1、第五章 晶格振动,1 一维晶格的振动 2 三维晶格的振动 3 声子 4 晶格振动谱的测定方法 5 晶格振动热容理论 6 晶格振动的吸收光谱,1 一维简单格子,1 一维晶格的振动,在平衡位置附近以泰勒级数展开，得到,相互作用力为,忽略上式的非线性小量，并考虑到在平衡位置时的势能取极小值，故右端第一项为零。,第n个原子与第n+1个原子的相互作用力为：,类似弹簧谐振子的受力情况，故称为弹性恢复力系数。,忽略掉相互作用力中非线性项的近似为简谐近似。,只考虑最近邻原子的相互作用时，第n个原子的受力情况为：,其运动学方程为：,应用周期性边界条件（玻恩-卡门条件）忽略原子链两端原子与链中原子的不同。使上式为
2、通式，其解为：,将上式代入运动学方程，得到：,即：,或者,在任一时刻，原子的位移有一定的周期分布，即原子的位移构成了波，这个波称之为格波。,第n个原子的受力情况为：,则,则,例如：波矢q =/2a原子的振动同样可以当作波矢q =5/2a的原子的振动（ q -q =2/a）。,红线： q =5/2a, =4a/5 两相邻原子振动的位相差是2+ /2。,绿线： q =/2a，=4a 两相邻原子振动的位相差是/2。,格波与一般连续介质波的比较 相同： 振动方程形式类似 区别：1 连续介质波中x表示空间任意一点，而格波只取呈周期性排列的格点的位置；2 一个格波解表示所有原子同时做频率为的振动，不同原子
3、间有位相差，相邻原子间位相差为aq.3 二者的重要区别在于波矢的涵义（ 原子以q 与q振动一样 ，同一振动状态对应多个波矢，或多个波矢为同一振动状态） 。,2 一维复式格子,若只考虑最近邻近似，第个晶胞中质量为M1的原子所受力为：,其运动方程为,同理可写出第s个晶胞中质量为M2的原子的运动方程为：,u，v可以是复数，第个晶胞中质量为 的原子的与k相同，但振幅不同，由于u，v是复数，故u，v可以有一个相因子之差，表示它们之间的相位关系。,我们将代入运动方程得： 这是以u，v为未知数的方程组，要有非零解须系数行列式为零。便可得到：,展开此行列式可得： 即 上式中取“ ” 号时，有较高频率称为光学支
4、色散关系，取“ ”号时，有较低频率称为声学支色散关系。,光学支和声学支格波,为了讨论比较典型,我们处理长波极限下的情况。当ka1（即波长比点阵常数大得多的光学支与声学支）,当k= 设 对声学支 对光学支,由 (2ks-M22)A-(2kscosqa)B=0 得 ( A/B)-=(2kscosqa)/ (2ks-M2-2) 因为 -2 2ks/ M1, cos(qa)0 得 ( A/B)- 0,声学波,说明： 相邻两种不同原子的振幅都有相同的正号或负号，即对于声学波，相邻原子都是沿着同一方向振动，当波长很长时，声学波实际上代表原胞质心的振动。,声学波示意图,由 -(2kscosqa)A+(2ks
5、-M12)B=0 得 ( A/B)+= (2ks-M12)/ 2kscos(qa)因 +2 2ks/ M2, cos(qa)0得 ( A/B)+ 0,光学波,说明：对于光学波，相邻两种不同原子的振动方向是相反的。,当q很小时，即波长很长的光学波（长光学波）， cos(qa)1， 又 22=2ks/ ， 由 -(2kscosqa)A+(2ks-M12)B=0 得 ( A/B)+ =-M1/M2M2A+M1B=0,说明：原胞的质心保持不动，由此也可以定性的看出，光学波代表原胞中两个原子的相对振动。,2 三维晶格的振动,设实际三维晶体沿基矢a1、a2、a3方向的初基元胞数分别为N1、N2、N3，即晶
6、体由NN1 N2 N3初基元胞组成，每个初基元胞内含s个原子。1 .原子振动方向一维情况下，波矢q和原子振动方向相同，所以只有纵波。三维情况下，有纵波也有横波。,原则上讲，每支格波都描述了晶格中原子振动的一类运动形式。初基元胞有多少个自由度，晶格原子振动就有多少种可能的运动形式，就需要多少支格波来描述。,定性地说，初基元胞质心的运动主要由声学格波代表，初基元胞内两原子的相对运动主要由光学格波代表一维S原子链：存在S支格波其中一支声学波，S 1支光学波。三维晶体：元胞的总自由度数为3S,则晶体中原子振动可能存在的运动形式就有3S种，用3S支格波来描述。其中在三维空间定性地描述元胞质心运动的格波应
