1、Liaoning Normal University（ 2013 届 ）本 科 生 毕 业 论 文 (设 计 )题 目： 欧拉图在生活中的应用学 院： 数学学院专 业： 数学与应用数学班级序号： 11 班 22 号学 号： 20111122060022学生姓名： 陈旭指导教师： 张楠2013 年 5 月i目 录摘要 .1Abstract.1前言 .21 欧拉图问题提出的研究背景和定义.311 问题提出的研究背景 .312 定义 .32 欧拉图的判定定理和实例.421 欧拉图的判定定理 .422 欧拉图实例 .53 欧拉图的应用.831 中国邮递员问题及算法 .832 牛奶配送问题 .13参考文
2、献 .17致谢 .18第 1 页欧拉图在生活中的应用摘要：欧拉图起源于哥尼斯堡七桥问题，通过图中所有边一次且仅一次行遍图中所有顶点的通路称为欧拉通路，通过图中所有边一次并且一次行遍所有顶点的回路称为欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图。欧拉图在现实生活中有着较广泛的应用。本文主要介绍了欧拉图问题提出的研究背景、相关概念和常用的判定定理、判别法及算法以及欧拉图在生活中的实际应用例子。关键词：欧拉图；判定定理；算法；应用。Abstract: Euler graph originated in Konigsberg seven Bridges problem, all through the pic
3、ture edge once and only once traveled all the vertices in the graph of pathways called Euler path, all through the picture edge once and once traveled all vertices of Euler circuit. With Euler circuit diagram called Euler graph. Euler graph has a wide application in real life. Euler graph problem is
4、 mainly introduced in this paper puts forward the research background, related concepts and common decision theorem, Euler graph method and algorithm as well as practical application example in the life.Key words: Euler graph; Judgment theorem; Algorithm; Application.欧拉图在生活中的应用第 2 页前言图论是近 210 年来发展十分
5、迅速、应用比较广泛的一个新兴的数学分支，19 世纪末期，图论已经用来研究电网络方程组和有机化学中的分子结构；20 世纪中叶以后，借助于计算机，图论又用来求解生产管理、军事、交通运输、计算机以及通信网络等领域中的许多离散性问题，同时图论中的一些著名问题也借助于计算机科学、电子学、信息论、控制论、网络理论、社会科学和管理科学等领域中，因此受到全世界越来越广泛的重视。图论的内容十分丰富，涉及面也比较广。本文章所涉及的只是图论中的欧拉图的问题提出背景、一些基本定义、判定定理和生活中的应用。欧拉图是由哥尼斯堡七桥问题诞生的，讲述的是：18 世纪，普鲁士的哥尼斯堡城有一条贯穿全城的河流，河中有两个岛，有七
6、座桥将两岸与岛屿及岛屿之间连接，当时当敌人们热衷于一个难题：一个散布者怎样不重复地走完七桥，最后回到出发点。这个问题困扰了人们许多年，成千上万的人试过了，但都没有成功。这个问题引起了欧拉的注意，为了寻找答案，欧拉对此问题进行观察、思考和研究，终于解决了这一难题，就是我们现在学习的欧拉图的判定方法。最后讲述了欧拉图在生活中的应用问题，是本文的重要组成部分。运用欧拉图的相关定理来解决生活中的实际应用问题任重而道远，需要我们共同努力为国家贡献力量！欧拉图在生活中的应用第 3 页1 欧拉图问题提出的研究背景和定义11 问题提出的研究背景18 世纪，普鲁士的哥尼斯堡城有一条贯穿全城的河流（普雷格尔河）
