1、 创立于 1989 年 五星级名校冲刺第一品牌教之以简 用之为丰 1 / 15秋季 vip 学科优化教案 第 3 讲 教学部主管： 时间：2016 年 月 日辅导科目 奥数 就读年级 六 教师姓名 张岚课 题 速算与巧算授课时间 2016.10.7 备课时间 2016.9.30教学目标 1、掌握速算与巧算的方法，提高学生的计算能力和思维能力； 2、选用合理、灵活的计算方法，简便运算过程，化繁为简，化难为易，使计算又快又准确。3、理解提公因式即分配律的逆运算4、掌握“裂项”计算技巧重、难点 1、计算方法的选择2、计算仔细程度3、裂项计算技巧的应用教学内容 运算律回顾：加法交换律：a+b=b+a
2、乘法交换律：ab=ba加法结合律：a+b+c=a+(b+c） 乘法结合律：abc=a(bc)创立于 1989 年 五星级名校冲刺第一品牌教之以简 用之为丰 2 / 15减法的性质：abc=a(b+c) 乘法分配律：a(b+c)=ab+ac除法的性质：abc=a(bc) 提取公因数：这个方法等同于课内所学的乘法分配律的逆运算。一般情况下，用提取公因数法解决的题目有两个特征。一、要有“公因数” （共同的因数） ，如果是“疑似”公因数（例如 38 和 3.8或者 38 和 19）我们可以借助下面几个方法对它进行加工。ab=(a10)(b10) c= a abc=a(bc)abc2、要有互补数。 裂项
3、的计算技巧：“裂 差 ”型 运 算分 数 裂 项 裂 和 型 运 算整 数 裂 项 知识点一：提公因数法题型一、直接提取：例 1：计算 3101-6.3【思路导航】把算式补充完整，6.3101-6.31，学生就很容易看出两个乘法算式中有相同的因数 6.3。省略“1”的写法，同学要看的出。创立于 1989 年 五星级名校冲刺第一品牌教之以简 用之为丰 3 / 15【解答】原式=6.3（101-1）=6.3100=630【随堂练习】13 +86 0.25+0.62586 +86 0.1254195159例 2：计算 7.8161.45+3.142.184+1.697.816【思路导航】观察整个算式
4、的过程中，你有没有发现局部的公因数呢？将局部进行提取公数计算，看看会发生什么事情？【解答】原式=7.816（1.45+1.69）+3.142.184=7.8163.14+3.142.184 （这里是不是可以继续提取公因数了呢）=3.14（7.816+2.184）=3.1410=31.4总结： 在加减乘除混合运算中，先观察有无公因数。如果没有，有无局部的公创立于 1989 年 五星级名校冲刺第一品牌教之以简 用之为丰 4 / 15因数，有局部公因数的题目往往可以进行二次提取 。【随堂练习】计算 81.515.881.551.867.618.5【变式训练】计算 8.11.381.31.91.3+1
5、1.91.3 题型二、有疑似公因数，变化后再提取：例 3：36.16.8+4860.32【思路导航】本题直接计算不是好办法。经验告诉我们，这道题一定可以提取公因数。可是，公因数在哪呢？这里就需要我们构造！本题中 6.8 和 0.32 是不是可以变成“补数”呢？【解答】原式=36.16.8+48.6 3.2创立于 1989 年 五星级名校冲刺第一品牌教之以简 用之为丰 5 / 15=36.16.8+（36.1+12.5 ）3.2=36.1（6.8+3.2）+12.5 3.2=36112.580.4=361+40=401总结：当题中出现“补数”或某些数可以化为“补数”时，要注意去凑公因数。【随堂练
6、习】计算 3 25 +37.965225【变式训练】计算 20.1113+201.15.5+20110.32创立于 1989 年 五星级名校冲刺第一品牌教之以简 用之为丰 6 / 15 知识点二：计算三大技巧裂项常见的裂项 一般是将原来的分数分拆成两个分数或多个分数的和或差，使拆分后的项可以前后抵消或凑整 。这种题目看似结构复杂，但一般无需进行复杂的计算。一般分为分数裂项和整数裂项，其中 分数裂项 是重要考点。例 4、计算：166 41120【思路导航】我们如果找到一个数能被 41 整除，那么想想 166 中是否包含120这样的一个数呢？显然我们要对 166 进行拆分。将它拆分成 164+2