7、有3支，也就是说应有3只声学格波，其余3（S-1）支则为光学格波。例如硅晶体属于金刚石结构，每个初基元胞含两个原子，即S=2 , 它有3支声学格波和3支光学格波。,一维单原子链：仅存在一支格波，且为声学格波。 一维双原子链：存在两支格波声学波，和光学波。,三维晶格：3S 支格波，一个q对应3S个值，即对应3S个格波，允许的q取值数仍为初基元胞数N，则共有3NS组（i,q）数组，晶体中有3NS个格波。格波数晶格的总自由度数3NS晶格振动理论中的普适结论。晶体中任何一原子的实际运动是这3NS个格波所确定的谐振动的线性叠加。,一维：/a q/a 在第一布里渊区内, q点的分布均匀, 每个q 点的“体
8、积”为2(a)b/N;在第一布里渊区内q可取N个值； m为整数三维：q仍在第一布里渊区内取值，共有N个值（初基元胞数）,每一组整数（L1,L2,L3 ）对应一个波矢量q。将这些波矢在倒空间逐点表示出来，它们仍是均匀分布的。每个点所占的“体积”等于“边长”为(b1/N1)、（b2/N2）、(b3/N3)的平行六面体的“体积”，它等于：,式中*是倒格子初元胞的“体积”，也就是第一布里渊区的“体积”，而*（2)3/ ，所以每个波矢q在倒空间所占的“体积”为：,其中V=N为晶体体积。,在倒空间，波矢q的密度为,格波的态密度函数g()，又称为模式密度数，其定义为在附近单位频率间隔内的格波总数。,因此对于
9、一支格波,d=q(q)dqn,考虑到三维晶体中共有3S支 格波，则格波格态密度函数为,一维格波解：,3 声子,令：,所以：,说明：晶格振动的能量是量子化的，晶格振动的能量量子q称为声子。,有,可知：利用线性变换方法，将原子在3N个自由度上的坐标变化，变换为3N个简正坐标的变化，表示相互独立的3N 个简谐振动，其中的每一个，都称为简正振动（简正模 ）, 其3N个特征角频率 i 称为简正角频率。,由于晶格的周期性，其简正振动具有波的形式， 称为格波。,谐振子的能量,ni是描述第i个简正模的量子数。,根据上式，得到几点：,（1）具有某一角频率i并处于量子数为ni的激发 态的简正模，相当于ni个能量为
10、i的声子；,（2）不同简正模，具有不同的角频率、能量和动 量，对应于不同量子态的声子。处于该量子态的声 子数，则决定于该量子态所对应的能级；,（3）如果简正模由某一能级降至低一个能级，量 子数减小 1 ，相当于系统中减少或消失了一个声子， 相反，如果简正模由某一能级升至高一个能级，量 子数增加1，相当于系统中增加或产生了一个声子。,可见，固体中的格波波场可以看成理想声子气体 系统。理想声子气体系统遵从玻色统计。,格波与格波之间的互作用可用声子之间的碰撞来处理。格波与电子波之间的互作用，实际上就可用声子与光子的碰撞来处理，但声子是一种准粒子。而不是基本粒子。,既然格波的能量量子定义为声子，当格波
11、处于较高的激发态时晶体中就布局着较多的声子，即格波振幅较大时，晶体中的声子数较多。因此格波的振幅与声子的数目就有一定的关系。,声子是格波能量的量子，格波并不是描写粒子的真实位移的振动，而是一个简正振动模式，是描写晶体中某一个原子与所有其他原子的坐标的运动。,在确定的温度T下，频率均为的N个格波的平均能量,（这里的N并不是晶体的格波总数）,各个格波可能具有不同的声子数，在一定温度的热平衡态，一个格波的平均声子数有多少呢？不考虑声子间的相互作用，故可把声子视为近独立子系，这时玻色爱因斯坦统计与经典的玻尔兹曼统计是一致的。,的声子在同的格波间均可存在，某一的格波具有声子数n的状态，满足一定的几率分布
12、。可理解为声子在格波间可跳跃。,其中：N频率为的格波总数Nn频率为，能量为En(即声子数为n)的格波数，,由玻尔兹曼统计,其中：分母为配分函数gn：能量为En的相格数，即 能量En的简并度。设： gn1,因为,与上式比较可得,利用等比级数求和公式、求导、整理可得,其中,意义：,频率为的格波温度为T时的平均声子数。 当 KBT时， 0.6,定性地讲，此格波已激发，以此为界，温度为T时，只有KBT的格波才能被激发。,当温度很高时，,当温度很高时，平均声子书与温度成正比，与频率成反比。,晶格的振动谱-格波的色散关系。 确定晶格振动谱的意义-晶体的许多性质和函数(q)有关。 测定的依据-利用波和格波的
