1、高浓度固液两相流的运动特性研究倪晋仁 1,2，黄湘江 1,2(1.北京大学环境科学中心；2.水沙科学教育部重点实验室)摘要：利用固体颗粒运动的动理论，通过改变颗粒浓度可以考察非粘性颗粒在水流中运动的典型微观和宏观运动特性。本文分别对微观的颗粒速度分布函数变化和由此衍生的诸如颗粒平均速度、颗粒脉动速度和单位体积颗粒数垂线分布等宏观变量的变化进行了系统比较。研究结果表明：动理论能够比传统理论获得更详细的微观和宏观信息，也更适合研究高浓度固液两相流运动特性，颗粒运动微观和宏观特性在颗粒浓度超过一定阈值后会发生本质的变化，但临界颗粒浓度值(阈值)在不同的计算和实验条件下会有一定的差别。关键词：高浓度挟
2、沙水流，微观，宏观，特性，运动学理论基金项目：国家自然科学基金资助项目(49625101)作者简介：倪晋仁(1963-)，男，山西山阴人，教授，主要从事环境科学及泥沙方面的研究。高浓度固液两相流在生产实践中经常遇到。河流中的泥沙含量高，可能导致河道淤积、河床抬高和洪水频率增加 1。高浓度固液两相流的流动和输运特性与低浓度固液两相流有着很大的不同。高浓度挟沙水流经常表现出非牛顿流体的特性 2，不同于低浓度时的牛顿流体。以往对于高浓度固液两相流的描述多基于宾汉塑性体模型或拜格诺的膨胀体模型 3，4 。就含有粘性颗粒的高浓度固液两相流而言，中国学者提出了许多关于屈服应力和宾汉粘性系数的经验表达式，这
3、些表达式中大都采用颗粒浓度和反映颗粒大小组分的变量。Chen 5曾对这方面的研究工作进行了全面的评述。就含有非粘性颗粒的高浓度固液两相流而言，以往的研究 6多从 Bagnold3的颗粒离散应力概念出发。Chen 7的粘塑体模型包含了以上两种情况。最近，新的流变模型研究又有进展，并用于描述高浓度挟沙水流的复杂特性，参见 Chen8和 Brufau9等。通常描述固液两相流的连续介质理论 10能够合理地描述流体和颗粒的宏观运动特性，但不能充分解释颗粒与颗粒的相互作用，更不能描述颗粒运动的微观特性。采用基于Boltzmann 方程的动理论能够很好地描述个体颗粒运动和颗粒之间相互作用的微观特性。这个方法
4、类比自气体分子运动论，一旦微观的颗粒速度分布函数已知，固液两相流的微观和宏观特性都可得到很好的认识。尽管动理论过去多被用于描述低浓度固液两相流，近年来该方法已经被用于高浓度固液两相流研究中。例如，倪晋仁和王光谦 1114 曾应用动理论研究高浓度固液两相流中悬浮颗粒垂向分布。本文则将动理论的应用扩展到研究高浓度固液两相流的主要微观运动特性(如颗粒运动速度分布函数变化)和宏观运动特性(如颗粒平均速度、颗粒脉动速度和单位体积颗粒数等)。为此，从颗粒速度分布函数的微观信息入手，探讨颗粒浓度由低向高变化时固体颗粒特性的响应变化。1 颗粒微观和宏观特性的主要变量王光谦和倪晋仁 15，16 曾在低浓度固液两
5、相流研究中引入了动理论，并建议固相颗粒类比气体分子运动用 Boltzmann 方程(1)来描述。方程右边是反映颗粒碰撞影响的积分项。在低浓度固液两相流中，颗粒碰撞影响较小，积分碰撞项通常被忽略。颗粒速度分布函数 f=f(vi,xi,t)是在空间坐标 xi和时间 t 颗粒速度介于 vi和 vi+dvi的颗粒数目，其中dvi=dv1dv2dv3，v i是颗粒的随机速度，F i是作用在颗粒上的单位质量力，它包括重力和液相的作用力。颗粒速度分布函数 f 能够很好地反映颗粒运动的特性。颗粒速度分布函数的任何变化都将引起一系列颗粒运动宏观特性的变化 12，13 。例如，单位体积颗粒数目为n=fdv i (
6、2)相密度为=mfdv i (3)其中 m 是单个颗粒的质量。颗粒平均速度为i=1/mv ifdvi (4)颗粒的脉动速度为v i=vi- i (5)颗粒脉动速度的均方值为 2=1/m(v i- i)(vi- i)fdvi (6)2 颗粒运动的微观特性颗粒速度分布函数是颗粒运动最重要的微观特性。王光谦和倪晋仁 16在平衡条件下针对低浓度固液两相流，通过忽略式(1)中的复杂碰撞项得到了一个与Champan n 1为指数。在高浓度固液两相流中碰撞项不能再被忽略。在这种情况下，可以采用与分子气体运动论中类似的方法进行简化=-f-f0/ (12)其中，f 0是低浓度条件下的颗粒速度分布函数，与高浓度下