7、，河中有两个岛，有七座桥将两岸与岛屿及岛屿之间连接，当时当敌人们热衷于一个难题：一个散布者怎样不重复地走完七桥，最后回到出发点。这个问题困扰了人们许多年，成千上万的人试过了，但都没有成功。这个问题引起了欧拉的注意，为了寻找答案，欧拉对此问题进行观察、思考和研究， “也许并不存在这样的走法？”为了证明自己的猜想，他首先考虑到了集合中的“列举法” ，但检验起来却十分麻烦，而且在同样的问题中，如果桥更多，那么“列举法”就无使用价值了，因此他放弃了这个方法，后来他改变了思考的角度，发现七桥问题仅仅涉及物体的位置关系，而与路程无关，于是他用点 、 表示岛屿，点 、ABC表示河的两岸，用连接两点的线表示桥
8、，这样就可以画出如图 1-1 所示的无向图，D这个问题就转化为“能否一笔画出该无向图且最后返回起点” 。哥尼斯堡城七桥问题是否有解，就相当于这个无向图是否存在经过图中每条边一次且仅一次的简单回路。我们知道，从某一个点出发最后又回到这个点，经过这一点的边的条数一定是偶数；经过中间的每一点，有进去的一条边，又有出来的一条边，因此，经过这些点的边的条数也是偶数。根据这个道理，我们可以看到图中经过每一点巧妙地解决了这个困扰人们多年但又十分有趣的问题。那这个方法也就成了我们现在学习的欧拉图的判定方法。图 1-112 定义定义1 图：图论中将图定义为一个偶对 ，其中 表示顶中点的集合， 是无EVG,E序组
9、集合 的一个子集合，集合 中的元素在 出现不止一次边的集合。分别V用 和 表示图 的顶点集合与边的集合。如果 和 都是有限集合，则GE GE称 为有限图，否则称为无限图。若 ，则称 为 阶图。nn定义 2 平凡图：只有一个顶点的图叫做平凡图。定义 3 关联：一条边的端点称为与这条边关联。定义 4 连通：设 是图 中的两个顶点，若 中存在一条 道路，则称顶点 和vu,Gvu, u是连通的。v定义 5 度：设 中与顶点 关联的边的数目，称为 （在 中）的度，记作 。vGvd欧拉图在生活中的应用第 4 页定义 6 回路：设 为图， 中顶点与边的交替序列 称为 到G210jjievlij0iv的通路，
10、若 ，则称通路为回路。 （若 的所有边各异，则称 为简单回路。 ）livloiiv G定义 7 通过图中所有边一次且仅一次行遍图中所有顶点的通路称为欧拉通路，通过图中所有边一次并且仅一次行遍所有顶点的回路称为欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图。定义 8 给定有向图 ，经过 中每边一次且仅一次的有向迹称为有向欧拉图；经过D中每边一次且仅一次的有向闭迹(回路)称为有向欧拉回路。D定义 9 含欧拉回路的无向连通图与含有向欧拉回路的弱连通有向图，统称为欧拉圈。定义 10 欧拉闭迹：经过图 的每条边恰好一次的闭迹。G定义 11 欧拉迹：经过每条恰好一次的迹。2 欧拉图的判定定理和实例21 欧拉图的判定
11、定理下面介绍欧拉图的一些判定定理：引理：设 一般图，如果它的每个顶点的度数都是偶数，则 的每条边都属于EVG, G一条闭迹，因而也属于一个圈。证明：利用下面的算法，可以找到一条包含任意指定边 的闭迹。在该算法101,x中，我们要构造一个顶点集 和一个边集 。WF求闭迹的算法i) 令 1iii) 令 0,xiii) 令 1Fiv) 当 时，执行0ia) 找出一个不在 中的边 。11,iixb) 将 放人 中（也许 已在 中） 。1ixWc) 将 放入 中。Fd) 令 。这样，经过 i)iii)步初始化以后，在算法中的，我们都要找到一条新边，它邻接于最后一次放入 中的顶点 ，再将 和 分别放入 和
12、11,iixWix1iiW中，并使 的值增 1.重复这个过程，直到最终又到达 为止。F 0假设只要 时，满足 iv)a)的一条边 总存在。设 的终值它为 ，所产生的0i1iik顶点集 ，边的多重集 ，于是，根据算法得到的kxW,1kF,就是包含初始边 的一条闭迹。因此，我们只需证明：如果 ，那么就k,1 1 0xi有一个不在 中的边与 邻接。正是在这里，用到了偶度次顶点的假设。i容易看到：算法中每步 iv)的 d)结束时，一般图 的每个顶点都具有偶FWH,度次，只有顶点 （它起始于奇度 1）和最新加入的顶点 （它的度数刚刚增加 1）可0x ix能除外。此外， 和 具有偶度次，当且仅当 ，因此，
