1、文登考研高等数学笔记研究对象：函数。研究方法：极限研究思想：以不变代替变，消除误差取极限研究内容：微积分：（一元函数微积分）通过 空间解析几何转化为（多元函数微积分）以及其实际应用 ；应用：无穷级数和常微分方程；一元函数微积分：一元函数微分学（函数、极限和连续） 、 （导数与微分） 、通过中值定理4 个这座桥实现（导数与微分的应用）+ 积分学（不定积分） 、 （定积分及反常积分） 、 （应用）维数增加多元函数微积分：微分学：（函数、极限和连续） 、 （偏导数，全微分） 、 （二元函数泰勒公式【未考过】 ） 、 （极值应用）+积分学： 重积分（二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分） 、 （重积
2、分应用） 、 （无穷区域上的二重积分【可能在概率统计二维随机变量考】 ）注：一元函数微积分与多元函数微积分学之间的联系与差别。课程讲解部分函数、极限、连续一、 函数1. 概念：x 属于 I，有 f=f（x）对应法则后，y 属于 D；定义域、y=f（x ） ，y=f（+）表示同一函数关系、由实际问题所建立的函数【重点】2. 性质奇偶性：y=f(x),x 属于（-t，t） ，偶函数图像关于 y 轴对称，y=f(x)=f(-x);奇函数图像关于原点对称，y=f（-x）=-f(x);注：1、f(x)=1/2f(x)+f(-x)+1/2f(x)-f(-x)2、奇偶性在求导，积分中的应用周期性：存在 T0
3、,f(x+T)=f(x),则 f（x）周期为 T 的周期函数注：周期性在求导函数特性以及积分中的应用。增减性：若 x1f(x2)，单调减;注意大于等于，小于等于的情况注：1.函数的增减性与讨论的区间有关。2.利用导数的符号判定增减性（后讲）3.增减性是证明不等式的一个重要工具（后讲）4.有界性，若存在 f(x),对任意的 x 属于 I，存在 M0,使得|f(x)|= -M5.单调增有上界，单调减有下界；有界与讨论的定义域区间有关，可与求函数的最大值和最小值，极大值、极小值相关联起来。3函数的分类1.反函数；y=f(x) x=f-1(y) 存在性：为单调函数注：y=f(x) 和 x=f-1(y)
4、是同一个图形，代表同一条曲线， y=f(x)和 y=f-1(x)是关于一三象限角平分线对称的3. 基本初等函数(*)指数函数、对数函数、三角函数，反三角函数要求必须要求对这积累函数的定义域、值域、特性要非常清楚。列： y=e1/x2arctan (x2+x+1)/(x-1)(x-3)的垂直渐近线有几条？解：垂直渐近线是无穷间断点对应的。有 x定值时。Y 无穷。这里需要注意的是：因为 arctan x 是基本初等函数有界的。没有无穷间断点。故这里只有一条垂直渐近线。4. 复合函数；y=f(u),u=g(x),则 y=fg(x)是复合函数，并非任意两函数均可复合，且考研考将复合函数拆成多个函数，即
5、：复合函数的求导。5. 初等函数；经过有限次四则运算或者复合构成；6. 参数方程 x=x(t),y=y(t)；得出 y=y(x)【2010 考了参数方程求导】7. 隐函数，F（x,y）=0；这里与微分方程可联系起来。8. 分段函数【*】每年必考；包括 4 类：考求导、积分、解微分方程（1）分段定义的函数（2）y=|f(x)|等形式（3）y=maxf(x),g(x);x 属于a,b 等分段定义形式（4）y= f(x) 取整函数二、 极限1.定义：数列极限、函数极限定义，看懂书中例题即可。2000 年之后没考过注： 是任意的，、N 存在、不唯一，=(),N=N()等价于存在 0, 对任意的 N0，
6、可以找到某个 nN,使得|Xn-A|=lim极限由变化过程【对自变量而言，N 和 】以及变化趋势【对函数而言 】例如：lim+1+12+错解：消除无穷大因子；即可分子分母同除 X2 即可，结果为 2.【但是结果是错的，因为没考虑变化过程，x0(A0【f(x)()()()2A f(a)不存在B f(a)存在，但不为 0C a 为 f（x）的极大值点D a 为 f（x）的极小值点分析： =10，则一定存在 a 的去心邻域，在其内，有lim()()()20,即 f(x)f(a),故 a 为极小值点。()()()2注：如果 f(x)在 x=X0 及其附近有定义，f(x)0(0()= 0（3）局部有界性