7、的颗粒速度分布函数 f 不同； 为松弛因子，可以表示为=l/v z (13)其中，l 与固液两相流中固体颗粒在垂向运动的平均自由程成正比，可近似地视为一常数(实际可能是颗粒特征的函数)；v z是等向速度场中的颗粒速度。考虑恒定流动，则 Boltzmann 方程简化为f=f0-1/vz(vi -Fi ) (14)作为一阶近似，再次采用气体分子运动理论中的处理方法 12,14，可以得到高浓度和低浓度固液两相流条件下的颗粒速度分布函数之间的关系f=f0-l -mglf 0 (15)或者f=f0-L -ALf0 (16)其中，L=l/H，=z/H，A=kmgH，k 为反映颗粒浓度影响的系数；H 为水深
8、； 为 Lagrange 系数 15。为与作者以前的工作具有可比性和一致性，本文仍采用 Michalik17的实验作为计算条件。Michalik 的实验是在内径为 200mm 的方管中进行的，挟沙水流由密度为 p=2.65g/cm3的固体颗粒和密度为 L=1.0g/cm3的水组成的固液混合流。颗粒的代表粒径为 d50=0.45mm。颗粒的垂线平均体积浓度( )变化范围为 0.150.54。流体的运动粘滞系数为 =0.01cm 2/s,对应的颗粒雷诺数Re=VD=810 5。在给定的颗粒粒径和温度条件下，颗粒沉降速度为=6.15cm/s。液相流体的速度分布可以根据修正的窦国仁公式(1987)计算
9、，即uL/u*=2.5ln1+u*z/5+7.05(u *z/1+u *z/) 2+2.5(u*z/1+u *z/)+0.51-cos(z/H)(17)这一处理方法可能在高含沙量条件下带来一定的误差，但根据作者采用其它流速分布公式进行比较，对所得结论不会有明显影响。在具体计算时，这方面值得继续改进。当颗粒浓度很高时，流体相关参数的测量存在很大困难。在求解方程过程中，边界条件假设符合如下公式fb=Nb1/ exp(-(u-ub)2/2 2b) (18)其中，f b为床面位置处的颗粒速度分布函数；N b为床面处的单位体积颗粒数； b为床面处颗粒速度分布函数的标准偏差；u b为床面处颗粒分布函数的平
10、均速度。在过去研究成果 L=3 的基础上，进一步考虑高浓度条件下颗粒浓度的影响，并采用经验系数 k=30( -0.5)2进行修正。L 的大小间接反映与平均自由程的比例关系，与颗粒连续两次碰撞所用时间有关。取床面作为参考点，即 a=0,便可通过求解上述诸方程得到相应的数值解(见图 1 和图 2)。若定义颗粒速度概率密度分布函数为 p(u)=(1n)f，则会相应用到两个参数，一个是对应颗粒速度概率密度分布函数取最大值时的特征速度 uc，另一个反映概率密度分布函数形态的标准偏差 。当颗粒浓度给定时，图 1 和图 2 仅给出了沿垂直方向上相对水深为 z/H=0.1，0.5 和 0.9 的部分计算结果；
11、颗粒平均体积浓度的变化则给出了 =0.15，0.27，0.31，0.42 和 0.54 的代表情形。图 1 不同颗粒浓度条件下的概率密度分布函数 p(u)=(1/n)f 变化分析表明，尽管对应于最大颗粒速度概率密度分布函数值的特征速度 uc从床面向上呈不断增加的趋势，但在垂直方向的任一位置上基本不受颗粒平均浓度变化的影响，见图 3。然而，颗粒平均浓度的变化却明显地影响着标准偏差 的变化。由图 4可见，沿垂线任意高度上， 随 的变化可以大致分为三个阶段：即对应于0.42 的第三阶段。在第一阶段， 随的增加而缓慢减小；在第二阶段， 随 的增加而基本不变；在第三阶段，图 2 不同垂直高度下的概率密度
12、分布函数 p(u)=(1/n)f 变化随 的增加而急剧减小。 应该指出，不同阶段划分的阈值 =0.31 和 0.42本身仅仅是在本文的实验条件下获得的，在其它实验条件下可能会有所不同。但是，这里所揭示的高浓度固液两相流中颗粒浓度超过一定阈值后发生的微观运动特性变化却是非常具有启发性的。这一颗粒运动的微观特性很难从一般的连续介质理论得到。从动理论获得的微观运动特性不仅为理解颗粒运动的细节增加了新的内容，而且也为研究下列颗粒运动的宏观特性奠定了理论基础。3 颗粒运动的宏观特性3.1 颗粒平均速度垂直分布 颗粒运动的平均速度是一个十分重要的宏观特性，可根据式(4)的定义和式(16)给出的颗粒速度分布