13、如果 ，则 在一i ix0 0xii般图 中就具有奇度次。既然 在一般图 中具有偶度次，则必存在一个还不属于HixG欧拉图在生活中的应用第 5 页的边 与 邻接。所以，当算法结束时，必有 ，从而式F11,iixi 0xk是一条闭迹。k,1由于一条闭迹中的边可以被划分为圈，所以我们完成了引理的证明。定理 1 设 是一个连通一般图，则 中存在闭欧拉迹，当且仅当 中每个顶点的度数GGG是偶数。证明：我们已经观察到了：如果 中有一条闭欧拉迹，则 的每个顶点都具有偶度次。现在设 是一个连通一般图，且它的每个顶点都具有偶度次，我们选定 的21,EV 1任意一条边 ，并应用引理证明中给出的求闭迹的算法，求得
14、一条包含边 的闭迹 。 1令 是去掉 中属于闭迹 的边后得到的一般图，则 的所有顶点都具有22,112偶度次。如果 中至少含有一条边，则由于 的连通性， 中至少有一条边 与闭1G2迹 中的某个顶点 邻接，我们对 和边 应用算法求出一条包含边 的闭迹 。11z222现在我们把 和 在顶点 处拼接在一起，得到一条包含 和 的所有边的闭迹21 12。令 是 中去掉 的边后得到的一般图，如果 中至少含有一条21z33,EVG22 3E边，则它必有一条边 与闭迹 中的某个顶点 邻接，再对 和边 应用算法，1z2zG求得一条包含边 与闭迹 ，又将 和 在顶点 出拼接，得到一条包含 ，33213 1和 的所
15、有边的闭迹 。重复上述过程，直到所有的边都包含在一条闭迹23 21z中为止。因此，重复调用求闭欧拉迹的算法。kzz121定理 2 设 是一个连通的一般图，则 中存在一条开欧拉迹，当且仅当 中恰好有两GGG个奇度顶点 和 。此外， 中任均连接意一条开欧拉迹 和 。uv uv证明：首先，回忆定理（设 是一个一般图，则其所有顶点的度数之和是一个偶数，从而，其奇度顶点的个数也必为偶数。): 中奇度顶点ndd21的个数必为偶数。如果 中存在一条开欧拉迹，则它必连接 中的两个奇度顶点 和 ，uv而 中的其他顶点必是偶度次的（因为欧拉迹每次进入并离开一个不同于 和 的顶点时，使得与 邻接的边必成对出现） 。
16、现在假设 是连通的，且 恰好有两个奇度顶xx G点 和 ，令 是通过对 增加一条连接 和 的新边 而得到的一般图，则 是uvG uvvu, G连通的，且此时 的所有顶点都是偶度次的，因此，由定理 1， 中存在一条欧拉迹。我们可以把 看作起始与顶点 ，其第一条边是连接 和 的新边 的闭欧拉迹， vu,从 中去掉这条边，我们就得到了一条 中连接 和 的，且起始与顶点 的开欧拉迹。我们可以利用求 的一条闭欧拉迹的算法，得到求 的一个开欧拉迹的算法。定理 3 设 是一个连通一般图，并设 中奇度顶点的个数 ，则 的边可以被划G0m分为 个开迹，但不能被划分为少于 个开迹。2/m2/m定理 4 有向图 是
17、欧拉图当且仅当 是强连通的且每个顶点的入度都等于出度。G定理 5 有向图 是半欧拉图当且仅当 是单向连通的，且 中恰有两个奇度顶点，其G中一个的入度比出度大 1，另一个的出度比入度大 1，而其余顶点的入度都等于出度。定理 6 是非平凡的欧拉图当且仅当 是连通的且为若干个边不重的圈之并。22 欧拉图实例例 1 设 是给定正整数，由 个圈组成一个（有向或无向）图，最少要添加的几条边kk欧拉图在生活中的应用第 6 页使之成为欧拉图？图 2-1解答：在无向图中，假设如果有 2 个圈，不重合，加上最少的边成为欧拉图，即在这2 个圈之间加 2 条平行边（如图 2 所示） 。因为圈中每个点的度数是 2，已经
18、符合欧拉图的条件，如果再添加边必须在一个顶点上再加两条边与其相邻的顶点连接（如图 3所示） ，这样才能使之符合欧拉图的每个顶点的度均为偶数的条件。于是，可以想象， 个圈k可以假设成 个点，要使 个独立点成为图，即在这 2 个圈之间加 2 条方向相反的边，kk因为圈中每个点的度数是 2（1 入 1 出） ，已经符合欧拉图的条件，必须在一个顶点上再加两条方向相反的边与其相邻的顶点连接，这样才能使之符合欧拉图的每个顶点的度均为偶数且出度等于入度的条件。于是，可以想象， 个圈可以假设成 个点，要使kk个独立点成为图，那么最少必须加上 条边且方向相同才能使之成为欧拉图。k k例 2 验证一个连通的线的网
