1、学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 6课 题：4 奎 屯王 新 敞新 疆8 正弦函数、余弦函数的图象和性质（4）教学目的：1 奎 屯王 新 敞新 疆 理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；2 奎 屯王 新 敞新 疆 会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；3 奎 屯王 新 敞新 疆 掌握三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法 奎 屯王 新 敞新 疆教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数性质的理解与应用授课类型：新授课课时安排：1 课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1 y=sinx，xR 和 y=cosx，xR 的图象
2、，分别叫做正弦曲线和余弦曲线-11yx-6-5 65-4 -3 -2 - 0 432fx = sinx-11yx-6-5 65-4 -3 -2 - 0 432fx = cosx2用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数 y=sinx，x0，2的图象中，五个关键点是：(0,0) ( ,1) (,0) ( ,-1) (2,0)3余弦函数y=cosx x0,2的五个点关键是(0,1) ( ,0) (,-1) ( ,0) (2,1)223定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集 R或(，) ，分别记作： ysinx ，xR ycosx ，xR4值域正弦函数、余弦函数的值域都是1，1
3、奎 屯王 新 敞新 疆其中正弦函数 y=sinx,xR当且仅当 x 2 k ，kZ 时，取得最大值 1 奎 屯王 新 敞新 疆当且仅当 x 2 k ，kZ 时，取得最小值1 奎 屯王 新 敞新 疆而余弦函数 ycosx ，xR当且仅当 x 2k ，kZ 时，取得最大值 1 奎 屯王 新 敞新 疆当且仅当 x (2k1) ，kZ 时，取得最小值1 奎 屯王 新 敞新 疆yxo1-12232学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 65周期性正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k (kZ 且 k0) 都是它的周期，最小正周期是2 奎 屯王 新 敞新 疆6奇偶性ysinx 为奇函数，ycosx
4、为偶函数正弦曲线关于原点 O 对称, 余弦曲线关于 y 轴对称7单调性正弦函数在每一个闭区间 2k ， 2k ( kZ )上都是增函数，其值从1 增大到 1；在每一个闭区间 2k ， 2k ( kZ)上都是减函数，其值从 13减小到1 奎 屯王 新 敞新 疆余弦函数在每一个闭区间(2k 1) ，2 k ( kZ) 上都是增函数，其值从 1 增加到1；在每一个闭区间2k ， (2k1) (kZ)上都是减函数，其值从 1 减小到1 奎 屯王 新 敞新 疆二、讲解范例：例 1 求函数 ysin 的单调增区间 奎 屯王 新 敞新 疆21x误解：令 ysin 在2 k ，2 k ( kZ)上递增2 k
5、2 k 1x解得4 k x4 k2原函数的单调递增区间为4 k，4 k2( kZ)分析：上述解答貌似正确，实则错误，错误的原因是，令 ，忽视了 是21xx 的减函数，未考虑复合后单调性的变化 奎 屯王 新 敞新 疆正解如下：解法一：令 ，则 u 是 x 的减函数21x又 ysin 在2 k ，2 k ( kZ)上为减函数，3原函数在2 k ，2 k ( kZ)上递增设 2k 2 k 1x解得4 k2 x4 k(kZ)原函数在4 k2，4 k( kZ)上单调递增解法二：将原函数变形为 ysin 21x因此只需求 sin y 的减区间即可1x学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 6 为增
6、函数21x只需求 sin 的递减区间2 k 2 k 23解之得：4 k+2 x4 k+4(kZ)原函数的单调递增区间为4 k2，4 k4( kZ)一、利用三角函数的有界性利用三角函数的有界性如sin x1，cos x1 来求三角函数的最值 奎 屯王 新 敞新 疆例 2 a、 b 是不相等的正数 奎 屯王 新 敞新 疆求 y 的最大值和最小值 奎 屯王 新 敞新 疆bax2222 cossinsico解： y 是正值，故使 y2达到最大(或最小)的 x 值也使 y 达到最大(或最小) 奎 屯王 新 敞新 疆y2 acos2x bsin2x2 asin2x bcos2x22icoba22cosin