13、函数表达式求解，计算结果见图 5。可以看出，颗粒平均速度随颗粒浓度的变化基本表现为：当颗粒浓度没有超过一定阈值前，颗粒平均速度的垂直分布与常规的固液两相流垂直分布变化相似；但是，随着颗粒浓度的继续增加，颗粒平均速度因颗粒相互作用形式的变化而快速增加，突出表现为颗粒向上聚集趋势的增加和最大颗粒平均速度出现位置的上移。二者的界限大致在颗粒浓度 =0.42 左右，这与颗粒运动微观特性分析中讨论的第二个阈值相近。3.2 颗粒脉动速度垂直分布 颗粒脉动速度的垂直分布可根据式(6)的定义和式(16)给出的颗粒速度分布函数求解，计算结果见图 6。由图可见，在颗粒浓度0.42 时，颗粒脉动速度随颗粒浓度的增加
14、急剧增加，特别是对于靠近水流表面的区域。高浓度固液两相流中颗粒脉动速度发生本质性变化的阈值与前面讨论的颗粒速度分布函数变化对应的阈值具有较好的对应关系。3.3 颗粒浓度垂直分布 颗粒浓度(或颗粒数)的垂直分布可以很好地反映颗粒运动的状态，是颗粒运动分析时不可缺少且相对容易测量的重要宏观特性。颗粒浓度(或颗粒数)可根据式(2)的定义和式(16)给出的颗粒速度分布函数表达式求解，也可以对式(16)在速度空间上直接积分得到。仍然采用 Michalik17的测量数据进行计算，可以得到如图 7 所示的颗粒浓度分布。由图可见，沿垂线上对应于最大颗粒浓度的位置随颗粒平均浓度的增加而显著上升，这有别于一般的低
15、浓度固液两相流。发生显著变化的对应颗粒平均浓度大约为 0.42。图 3 特征速度 uc随颗粒浓度和位置的变化 图 4 标准偏差 和平均颗粒浓度的关系图 5 颗粒平均速度垂向分布随平均颗粒浓度的变化 图 6 颗粒脉动速度随颗粒平均浓度的变化由于对高浓度固液两相流中微观特性的直接测量在技术上存在很大的困难，因此要对颗粒速度分布函数进行直接验证是不易做到的。鉴于此，我们可以用测量到的颗粒运动宏观特征之一颗粒浓度垂直分布进行间接验证。由Michalik 的测量数据与本文计算结果进行的比较(见图 7)说明，测量和计算结果相当吻合。 4 结论颗粒运动的动理论为研究高浓度固液两相流的微观特性和宏观特性提供了
16、理论基础。一旦获得微观特性的信息，就可相应得知所有传统的颗粒运动宏观特性。本文重点探讨了微观颗粒速度分布函数及其由它推演出的颗粒运动宏观变量(如颗粒平均速度、颗粒脉动速度和颗粒浓度分布等)随颗粒浓度不断增加发生的变化规律。尽管本文计算时采用的实验参数可以变化，但是由此得到的有关高浓度固液两相流的特性很难由传统的理论获得，而且有关规律对研究者们具有启发性。(1)颗粒速度图 7 测量和计算的颗粒浓度分布概率密度分布函数的峰值随颗粒平均浓度增加而减小，但是与颗粒速度概率密度分布函数峰值对应的特征速度 uc与颗粒平均浓度的变化关系不大，尽管 uc随着垂直坐标的增大向上增加。(2)颗粒速度概率密度分布函
17、数中的标准偏差 主要受颗粒平均浓度的控制。对水流中任意给定的垂向高度上， 随颗粒平均体积浓度的变化被两个阈值(即下临界阈值和上临界阈值)分为三个阶段。当颗粒平均浓度小于下临界阈值(本文条件下为 =0.31)时， 随颗粒平均浓度的增加而缓慢减少；当颗粒平均浓度大于上临界阈值(本文条件下为 =0.42)时， 随颗粒平均浓度的增加而急剧减少；当颗粒平均浓度介于两个阈值之间时， 变化不明显。(3)颗粒运动的宏观特性基本上由颗粒运动的微观运动特性决定。在固液两相流进入高浓度固液两相流范围且当颗粒平均大于上临界阈值(本文条件下为 =0.42)时，颗粒运动的宏观特性变量，如颗粒平均速度、颗粒脉动速度和颗粒浓
18、度垂向分布等变化剧烈，甚至出现反常变化趋势。(4)应用颗粒运动的动理论能够获得高浓度固液两相流中有关颗粒运动的详尽的微观和宏观特性信息，这些是采用传统连续介质理论和依靠修正低浓度固液两相流研究结果无法做到的。参 考 文 献：1 钱宁，万兆惠，钱意颖.黄河高含沙水流问题J.清华大学学报，1979，19(2)：27-34.2 Krieger I M, Dougherty T J. Amechanism for nonNewtonian flows in suspensions of rigid spheresJ. Trans. the Society of Rheology, 1959，3：137