19、络，能够无折回地走通时，则网络中的奇度顶点要么为0，要么为 2。解答：在计算机领域中，网络就是用物理链路将各个孤立的工作站或主机连在一起，组成数据链路，从而达到资源共享和通信的目的。网络是在物理上或和逻辑上，按一定拓扑结构连接在一起的多个结点和链路的集合。这里如果我们把工作站和主机都看做是结点，链路看做是边的话，那么连通的网络就是判断有没有欧拉通路的网络，结合欧拉图的判定定理，每个结点的度都是偶数或只有奇度顶点（其它点的度都为偶数） ，才能构成欧拉通路。所以一个连通的线的网络，能够无折回地走通时，网络中的奇度顶点个数要么为 0，要么为 2，具有可信性和可执行性。例 3 设 是欧拉图，但 不是平
20、凡图，也不是一个环则G2G证明：只需证明 中不肯能有桥（如何证明？）图 2-2 图 2-3欧拉图在生活中的应用第 7 页上图中，图 2-2，图 2-3 两图都是欧拉图，均从 点出发，如何一次成功地走出一条欧A拉回路来？例 4 多米诺骨牌 28 块，能否排成一圈使两两相邻的半边的点数相同，问是否可能？解答： 种287C例 5 “两只蚂蚁比赛问题” 。两只蚂蚁甲、乙分别处在图 中的顶点 处，并设图中Gba,各边长度相等。甲提出同乙比赛：从它们所在顶点出发，走过图中所有边最后到达顶点 处。如果它们速度相同，问谁最先到达目的地？c解：图 中，有两个奇度顶点 ，因此存在从 到 的欧拉通路，蚂蚁乙走到 只
21、要Gcb,bcc走一条欧拉通路，边数为 9，蚂蚁甲要想走完图中所有边到达 ，至少要先走一条边到达 ，再走一条欧拉通路，故它至少要走 10 条边到达 ，所以乙必胜。b图 2-4例 6 下面图中谁是欧拉图？谁是非欧拉图但存在欧拉迹？谁是非欧拉图且不存在欧拉迹？图 2-5 图 2-6 图 2-7解：图 2-5 是欧拉图；图 2-6 是非欧拉图，但存在欧拉迹；图 2-7 中不存在欧拉迹。例 7 证明：若 和 是欧拉图，则 是欧拉图。GHHG证明：首先证明：对任意 ，有：Vvu,vudd,事实上，设 是 的任意一个邻点，一定有 的一个邻点 ，反之亦然。同z vz,理，对于 的任意一个邻点 ，一定有 的一
22、个邻点 ，反之亦然。即： 在vw,w, vu,乘积图中邻点个数等于 在 中邻点个数与 在 中邻点个数之和。u所以， ， 是欧拉图，那么 顶点度数为偶数。GHHG其次证明： 是连通的。)(甲a)(乙bc欧拉图在生活中的应用第 8 页HGVvu21,由于， ， 都是欧拉图，所以都连通。设最短的 路最短的 路分别为：GH21,u21,v21xk ym那么，由乘积图的定义：在乘积图中有路： 221211 , yvuvxu mk这样，我们证明了 是连通的且每个顶点度数为偶数。即它是欧拉图。3 欧拉图的应用31 中国邮递员问题及算法中国邮递员问题中国邮递员问题，是我国梅谷教授于 1960 年首先提出而得名
23、。设邮递员从邮局出发，遍历他所管辖的每一条街道，将信件送到目的地后返回邮局，要求所走的路径最短。当然如若他所管辖的街道构成一欧拉回路，则这欧拉回路便是所求路径。如若不然，即存在度数为奇数的顶点，必然有些街道需要多走至少 1 遍，这时用中国邮路问题算法可求出最短路径。现将中国邮路问题用图论的语言描述如下：设 是连通图，而且对于所有的 ，都赋以权 ，求从点 出EVG,Ee0ecVv发，通过所有至少一次最后返回 点的回路 ，使得 达到最小。vCCe不失一般性，假定图 存在度数为奇数的顶点，如若不然，存在一条欧拉EVG,回路，它就是所求的邮路。我们可以设想，有些边添加若干次使得到的图的所有顶点的度数均
24、为偶数，即 为欧拉图，问题导致求 图的欧拉回路，aaEV, aGaG但图 不再是简单图，它具有平行边，设 边重复了 次，去掉偶数条后，仍保Ge2k持各顶点的度数为偶数，即所得到的图仍是欧拉图。为使总数 达到最小，我们Cec不妨假定每条边重复数目不超过 1。仍使邮路达到最短，也就是要求重复边的长度达到最短。设 是所求的重复边的集合，使 达到最小，对于任一简单回路EEecW，可分解为与 相交的部分 ，及其余 。CCE定理 7 设 是使 达到最小的重复边集合，当且仅当对于 图的任ec aG一回路 ，恒有 。W证明：必要性。如若不然，假定存在 使，EWE这意味 部分的权超过其余 部分的权，令 即ECC EC。也可作为重复边使 图成为欧拉图。这里 是对称差。显然， 可使图 的所有顶GG点保持其度数为偶数，由于假定，ECeECec故