7、：f(x)极限存在，在 X 的某一去心邻域，则 f(x)有界.例如：y=f(x)= 在下述哪个区间有界？Atansin(2)(1)(2)2A（-1,0） B（0,1） C(1,2) D(2,3) 6.无穷小的比较, 若lim()=0lim()=0, lim()()=,则（1） k ,且 k 为常数，称 f(x),g(x)为同阶无穷小；0（2） k=1，则称 f(x),g(x)为等价无穷小，f(x) ()注：等价无穷小具有 f(x) ；f(x) = g(x) ;以及，翻身性，对称() () ()性传递性（3） k=0 时，f(x)是比 g(x)高阶的无穷小，即 f(x)=o(g(x)（4） k=
8、无穷大；f(x)是比 g(x)低阶无穷小注：若 存在 f(x)是 g(x)的 t 阶无穷小。lim()()=0,则无穷小与函数之间的关系；若 limf(x)=A，则 f(x)=A+；其中 lim （x）=0;利用无穷小的等价求极限。7.两个重要极限(1) (夹逼定理) lim0sin=1推广：lim ? =0;则 lim ； 型；学会配分母。凑?=1 00成重要极限形式；需要注意常见的几个等价无穷小(2) 均可lim(1+1)= lim0(1+)=推广： 1形式若 lim ?=0;则 lim (1+?)1?=三、 连续1. 定义等价定义定义 1，设 f(x)在 X0 及其附近有定义， y 的增
9、量 =f(X0+ )-f(X0),若 ,则称 f(x)在 X0 点连续。lim0=0定义 2：若 ,称 f(x)在 x=X0 点连续。 【 极限值等于函数值】lim 0()=(0)注：（1） 则 f(x)在 X0 点左连续。 则lim 0()=(0) lim 0+()=(0)f(x)在 X0 点右连续。（2）若 f(x)在（a,b）内点点都连续，则称 f(x)在此区间内都是连续的。（3）若 f(x)在（a,b）内连续，在 x=a 右连续，在 x=b 左连续，则函数 f(x)在a,b上连续2.连续函数的运算注：基本初等函数在其定义域内都是连续的。初等函数在定义区间内连续，在定义的点不一定连续；如
10、：y=arc sin(x 2+1),在 x=0 不连续【因为在 0 附近没有定义】2. 间断点【不连续的点】F(x)在 x=x0 连续， 意味着：lim 0()=(0)（1）f(x)在 x0 处有定义（2） 存在lim 0()（3） 等于函数值 f(x0)lim 0()如果 f(x)在 x0 处有以上三条至少有一条不成立，则那么 x0 称为 f(x)的间断点；注：间断点的分类：x0 为间断点1.若 f(x0-0)，f(x0+0)存在，则 x0 称为第一类间断点；特别的；若 f(x0-0)=f(x0+0) f(x0)，称 x0 为可去间断点；若 f(x0-0) f(x0+0)， 称 x0 为跳跃
11、间断点2. 若 f(x0-0)，f(x0+0)至少有一个不存在，则属于第二类间断点。Y=sin1/x：在 x=0 处是震荡型间断点，y=1/x 在 x=0 处是无穷间断点。注：无穷间断点在求垂直渐近线、反常积分中的应用。 。例如：设 y= 的无穷间断点有：32211+12解：化简为 y= 有 1 个间断点，x=-1,因为当2（ +1）(1)(+1)1+2x-0 时极限是存在的。4.闭区间上连续函数的性质。设 y=f(x)在a,b上连续，则：【一定是闭区间上的】(1) y=f(x)在a,b上必有最大值和最小值。即存在 x1,x2 属于a,b，对任意的 x 属于a,b，有 f(x)=f(x1)。最
12、大值和最小值是唯一的，但是取得最大值和最小值的点是不唯一的。若最大值和最小值相等，则为常数函数。(2)介值定理：f(x)必能取得介于最大值和最小值之间的一切值。注：1、闭区间上的连续函数一定是有界的。因为有最大、小值2、f(x)在a,b上连续，f(a)f(b)=0A，若 xn 发散，则 yn 必发散B若 xn 无界，则 yn 必有界C若 xn 有界，则 yn 必为无穷小D若 无穷小，则 yn 比为无穷小1解析：可举例说明选项即可。, ,故 D 对。lim1=03.证明 （a0）存在=!证明：1.单调有界。2.夹逼定理Yn= = ; 则存在 N0,使得 nN 时，!=1(1)!1 =0,即 nN