19、-152.3 Bagnold R A. Experiments on a gravityfree dispersion of large solid spheres in Newtonian fluid under shear.J. Proc., Royal Soc. London, Ser. A, 1954，225：49-63.4 Takahashi T. Debris flows on prismatic open channelJ. J. Hydr. Div., ASCE, 1980,106(3):381-396.5 Chen C L. General solution for visc
20、oplastic debris flowJ. J. Hydr. Engrg., ASCE,1988,114(3):259-282.6 Takahashi T. Mechanical characteristics of debris flowsJ. J. Hydr. Div. ASCE,1978,104(8):1153-1169.7 Chen C L. Generalized viscoplastic modeling of debris flowJ. J. Hydr. Engrg., ASCE,1988,114(3):237-258.8 Chen C L. Rheological equat
21、ion in asymptotic regimes of granular flowJ. J. Engrg. Mech., ASCE,1998,124(3):301-310.9 Brufau P, Garcia-Navarro P, Chilardi P et al. 1D mathematical modeling of debris flowJ. J. Hydr. Res., IAHR, 2000,38(6):435-446.10 Drew D A. Mathematical modeling of two-phase flowsJ. A. Rev. Fluid Mech. 1983,15
22、：261-291.11 倪晋仁，王光谦，张红武.固液两相流基本理论及其最新应用M.北京：科学出版社，1991.12 倪晋仁，王光谦.高浓度恒定固液两相流运动机理探析：.理论J. 水利学报，2000，(5)：22-26.13 倪晋仁，王光谦.高浓度恒定固液两相流运动机理探析：.应用J.水利学报，2000，(5)：27-32.14 Ni J R, Wang G Q，Borthwick A G L. The kinetic theory for vertical profile of particle concentration in dilute and dense solid-liquid fl
23、owsJ. J. Hydr. Engrg., ASCE,2000，126(12):893-903.15 Wang G Q, NI J R. Kinetic theory for particle concentration distribution in two-phase flowsJ. J. Engrg. Mech., ASCE,1990,116(1):2738-2748.16 Wang G Q, Ni J R. The kinetic theory for dilute solid-liquid two-phase flow J. Int. J. Multiphase Flow 17,1991,2：273-281.17 Michalik A. Density patterns of the inhomogeneous liquids in the industrial pipeline measured by means of radiometric scanningJ. La Houille Blanche. 1973，1:53-59.