7、 a b asin)(4 a b，( a b)20，0sin 22x1当 sin2x1 时，即 x (kZ)时， y 有最大值 ；)(2ba当 sinx0 时，即 x (kZ)时， y 有最小值 奎 屯王 新 敞新 疆二、利用三角函数的增减性如果 f(x)在 ， 上是增函数，则 f(x)在 ， 上有最大值 f( )，最小值f( )；如果 f(x)在 ， 上是减函数，则 f(x)在 ， 上有最大值 f( )，最小值 f( ) 奎 屯王 新 敞新 疆例 3 在 0 x 条件下，求 ycos 2xsin xcosx3sin 2x 的最大值和最小值 奎 屯王 新 敞新 疆2解：利用二倍角余弦公式的变形
8、公式，有y 2sin2 x3 2(cos2 xsin2 x)1cos1cos12 (cos2xcos sin2 xsin )1442 cos(2x )10 x ， 2 x 5cos(2x )在0， ）上是减函数483故当 x0 时有最大值 2学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 6当 x 时有最小值183cos(2x )在 ， 上是增函数42故当 x 时，有最小值183当 x 时，有最大值22综上所述，当 x0 时， ymax1当 x 时， ymin2 183三、换元法利用变量代换，我们可把三角函数最值问题化成代数函数最值问题求解 奎 屯王 新 敞新 疆例 4 求 f(x)sin 4
9、x2sin 3xcosxsin 2xcos2x2sin xcos3xcos 4x 的最大值和最小值 奎 屯王 新 敞新 疆解： f(x)(sin 2xcos 2x)22sin 2xcos2x2sin xcosx(sin2xcos 2x)sin 2xcos2x=12sin xcosxsin 2xcos2x令 sin2x1 2f( )12 2( 1) 22 在的范围内求的最值当 ，即 x k (kZ)时， f(x)max447当 ，即 x k (kZ)时， f(x)min231四、求三角函数最值时应注意的问题三角函数最值问题是三角函数性质的重要内容之一，也是会考、高考必考内容，在求解中欲达到准确、
10、迅速，除熟练掌握三角公式外，还应注意以下几点：1注意 sinx、cos x 自身的范围例 5 求函数 ycos 2x3sin x 的最大值 奎 屯王 新 敞新 疆解： ycos 2x3sin xsin 2x3sin x1(sin x )23411sin x1，当 sinx1 时， ymax3说明：解此题易忽视 sinx1，1这一范围，认为 sinx 时， y 有最大值2学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 6，造成误解 奎 屯王 新 敞新 疆4132注意条件中角的范围例 6 已知 x ，求函数 ycos 2xsin x 的最小值 奎 屯王 新 敞新 疆4解： ysin 2xsin x
11、1(sin x )2145 x sin x22当 sinx 时ymin( )2 145说明：解此题注意了条件 x ，使本题正确求解，否则认为 sinx1 时 y 有最小值，产生误解 奎 屯王 新 敞新 疆3注意题中字母(参数)的讨论例 7 求函数 ysin 2x acosx a (0 x )的最大值 奎 屯王 新 敞新 疆8523解： y1cos 2x acosx a (cos x )2 aa48521当 0 a2 时，cos x ， ymax a42851当 a2 时，cos x1， ymax a3当 a0 时，cos x0， ymax a8521说明：解此题注意到参数 a 的变化情形，并就
12、其变化讨论求解，否则认为 cosx 时，2ay 有最大值会产生误解 奎 屯王 新 敞新 疆4注意代换后参数的等价性例 8 已知 y2sin cos sin cos (0 )，求 y 的最大值、最小值 奎 屯王 新 敞新 疆解：设 tsin cos sin( )242sin cos 1 2 y 2 1( )215学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 6又 sin( )，0 24 431 2当 时， ymax145当 -1 时， ymin1说明：此题在代换中，据 范围，确定了参数 1， ，从而正确求解，2若忽视这一点，会发生 时有最大值而无最小值的结论 奎 屯王 新 敞新 疆2三、课堂练习：四、小结 三角函数最值的求解：三角函数最值是中学数学的一个重要内容，加强这一内容的教学有助于学生进一步掌握已经学过的三角知识，沟通三角、代数、几何之间的联系，培养学生的思维能力 奎 屯王 新 敞新 疆 本课介绍了三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法 奎 屯王 新 敞新 疆五、课后作业：六、板书设计（略）七、课后记：