13、 时，yn0，故 0 为下界，故极限存在。且极限为 0；单调有界数列必有极限适用于有递推公式的数列。 。 。4.求（ 12+1+ 12+2+ 12+3+ 12+）解：利用夹逼定理；+( +1 ) 1( 11 313)解：（1）分子有理化；=+ （ +1+） = + 11+1+112(2)通分化简即可。 11+2313= 1(1)+(1)(+1)(1)(1+2) = 1+11+2=11解：通分化简即可得答案： 例：在 x 2+tan2+sin30 1420+时，与 等价的无穷小是：BA1 B. C. D.1- ln1+1 1+1 cos常用等价无穷小【 】 ln(1+x) 等价于 x； 1、 （
14、 1+） 、已知 ,则 a 为（C） 1(1)0 =1A、 0 B 、1 C 、2 D 、3 解： 11+=0 lim01(1)+=lim0(+)=1+=1,=2例：已知 求 a0（ +2） =8,解：拆底数；0（ 1+3） 33=3=8;故 =ln2注：00+11+11+0+11+11+=当 m=n 时，结果：00当 nm 时，结果： 当 n0)至少有一正根，且不大于 a+b.证明：令 f(x)= x-asinx-b，则 f(x)在0,a+b上连续，而且有：f(0)=-b0,有 f(0)f(a+b)()存在，）有界。， +证明： 存在 ，()= 0，当 |时 ()有界设|f(x)|0=0(0
15、+)(0) 存在x=x0 处可导，且极限值称为 f(x)在 x=x0 的导数；记为，f(x0)、|=0.注：等价定义： ;(0)= 0()(0)0单侧导数：f_ (x0)= ; f+ (x0)=0()(0)0;0+()(0)0F(x0 存在 f_(x0)=f+(x0).导函数 f(x)在（ a,b）内点点可导对应的新函数，则导函数 f(x)。2. 几何意义：y=f(x)曲线在某点处切线的斜率。 。F(x0)存在，则切线方程 y=f(x0)+f(x0)(x-x0); ,若函数不可导，在曲线在改点处任有切线的可能【尖点】 。可导切线一定存在。 。3 可导与连续的关系：可导必连续，但连续不一定可导。
16、典型例子：y=|x|,在 x=0 处连续，但不可导，切线也不存在。可导： 即： ;0=(0),则 =(0)+ =(0)+ 0=0则 ()在 =0连续注：（1 ） 设 f(x)在 x=0 及其附近有定义，f(0)=0,且。lim0(1) 存在， 证 明 ()在 =0处 可 导证明： 存在则， 存在，0 (0+1)(0)1 1 0 (0+1)(0)1故 f(x)在 x=0 处可导。（2） 设 f(x)在 x=0 及其附近有定义，且 f( )存在，且 f(0)=0,问 f(x)在lim01221x=0 处是否可导？解：这个极限 f( )存在只能保证 f+(0)存在，因为lim012210 恒成立。只
17、能反映 0+的趋向214 求导法则：（四则运算法则）略5、反函数求导y=f(x)， x=f-1(y).dy/dx=1/dx/dy;即：反函数的导数等于原函数导数的倒数 。6.复合函数求导。一层一层求导。链式求导法。7.参数方程的导数。X=x(t),y=y(t),dy/dx=dy/dt dt/dx=y(t)/x(t)8.隐函数求导。 【复合函数求导思想；将 y 看成 X 的函数，是一个中间变量。 。 】注：基本求导公式要熟记。二、 高阶导数【导数的导数】三阶导数以上的导数为高阶导数注：（1）按定义求 f（x）= = ,三阶导数0(0+)(0) 0()(0)0以此类推(2)反函数的二阶导数x= 则 【错误】 x= 【正确】1 =2 1则 =21（3）参数方程的二阶导数x=x(t) =()() 22=()()()()()2 1()y=y(t) (4) 的一般表达式()()Sinx, cosx,ln(1+x), .以及莱布尼茨公式【略】 三、 微分1.定义注：（1）可微与可导的关系 【可导必可微，二者等价,且 A=f(xo)】可微: y=A +o( ); =+()lim0=(0)可导： y=f(x0) +o( )lim0=(0)=(0)+, 求微分：dy=f(x0)dx;【注意这里的 dx 千万不能少】 。问题： 有意义吗？【有】微分的商。(2)(sin):微商，即 导 数
