1、第 37 卷第 9 期 煤 炭 学 报 Vol37 No92012 年 9 月 JOURNAL OF CHINA COAL SOCIETY Sep 2012文章编号: 0253 9993( 2012) 09 1466 06煤粒瓦斯放散数学模型及数值解算秦跃平，王翠霞，王 健，杨小彬( 中国矿业大学( 北京) 资源与安全工程学院，北京 100083)摘 要: 为了研究煤粒瓦斯的解吸和放散规律，设计了煤粒瓦斯解吸实验，得到不同粒径煤样在不同初始压力条件下累积解吸量随时间变化的实测曲线 。根据达西定律，建立煤粒瓦斯放散的数学模型，运用有限差分法对数学模型进行处理，利用 Visual Basic 语言
2、编制计算机程序对数学模型进行解算，得出煤粒内部瓦斯压力变化规律和煤粒内不同压力下的累积解吸量 。通过对比模拟结果和实验结果，得出瓦斯从煤粒中放散出来符合达西定律 。关键词: 煤粒; 瓦斯; 解吸; 放散; 数学模型; 数值解算中图分类号: TD712. 6 文献标志码: A收稿日期: 2012 06 21 责任编辑: 张晓宁基金项目: 国家重点基础研究发展计划( 973) 资助项目( 2011CB201202)作者简介: 秦跃平( 1964) ，男，山西夏县人，教授 。E mail: qyp_0127163. comMathematical model of gas emission in c
3、oal particles andthe numerical solutionQIN Yue-ping， WANG Cui-xia， WANG Jian， YANG Xiao-bin( Faculty of Resources Safety Engineering， China University of Mining Technology ( Beijing) ， Beijing 100083， China)Abstract: In order to study the law of gas desorption and emission， a desorption experiment o
4、f coal particles in differ-ent sizes under different initial pressures was designed And the measured curves of gas desorption accumulated amountwith the change of time were obtained According to Darcy law， the paper also built the mathematical model of gasemission which was disposed with finite diff
5、erence method The visual Basic language was used to solve and caculatethe mathematical model The variation regulation of gas pressure in the inter coal particle and the accumulative desorp-tion quantity at different pressure are finally obtained Through comparing the simulation results and experimen
6、t re-sults， the conclusion shows that the gas emission from the coal particles corresponds to Darcy lawKey words: coal particles; gas; desorption; emission; mathematical model; numerical solution在我国煤矿重特大事故中，瓦斯事故所占比重最大 。研究煤中瓦斯解吸和放散规律，对于认识煤层瓦斯流动机理，计算煤的瓦斯含量变化及采落煤瓦斯涌出量，预测煤与瓦斯的突出，确定瓦斯抽采参数等都有重要意义 。煤是一种多孔介
7、质，当煤体内瓦斯气体存在压力梯度时，瓦斯在煤体中会发生运移与扩散，而该过程是个复杂的过程 。国内外学者对此开展了大量的研究工作 。田智威等 1 3综述了目前国内外提出的一些有关瓦斯流动或运移的微观模型，主要有纯扩散模型和纯渗透模型 。纯扩散模型认为瓦斯在煤层中的流动服从 Fick 扩散定律，而纯渗透模型认为煤层气在煤层中的流动服从线性达西渗透定律 。富向等 4认为构造煤在应力降低或解除时，瓦斯运移规律用菲克定律描述比达西定律更合理 。陈富勇等 5 7认为韧性变形煤的微孔隙比较发达，所以韧性变形煤以Knudsen 扩散为主，脆性变形煤的中 、大孔隙所占比例较大，而且脆性变形煤的孔隙之间具有很好的