7、，刚好120164 能被 41 整除。 （拆分可以看成简单的裂项）【解答】原式=（166+2 ）41120=16441+ 414=4+2 120=4创立于 1989 年 五星级名校冲刺第一品牌教之以简 用之为丰 7 / 15【随堂练习】54 1725【变式训练】19981998 198思考：公式推导：同学们都知道，在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算 例如： = ，这里分母 3、4 是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘1342积，把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式： 11nn(+)()= (1)n创立于 1989 年 五星级名校冲刺第一品
8、牌教之以简 用之为丰 8 / 15= 1()n即 或者1()11()nn下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题 知识点二：计算技巧之“裂项”一、分数裂项“裂差”型运算题型一：当分母上是两个数乘积的形式，分子可以表示分母上这两个数的差，则可以进行裂项。例 5：计算 + + +12314190【思路导航】分母是相邻两数之和，那么我们可以运用上面所推导的公式进行拆分【解答】原式= 11111()+()()()+()()23459890=109 创立于 1989 年 五星级名校冲刺第一品牌教之以简 用之为丰 9 / 15【随堂练习】计算 1110234950【变式训练】计算 111+47092
9、0（提示：每个分数的分子为 1，分母是 3 的两个自然数的乘积，因此可将每个分数拆成两个分数的差，结果扩大三倍，那么我们将这个差缩小三倍才能作恒等变形。 ）总结： 将 分拆成两个数的差时，不要忘记乘以 ，这样才是恒等变形。1()nd 1d题型二：当分母上是几个数的乘积形式，分子可以表示为头尾两个因数的差，创立于 1989 年 五星级名校冲刺第一品牌教之以简 用之为丰 10 / 15则可以进行裂项。思考：公式推导：例如将 进行恒等变形。234114623分母 6 和 12 分解质因式之后为（2,3）和（2,2,3 ）那么我们可以将它重新组合成三个相邻数相乘，此时分母扩大了 2 倍，要想分数的大小
10、不变，则分子也要扩大两倍。因此 121=23434234或则有公式： k1()()()2)nnknk例 6：计算 11+2343546【思路导航】我们已经学会了将分数为两个数相乘的分数拆分成两个分数相减的形式，同样的道理我们也可以将分母为三个数相乘的分数拆分成两个分数之差，且同样使得一些分数相抵消，从而达到简便计算的效果。分母是连续的三个自然数相乘，且第一个数与第二个数相差 2，而分子是 1，必须将分子变为 2 才能裂项，分子变为 2，要使分数大小不变，分数值必须乘以 。12创立于 1989 年 五星级名校冲刺第一品牌教之以简 用之为丰 11 / 15【解答】原式=1111( )2343546
11、2=()56=14302= 7【随堂练习】 222+345469810例 7：计算 （逆向运用题型）111+620342567【思路导航】对于多个不同分数单位相加的计算题，我们一般试着把分母转化成两数相乘的形式，然后尝试用裂项法来解决。要注意整个过程中都是形式变化而值不变。【解答】原式= 111+2345689创立于 1989 年 五星级名校冲刺第一品牌教之以简 用之为丰 12 / 15=1-1111+2345689=1-9=8【随堂练习】 11+2460236504二、分数裂项“裂和”型运算当分母上是两个数的乘积的形式，分子可表示为分母上这两个乘积的和，则可以进行裂和。例如： 53+21=+32例：计算 167创立于 1989 年 五星级名校冲刺第一品牌教之以简 用之为丰 13 / 151、计算 111+35759352、计算 53.535.5+53.543.2+78.546.5创立于 1989 年 五星级名校冲刺第一品牌教之以简 用之为丰 14 / 153、计算 361.09+1.267.34、计算 123+35710创立于 1989 年 五星级名校冲刺第一品牌教之以简 用之为丰 15 / 15计算： 3657913+2042
