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、曲线积分。4、了解散度、旋转度，并会计算，会运用曲线、曲面积分求一些几何量与物理量。（二）教学内容重点：曲线积分与曲面积分的概念，
14、格林公式高斯公式。难点：曲面积分的计算10.1 对弧长的曲线积分10.2 对坐标的曲线积分10.3 格林公式及其应用10.4 对面积的曲面积分10.5 对坐标的曲面积分 10.6 高斯公式，通量与散度10.7 斯托克斯公式，环流量与旋度第十一章 无穷级数(讲授 16 学时,习题课 2 学时)（一）教学要求1、理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数和的概念，掌握级数的基本性质收敛的必要条件，几何级数数、P 级数的收敛与发散的条件、正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法、交错级数的莱布尼茨判别法、了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与收敛的关系。2、了解函数项级数的收
15、敛域及和函数的概念。理解幂级数收敛半径的概念，掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在收敛区间内的一些基本性质，会求幂级数在收敛区间内的和函数。83、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件，掌握ex、sinx、cosx 、In(1+x) 和(1+x) 的麦克劳林展开式。4、了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在 上的函,l数展开为傅里叶级数，会将定义在 上的函数展开为正弦级数与余弦级数会,0l写出傅里叶级数的和的表达式。（二）教学内容重点：级数收敛、发散的概念、正项级数比较审敛法与比值审敛法，幂级数收敛区间的求法，函数展开为幂级数。 （物理系学生包括傅里叶级数）11
16、.1 常数项级数的概念和性质11.2 常数项级数的审敛法正项级数及审敛法、交错级数及其审敛法、绝对收敛与条件收敛11.3 幂级数函数项级数的概念、幂级数及其收敛性、幂级数的运算11.4 函数展开成幂级数11.5 函数的幂级数展开式的应用近似计算、欧拉公式11.6 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质11.7 傅里叶级数11.8 一般周期函数的傅里叶级数第十二章 微分方程(讲授 16 学时,习题课 2 学时)（一）教学要求1、了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念，掌握可分离变量及一阶线性微分方程的解法。2、会解齐次微分方程，伯努力方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些
17、微分方程，会用降阶法解微分方程， y(n)=f(x),y=f(x,y) 和 y=f(y,y) 。3、理解线性微分方程解的性质及解的结构定理，掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。4、会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常数非齐次线性微分方程、会解欧拉方程。（二）教学要求重点：微分方程概念、通解、可分离变量方程，一阶线性方程、线性微分方程解的结构，二阶常系数微分方程。12.1 微分方程的基本概念12.2 可分离变量的微分方程12.3 齐次方程912.4 一阶线性微分方程线性微分方程、伯努力方程12.5 全微分方程12.
18、6 可降阶的高阶微分方程12.7 高阶线性微分方程12.8 常系数齐次线性微分方程12.9 常系数非齐次线性微分方程f（x）=e Pm(x)型、f(x)=e P1(x)Cos +Pn(x)sin 型xxxx12.10 欧拉方程12.11 微分方程的幂级数解法12.12 常系数线性微分方程组解法举例三、教学形式与安排高等数学课程的教学形式有：教师课堂讲授、学生自学，加强练习；教师与学生共同讨论，加强习题课，加强计算机辅助教学等方式，为在有限的 180学时的教学时数内，提高教学质量。成绩考核方式：以闭卷考试为主，平时作业评查计 30%。作业方面：学生通过做一定数量的习题，以达到掌握所学知识，提高分
19、析问题、解决问题的能力，以选择的同济大学应用数学系主编的教材为例，作业量应达到书中练习题量的百分之七十以上。四、建议使用教材与教学参考书目教材：同济大学主编高等数学节五版高等教育出版社 2002 年 7 月参考书目:（1）陈文灯高等数学辅导世界图书出版公司 2004 年 8 月（2）北京大学数学科学院高等数学辅导机械工具出版社 2002 年 9 月课程简介课程代码：课程名称：高等数学课程名称：Advanced Mathematics 适用专业：理科类 10授课时数：180 学时学 分：10 主要内容：高等数学是高等学校理科类专业重要的基础理论课程，它为后继相关专业课奠定必要的数学基础知识，其主要内容有函数与极限、导数与微分、中值定理与导数的应用，不定积分、定积分、定积分的应用空间解析几何与向量代数、多元函数微分法及其应用、重积分，曲线积分与曲面积分、无穷级数和微分方程。教 材：高等数学 （第五版）同济大学应用数学系主编，高等教育出版社。参考书目：（1）陈文灯高等数学辅导世界图书出版公司 2004 年 8 月（2）北京大学数学科学院高等数学辅导机械工具出版社 2002 年 9 月考核方式：闭卷考试
