1、网络优化问题及算法简介,胡智全 华中师范大学数学与统计学学院,.,Hu_,数学建模题目类型： B. 运筹学,1994 B 锁具装箱 1998 B 灾情巡视路线 2000 B 钢管订购和运输 2001 B 公交车调度 2003 B 露天矿生产的车辆安排 2007 B 乘公交，看奥运 2008 ? 汶川地震,图论的起源： Konigsberg 七桥问题,七桥问题：能否从某块陆地出发，经过每座桥一次且仅一次，最后回到原出发地？ Euler：陆地点 ，两点间的桥梁线七桥问题图中Euler圈问题。,图与网络,图：有序对（V，E），V：顶点集，E：边集。 赋权图G=（V，E，w), w: ER+ 点人，边
2、两个人相互认识 点球队，有向边(x,y)x胜y 点城市，边城市间的道路，w(e)道路e的长度，修建道路e的费用等。,图与网络中的传统优化问题 1. 最短路问题,实 例: 边赋权图G=(V,E,w),点s,tV 可行解: G中所有s-t路 目 标：极小化路上所有边的权和. 算 法： Dijkstra 1959,图与网络中的传统优化问题 1.最短路问题：Dijkstra算法,图与网络中的传统优化问题 2.最小支撑树问题,2.最小支撑树问题-破圈法(Rosenstiehl 1967),2.最小支撑树问题-避圈法(Rosenstiehl 1967),图与网络中的传统优化问题 3. 最大匹配问题,实 例
3、: 边赋权图G=(V,E,w) 可行解: G中的边独立集M 目 标：极小化M上所有边的权和. 算 法： Edmonds 1965,图与网络中的传统优化问题 4.中国邮路问题,中国邮路问题：管梅谷 1960一个邮递员送信时，要走遍他所负责的每条街道，完成送信任务后回到邮局. 他应按什么样的路线走，使走的总里程最短? 实 例: 边赋权图G=（V，E，w) 可行解: 通过G中所有边的圈（未必是简单的） 目 标：极小化圈上所有边的权和.,4.中国邮路问题 算 法： Edmonds, Johnson 1973,图与网络中的传统优化问题 5.货郎问题,货郎问题：一个推销员要到若干个城市推销货物，然后回到出
4、发点. 他应该如何选择旅行路线，使每个城市通过一次且仅一次，并且总的里程最短? 实 例: 边赋权图G=(V,E,w) 可行解: 通过G中所有顶点一次且仅一次的圈 目 标：极小化圈上所有边的权和. 近似算法：两边交换算法、三边交换算法、 (欧氏距离下) 1.5 近似算法,5.货郎问题： (欧氏距离下) 1.5 近似算法,Find a MST of G. Say T . Find a minimum cost perfect Matching M, on the set of odd-degree vertices of G. Add M to T and obtain an Eulerian g
5、raph MT. Let be its Euler-tour Output the tour that visit the vertices of G in the order of their first pearance in . 例：,通讯网络中的优化问题 1.经典最小Steiner树问题,问题：给定平面上若干个点，如何将它们连接起来使得连线长度最短？ 解的结构： 该问题的解一定有树的结构(Steiner树)，而且可能会引入一些新的点( Steiner 点) 例：,经典最小Steiner树问题,定理（M. R. Garey et al, 1979）最小Steiner树问题是NP-难解的.
6、 定理（J. B. Kruskal, 1956; R. C. Prim, 1967）最小生成树问题是多项式时间内可解的. 定理（D.-Z. Du et al, 1979）最小生成树与最小Steiner树权重之比不超过,通讯网络中的优化问题； 2.网络上的Steiner树问题,实 例: 边赋权图G=(V,E,w)和顶点集合的一个子集S. 可行解: 连接集合S上所有顶点的树T (Steiner树). 目 标：极小化树T上所有边的权和. 应用背景：在通讯服务中经常需要把信息从一个源点传到多个收点，即多播传输(multicast), 如有线电视服务（vido-on-demand）, 或者要把一组点联接
7、起来 （group communication）, 如电视/电话会议（tele-conference）. 这里的核心问题就是如何把这些点连接起来. 定理（M. R. Garey et al, 1979）网络上的最小Steiner树问题是NP-难解的.,通讯网络中的优化问题； 3.最少Steiner 点的Steiner树问题,问题: 给定平面上若干个点和一个正实数R，如何将它们连接起使每段长度不超过R且所引入的Steiner 点最少. 应用背景：1) 在通讯网络的具体设计中，我们通常还要考虑其它实际因素. 例如：如果连接两点的通讯线路太长，那么信号在传输过程中会有所衰竭. 一个解决方法就是在长线
8、路中放置信号放大器(amplifier). 很自然地产生了一个组合优化问题: 就是如何设计网络使得所需要的信号放大器最少？ 2) 消防车、战备仓库的选址,动态规划,动态规划 (Dynamic Programming)是解决多阶段决策过程最优化问题的一种方法. 1951年，美国数学家Bellman等人根据一类多阶段决策问题的特征，提出了解决这类问题的“最优化原理”，并研究解决了许多实际问题，从而创建了动态规划. 有许多实际问题，特别是对离散性问题, 利用动态规划的方法去处理常常比用线性规划或非线性规划更为有效. 动态规划方法是处理离散性问题的一种得力的工具.,动态规划的最优化原理,最优化原理:
9、作为整个过程的最优策略具有这样的性质: 对于最优策略过程中的任一状态而言，无论其过去的状态和决策如何，其余下的诸决策必然构成一个最优的子策略 例：最短路问题：如果为中从到v的长度为的w-最短路, u 为 P 上的任意一点，则s,u为中从到u的w-最短路. s u v,动态规划的若干基本概念,状态变量xk: 第k阶段所面临的出发位置 决策变量uk：第k阶段的状态给定以后，从该状态演变到下一阶段的某个状态的选择 允许决策集合Uk(xk): 状态转移方程： xk+1=Tk (xk, uk(xk) 阶段效益vk (xk, uk) ：衡量所考察阶段的决策效果的数量指标，表示在第k阶段由状态xk和决策, uk(xk) 所得的效益. 最优指标函数fk(xk):它表示从第k个阶段状态xk出发到过程结束时能获得的所有指标函数值中的最优值,动态规划的基本方程,动态规划的基本方程:fk(xk)=opt vk (xk, uk) + fk+1(xk+1)： uk Uk(xk)fn(xn)=0 例：最短路问题：指标函数fk(x)=中从x到t的长度为的w-最短路的权。 基本方程:fk(xk)=min w (xk, uk) + fk+1(xk+1)： uk A(xk)fn(xn)=0,
