1、函数基本性质一、函数单调性的常用结论：1、若 均为某区间上的增（减）函数，则 在这个区(),fxg ()fxg间上也为增（减）函数2、若 为增（减）函数，则 为减（增）函数()f ()fx3、若 与 的单调性相同，则 是增函数；若 与xg()yfg()fx的单调性不同，则 是减函数。()g()yfgx4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。二、函数奇偶性的常用结论：1、如果一个奇函数在 处有定义，则 ，如果一个函数0x(0)f既是奇函数又是偶函数，则 （反之不成立）()yfxx2、两
2、个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。3、一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。4、两个函数 和 复合而成的函数，只要其中有一个是偶()yfu()gx函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。5、若函数 的定义域关于原点对称，则 可以表示为()fx()fx，该式的特点是：右端为一个奇11()()22f fx函数和一个偶函数的和。函数的基本性质复习教学目标：函数的三个基本性质：单调性，奇偶性，周期性教学过程一、单调性1定义：对于函数 ，对于定义域内的自变量的任意两个值)(xfy，当 时，都有 ，那么就说函数2,x21x )()(2121
3、 xffxf或在这个区间上是增（或减）函数。)(fy2证明方法和步骤：（1） 设元：设 是给定区间上任意两个值，且 ；21,x 21x（2） 作差： ；)(ff（3） 变形：（如因式分解、配方等） ；（4） 定号：即 ；0)(0)(2121 xffxff或（5） 根据定义下结论。3二次函数的单调性：对函数 ，cbxaxf2)()(a当 时函数 在对称轴 的左侧单调减小，右侧单调0a)(xf增加；当 时函数 在对称轴 的左侧单调增加，右侧单调)(xf abx2减小；例：讨论函数 在(-2,2)内的单调性32axf()4复合函数的单调性：复合函数 在区间 具有单调性)(xgfy),(ba的规律见下
4、表： )(ufy增 减 xg增 减 增 减 )(xfy增 减 减 增 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。例：函数 的单调减区间是 （ ）32xyA. B. C. D.,(),11,(),15函数的单调性的应用：判断函数 的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域） 。)(xfy例 1：奇函数 在定义域 上为减函数，且满足)(xf)1,(，求实数 的取值范围。0)(2af a例 2：已知 是定义在 上的增函数， ，且 ，)(xf,01)2(f，)(yxyf（1）求 ；（2）满足 的实数 的范围。)4(,f )3()(xff x二、奇偶性1定义：如果对于 f(x)定义域内的
5、任意一个 x,都有 ，那么函数)(xfff(x)就叫偶函数；如果对于 f(x)定义域内的任意一个 x,都有 ，那么函数 f(x)就)(xff叫奇函数。2奇、偶函数的必要条件：函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。若函数 为奇函数，且在 x=0 处有定义，则 ；)(xf 0)(f3判断一个函数的奇偶性的步骤先求定义域，看是否关于原点对称; 再判断 或 是否恒成立。)(xff)(xff例：判断函数 的奇偶性。21)f例:设 是 上的奇函数，且当 时， ，求当)(xfR)0,(x)1()3xf时 的解析式。,0例 3：已知：函数 定义在 R 上，对任意 x，yR，有)(xf且 。()(yfxf
6、2y0)(f(1)求证： ；(2)求证： 是偶函数；1)0x例 4：判断下列函数的奇偶性：（1） 11)(2xxf（2）例 5：设函数 的定义域为 ，且对任意的)(xfy,0,D都有 。 （1）求 的值；（2）判断Dx21, )(2121xff )(f的奇偶性，并加以证明。)(xf课后专练1.若 的定义域为 R，对任意 有 = ,当)(xf Rba,)(baf)(bf时 且0a1)2(f(1)判断 在 R 上的单调性； （2）若 ，求 的)(xf 2)3()2xff x取值范围。2.已知函数 在 上递增，那么 的取值范围是582axy),1a_.3.设函数 为 R 上的增函数，令)(xf )2()(xfxF（1） 、求证： 在 R 上为增函数；（2） 、若 ，求证F 021F2x