8、连通性，所以脆性变形煤以 Fick 型扩散为主，脆 韧性变形煤以及接近脆 韧性变形煤的脆性变形煤和韧性变形煤均以过渡型扩散为主 。谢全等 8 12通过试验验证低渗透岩芯单相渗流符合达西定律，多孔介质壁第 9 期 秦跃平等: 煤粒瓦斯放散数学模型及数值解算面与流体的作用并不能导致单相渗流的非线性和启动压力梯度 。杨清岭等 13 15对煤层瓦斯流动的规律进行了研究，认为线性渗透理论适用于低雷诺数区 、线性层流区域; 线性扩散理论适用于煤的微孔隙和煤体表面; 渗透 扩散理论适用于含有裂隙和微孔隙的煤体; 非线性渗透理论适用于中雷诺数区，非线性层流区域 。虽然国内外学者对瓦斯在煤体的运移与扩散规律研究
9、较多，但至今还没有形成一个统一的认识 。为了更准确地描述瓦斯解吸和放散规律，笔者进行煤粒瓦斯解吸实验，编制计算机程序对瓦斯放散进行模拟解算，并将模拟结果与实验结果进行对比，为研究煤粒瓦斯放散规律以及进一步研究煤矿现场瓦斯涌出规律和煤与瓦斯突出机理提供参考 。1 煤粒瓦斯解吸实验实验系统主要由通气装置 、温度控制系统 、等温吸附系统和数据采集与处理系统 4 部分组成 。首先样品罐抽真空后加入瓦斯，使煤样进行充分吸附，吸附达到平衡后进行解吸实验，此次实验取 4 个压力点，即吸附平衡后样品罐内瓦斯压力分别为 0. 55，1. 05， 2. 05， 4. 05 MPa。在各个实验压力点下，放空参考罐中
10、的瓦斯，然后导通样品罐和参考罐，连续操作直至样品罐中压力达到 0. 1 MPa 左右 。计算机采集与处理系统每秒钟记录一组罐内瓦斯压力，依此计算实验过程中的瓦斯累积解吸量 。实验所用 4 种煤样的粒径见表 1。在不同的初始压力下，进行瓦斯解吸实验，得到 4 种煤样在 4 种不同初始压力下累积解吸量随时间变化的实测曲线，分析实验数据，发现解吸量倒数与时间开方的倒数之间存在良好的线性关系，其线性相关度达到 0. 99 以上 。实验表明，不同粒径的煤样在不同压力下瓦斯解吸规律存在良好的一致性，只是相关的参数不同 。由于篇幅所限，本文只分析 4 号煤样的实验结果 。表 1 煤样粒径Table 1 Pa
11、rticle size of coal samples煤样 目数 粒径 /m1 4 5 4 000 4 7502 15 16 1 000 1 1803 30 35 425 5504 50 60 250 270图 1， 2 为 4 号煤样在初始压力为 0. 5 MPa 下累积解吸量随时间变化的实测曲线以及解吸量倒数与时间开方的倒数关系曲线 。通过对不同压力下实验结果分析，得到该煤样瓦斯的朗格缪尔吸附常数 a 为26 m3/t， b 为 0. 3 MPa1。图 1 4 号煤样累积解吸量随时间变化的实测曲线( 0. 5 MPa)Fig. 1 Measured curve of the gas des
12、orption accumulated amountand time evolution of No. 4 coal sample ( 0. 5 MPa)图 2 4 号煤样解吸量倒数与时间开方倒数关系曲线( 0. 5 MPa)Fig. 2 Relationship curve between desorption amount reciprocaland time reciprocal of No. 4 coal sample( 0. 5 MPa)2 煤粒瓦斯放散数学模型的建立煤是一种多孔介质，影响煤粒瓦斯放散的因素较多，为了简化问题，找出影响其放散规律的几个主要因素，作如下假设:( 1) 煤
13、粒为各向同性均质多孔介质，其孔隙率和透气性系数均匀一致且不受煤粒内部瓦斯压力变化的影响 。( 2) 在分析过程中主要考虑煤粒内部的吸附瓦斯，而忽略微孔隙中游离瓦斯，瓦斯含量可表示为Q =abp1 + bp( 1)式中， p 为煤粒内部瓦斯压力， MPa; Q 为单位质量煤粒瓦斯含量， m3/t。( 3) 瓦斯放散过程中温度保持不变 。( 4) 瓦斯压力和密度的变化满足理想气体状态方程 。( 5) 瓦斯在煤体中的流动为层流运动 。目前众多学者都认为微孔隙中的瓦斯流动服从菲克定律，即瓦斯流动速度与瓦斯含量梯度成正比，但鲜见文献予以充分的证实 。事实上由于瓦斯含量中以吸附瓦斯7641煤 炭 学 报2
14、012 年第 37 卷为主，而吸附瓦斯处于相对静止中，几乎不参与流动 。瓦斯在煤粒中的流动以游离瓦斯运动为主，因此其流动速度与瓦斯含量没有直接关系，而与压力梯度成正比，即符合达西定律:u = K!p ( 2)式中， u 为瓦斯流速， m/s; K 为煤层的渗透率， m2; 为瓦斯黏性系数， MPas; !p 为瓦斯压力梯度， MPa/m。若把流过的瓦斯量转化为压力 pn=0. 101 325 MPa、温度为煤层温度 T 时的体积流量，则式( 2) 可改成为q = k !P ( 3)式中， q 为瓦斯比流量， m3/( m2s) ; k 为透气系数，m2/( MPa2s) ， k = K/2pn
15、; P 为平方瓦斯压力， P =p2， MPa2。根据质量守恒定律，在一定时间内，煤粒流动场中的任一控制体积单元内，流入该体积和流出该体积的质量差等于该控制体积单元本身瓦斯质量的增加量，得Qt= !( gu) ( 4)式中， t 为时间， s; g为瓦斯的密度， kg/m3; !为哈密顿算符 。将式( 1) 和式( 3) 代入式( 4) ，并根据理想气体状态方程，可得到瓦斯放散方程 。为使问题简单化，设煤粒为球形，并将直角坐标转化为球坐标，其放散方程为a1 + 1槡( )/b Pt= k1r2rr2 P( )r( 5)初始条件:t = 0， P = P0= p20边界条件:r = 0，Pr=
16、0r = R， P = PW= p2w式中， r 为煤粒圆心到煤粒上任意一点的距离， m; R为煤粒半径， m; p0为煤粒内部初始瓦斯压力， MPa; pw为煤粒外部空间的瓦斯压力， MPa; 为煤的密度， t/m3。3 有限差分法计算模型偏微分方程( 4) 为球坐标下一维非稳态方程，本文采用有限差分法进行计算 。如图 3 所示，从球心到球面由各个节点将半径划分成 N 段( 图中实线) ， 0，1， 2， ， N 为节点编号 。考虑到压力 、瓦斯含量 、渗流速度等参数在球心处的变化小于球面附近的变化，节点间距采用等比变化，从球心到球面节点间距逐渐减小 。以两个相邻节点的中点做同心球面( 图中
17、虚线) ，可将整个煤球划分成若干个球壳和一个中心小球 。差分方程的建立可根据上述微分方程，将微商变差商而得出，也可以采用质量守恒定律根据图 3 中各球壳的质量平衡来建立 。图 3 球坐标系下节点划分示意Fig. 3 Dividing schematic diagram of pitch points inspherical coordinate system下面简要分析采用质量守恒定律建立差分方程的过程 。除了中心小球和外表面节点 N 所在的球壳外，其余球壳的内外层表面均为两个节点之间的中心点球面 。每个球壳表面的瓦斯流速和流量可根据达西定律由两个节点的压力表示 。对于第 i 个球壳，内部包含
18、节点 i，球壳里侧面流进的瓦斯量为4kPni1 Pni2+Pn1i1 Pn1i( )2ri ri1ri1+ ri( )22球壳外侧面流出的瓦斯量为4kPni Pni+12+Pn1i Pn1i+1( )2ri+1 riri+1+ ri( )22球壳内部单位时间内瓦斯的减少量即瓦斯解吸量为43ri+1+ ri( )23ri1+ ri( )2 3ab21 + bPni+ Pn1i槡( )22Pni+ Pn1i槡2Pn1i Pnit其中，下标 i 1， i， i +1 为节点编号; 上标 n 1 和 n为时间节点编号; t 为第 n 个时间步长 。根据质量8641第 9 期 秦跃平等: 煤粒瓦斯放散数
19、学模型及数值解算守恒，得到煤球内部瓦斯非稳态流动的差分方程为kPni Pni+12+Pn1i Pn1i+1( )2ri+1 riri+1+ ri( )22kPni1 Pni2+Pn1i1 Pn1i( )2ri ri1ri1+ ri( )22=13ri+1+ ri( )23ri1+ ri( )2 3ab21 + bPni+ Pn1i槡( )22Pni+ Pn1i槡2Pn1i Pnit( i = 1， 2， ， N 1) ( 6)0 节点所在的控制体为小球体而非球壳，其差分方程为kPn0 Pn12+Pn10 Pn112r1r1( )22=13r1( )23ab21 + bPn0+ Pn10槡( )
20、22Pn0+ Pn10槡2Pn10 Pn0t( 7)据边界条件: r = R 时， P = PW，得PN= PW( 8)由式( 6) ( 8) 构成了以 N 个第 n 时刻节点压力平方为未知量的完备方程组 。给出一个时间步长及上一时刻的压力，就可计算下一时刻的压力 。依此，可计算出任意时间煤球内的瓦斯压力 。考虑到瓦斯放散速度随时间延长而递减，计算的时间步长，采用等比步长，逐渐增大，这样可在保障计算精度的前提下，节省计算时间 。式( 6) ，( 7) 中等式右边为第 n 时刻节点压力平方的非线性表达式，因此须采用迭代方法求解 。其迭代方法为设 Pni= Pn 1i，计算出根号下的数值，得到拟线
21、性方程组并求解得到一组解，再由求得的解计算出根号下的数值，再次求解拟线性方程组并求解得到一组新解 。依此递推，直到两次计算解的相对误差小于某一微小值为止 。在求得各时刻瓦斯压力平方后，煤球 t 时间段内瓦斯解吸量为Q = 4R2tkPnN1 PnNrN rN1( 9)煤球瓦斯累积解吸量为各个时间段解吸量之和 。4 程序设计根据以上建立的有限差分计算模型和相应的边界条件，运用 Visual Basic 语言设计和编制了计算机程序，程序结构流程如图 4 所示 。图 4 程序结构流程Fig. 4 Flowchart of program structure5 解算结果及其与实验结果对比分析5. 1
22、煤粒内瓦斯放散方程的解算结果取煤粒的半径为 0. 27 mm，瓦斯吸附参数取实验结果分析得到的值: a 为 26 m3/t， b 为 0. 3 MPa1， 为 1. 2 m3/t，通过试算得到煤粒的透气性系数为 1 105m2/( MPa2s) 。分别解算得出在不同初始瓦斯压力下，当外部压力为一个标准大气压时，在不同时间点煤粒内部瓦斯压力分布和煤粒内部瓦斯解吸量 。( 1) 煤粒内部瓦斯压力的变化规律 。运用 VB 编制的程序解算得出煤粒内部在不同时间点 、不同节点处瓦斯压力变化曲线，瓦斯初始压力不同时，得到的瓦斯压力变化曲线类似，图 5 为初始压力为 4 MPa 时煤粒内部瓦斯压力变化曲线
23、。由图 5 可以看出，在解吸开始时，煤粒外边界处的瓦斯压力首先开始降低，随后带动煤粒内部瓦斯压力降低，随着时间的推移，煤粒内部压力变化速率变9641煤 炭 学 报2012 年第 37 卷图 5 煤粒内部瓦斯压力变化曲线Fig. 5 Change curves of gas pressure in coal particle缓，瓦斯压力逐渐接近外部空间压力 。( 2) 煤粒内不同压力下瓦斯累积解吸量 。运用 VB 编制的程序解算得出同一粒度 、不同压力下煤粒内部瓦斯解吸量，煤样粒度不同时，得到的瓦斯累积解吸量变化曲线类似，图 6 为 4 号煤样不同压力下煤粒内瓦斯累积解吸量 。图 6 4 号煤样
24、不同压力下煤粒内瓦斯累积解吸量Fig. 6 Accumulative gas desorption amount of No. 4 coalparticles under different pressure由图 6 可以看出，煤粒内瓦斯压力越大，煤粒的瓦斯吸附量越大，故解吸出来的瓦斯量越多，瓦斯解吸速度也越大 。随着时间的延长，煤粒内部瓦斯逐渐解吸出来，煤粒内外压差逐渐减小，其解吸速率也逐渐变缓 。5. 2 实验结果与模拟结果对比分析根据实验所得结果和数值模拟得到的煤粒中瓦斯的累积解吸量，通过 Excel 处理，得到在不同初始压力条件下的模拟累积解吸量与实验累积解吸量的对比，图 7 为 4
25、号煤样不同初始压力条件下的模拟累积解吸量与实验累积解吸量的对比 。为了清楚表示起始阶段数值模拟结果与实验结果的对比，绘制了各初始瓦斯压力条件下实验与模拟解吸量倒数与时间开方倒数的关系对比图( 图 8) 。由图 8 可以看出，实验和数值模拟结果都证实，在外部压力保持不变的条件下，煤粒瓦斯累积解吸量的倒数与时间开方成很好的线性关系 。由以上分析可以看出，通过对球坐标下的瓦斯放散方程进行模拟得到的累积解吸量与实验得到的累图 7 4 号煤样不同初始压力条件下的模拟累积解吸量与实验累积解吸量的对比Fig. 7 Comparison of simulative and experimentaldesorp
26、tion accumulated amount of No. 4 coalparticles under different pressure图 8 4 号煤样各初始压力条件下实验与模拟解吸量倒数与时间开方倒数的关系对比Fig. 8 Comparison of experimental and simulativedesorption amount reciprocal and time evolution reciprocal ofNo. 4 coal particles under different initial pressure积解吸量拟合度比较高，从而证实了瓦斯在煤粒内部微孔隙中的
27、流动符合达西定律 。6 结 论( 1) 对恒温解吸实验数据进行处理，得到煤样在4 种不同初始压力下累积解吸量随时间的变化曲线，结果表明累积解吸量的倒数与时间开方的倒数成很好的线性关系 。( 2) 建立了瓦斯在球向上的放散模型，运用有限差分对其进行计算，用 VB 语言编制了计算机程序，对煤粒瓦斯放散方程进行求解 。( 3) 选用实验煤样的基本参数，进行了模拟计算 。通过对比，发现模拟结果与实验结果契合度比较高，从而得出瓦斯在煤粒中的流动符合达西定律 。参考文献: 1 田智威 . 煤层气渗流理论及其研究进展 J 地质科技情报，2010， 29( 1) : 61 64Tian Zhiwei Rese
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