13、相互作用。 最重要的实验方法-中子的非弹性散射，即利用中子的德布洛依波与格波的相互作用。 其他实验方法-X射线衍射、光的散射等。,4 晶格振动谱的测定方法,一束 中子流：动量p、能量E=p2/2Mn。样品（与原子核之间有较强的相互作用，容易穿过晶体）一束 中子流：动量p、能量E=p2/2Mn。,入射,射出,格波振动因起中子的非弹性散射（吸收或发射声子的过程），该过程满足能量守恒和动量守恒。,1、实验原理,p2/2Mn p2/2Mn=(q)p p=q+Kn 多出Kn项的说明：动量平移倒格子矢量，格波的运动状态不变。, 发射声子的过程 吸收声子的过程,固定入射中子流的动量和能量，测量不同散射中子流
14、的动量和能量。,2、实验过程,中子源：反应堆中产生出来的慢中子流。 单色器：利用单晶的布拉格反射产生单色（的确定）的中子流。 准直器：选择入射、散射中子流的方向,确定、 。 分析器：利用单晶的布拉格反射来决定散射中子流的动量。,定容比热的定义为单位质量的物质在定容过程中，温度升高一度时，系统内能的增量，即,5 晶格振动热容理论,1 热容理论,晶体的运动能量包括晶格振动能量Ul和电子运动能量Ue这两种运动能量对比热的贡献分别以Cl(晶格比热)和Ce(电子比热)来表示。除极低温下金属中的电子比热相对较大外，通常Cl Ce,所以本章仅讨论晶格比热CClC。,-晶格振动能量为3NS个量子谐振子能量之和
15、,由格波态密度函数g()定义，上式也可写成为,其中m为截止频率，且有,则定容比热为,将式,代入上式得到,关键和难点,假定晶体中所有原子都以相同频率独立地振动。3NS个原子组成的晶体振动内能U(T),2 Einsten模型,EKBE,则比热成为E和温度T的函数,在Cv显著变化的温度范围内，使比热的理论曲线尽可能好地与实验曲线拟合，从而确定爱因斯坦温度E。对于大多数固体，E在100300K范围。,把晶体视为各向同性的连续弹性媒质。设晶体是N个初基元胞组成的三维单式各子(s1),仅有3支声学格波。并设它们的波速都相同。因而三支格波的色散关系均是线性的 pq 等能面为球面。,3 德拜模型,格波态密函数
16、：,式中截止频率m又称为德拜频率，记为D,它由格波总数等于3N来确定：,得,引入德拜温度D DKBD,可得：,作变量代换,德拜温度D往往由实验确定。在不同的温度下使Cv的理论值与实验值相符，从而确定D。,又由式,(一)、实验定律1. 杜隆-珀替定律：对确定的材料，高温下的比热为常数，摩尔热容为3R （R为气体普适常数）。 2. 德拜定律：低温下的固体比热与T3成正比。,4 实验和理论的比较,1 .与爱因斯坦模型比较高温时当x1时，ex1+x， 则,其中,（二）高温区,2 .与德拜定律比较,类似以上处理，,而其中,所以,若所考察的晶体为一摩尔物质，则NN0，Cv3N0KB3R即在高温下Debye
17、模型也与杜隆珀替定律符合。,（三）低温情况,低温时 ， ,1 .与爱因斯坦模型比较,T0时，Cv以指数形式很快趋于零，在变化趋势上与实验符合。,2 .与德拜模型比较,式中的积分上限可近似取为无穷大，则积分成为,低温下D/T1，,即CvT3，与德拜实验定律相符合。,电磁波谱，晶格振动的位置 格波 格波的q与光波的k 关系 格波具有N个分立的q 值, 分布在第一布里渊区，N原胞数 格波的q关系, 在某个q值下，3个声学支 - , 3n - 3 个光学支+ ，晶格振动模共有3nN个, 分布在第一布里渊区, 构成晶格振动特征色散关系, n原胞中的原子数 q 0的光学模，叫做长波光学模，或基模, 它们在
18、红外吸收和喇曼散射方法研究晶格振动中，具有重要意义 简正坐标，声子,晶格振动的研究方法：红外与喇曼光谱，中子散射，比热X-射线散射,6 晶格振动的吸收光谱,电磁波谱,核1u=10-13m， 原子1=10-10m 1eV=1.6.10-19J, 8066cm-1,晶格振动q曲线（色散曲线）,禁带,一维双原子链格波,Si的格波谱,Pb的格波谱,GaAs的格波谱,离子晶体长光学模及其与光的耦合,实验规律：LST(Landden-Sachs-Teller)关系 非极性晶体：0(T, L Degeneracy)极性晶体：表1,表1 某些体心和面心立方晶体晶格振动长光学模,表1 某些体心和面心立方晶体晶格振动长光学模（续）,极性晶体,
