1、第 9 章 扭 转, 剪切基本定理 圆截面轴的扭转应力与变形 圆截面轴的扭转强度与刚度,本章主要研究：,1 引言 2 动力传递与扭矩3 切应力互等定理与剪切胡克定律 4 圆轴扭转横截面上的应力 5 极惯性矩与抗扭截面系数 6 圆轴扭转强度与合理设计 7 圆轴扭转变形与刚度条件,1 引 言, 扭转实例 扭转及其特点, 扭转实例,M, 扭转及其特点,变形特征：各横截面间绕轴线作相对旋转，轴线仍为直线扭转变形,外力特征：作用面垂直于杆轴的力偶,扭转与轴：以扭转变形为主要特征的变形形式扭转以扭转为主要变形的杆件轴,扭力偶矩：扭力偶之矩扭力偶矩或扭力矩,扭 力 偶：作用面垂直于杆轴的力偶扭力偶,2 动力
2、传递与扭矩, 功率、转速与扭力偶矩的关系 扭矩与扭矩图 例题, 功率、转速与扭力偶矩的关系,已知：动力装置的输出功率 P（kW）,转速 n（r/min） 试求：传递给轴的扭力偶矩 M（N.m）,设角速度为 (rad/s), 扭矩与扭矩图,扭矩定义矢量方向垂直于横截面的内力偶矩，并用 T 表示,符号规定按右手螺旋法则将扭矩用矢量表示，矢量方向与横截面外法线方向一致的扭矩为正，反之为负,扭矩,右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩为正，反之为负。,扭矩符号规定：,扭矩图：用来表示受扭杆件横截面上扭矩随轴线位置变化的坐标图（与轴力
3、图作法完全相同）。, 例 题,例 2-1 MA=76 Nm, MB=191 Nm, MC=115 Nm, 画扭矩图,解：,3 切应力互等定理与剪切胡克定律, 薄圆管的扭转切应力 切应力互等定理 剪切胡克定律 例题,1、各圆周线绕轴有相对转动，但形状、大小及两圆周线间的距离不变。,2、各纵向线仍为直线，但都倾斜了同一角度，原来的小矩形变成平行四边形。,横截面上没有正应力。,横截面上必有存在，其方向垂直于圆筒半径。,每个小矩形的切应变都等于纵向线倾斜的角度，故圆筒表面上每个小矩形侧面上的均相等。,:切应变,直角的改变量, 薄壁圆管扭转切应力,（1）薄壁圆筒圆周上各点处的切应变相同；,（2）薄壁圆筒
4、圆周上各点处的切应力相等；,在材料为均匀连续这个假设条件下，圆筒横截面上与此切应变相应的切应力其大小在外圆周上各点处必相等；至于此切应力的方向，从相应的切应变发生在圆筒的切向平面可知，系沿外圆周的切向，如图所示。,（3）薄壁圆筒圆周上各点处切应力的方向沿外周线的切线。,对于薄壁圆筒（d 很小），横截面上其它各点处的剪应力可以认为与外圆周处相同，即不沿径向变化。于是可以认为薄壁圆筒受扭时，横截面上的剪应力大小处处相等，方向则垂直于相应的半径。 即如图中所示。,这样，知道了剪应t 的分布规律后 ，便可以利用静力学关系,从而有,则,r用平均半径R0代替,(9-2),适用范围：适用于所有匀质薄壁杆，包
5、括弹性、非弹性、线性与非线性等情况,精度：线弹性情况下,当d R0/10 时,误差 4.53%,在微体互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数值相等，方向则均指向或离开该交线,切应力互等定理,截面上存在正应力时，互等定理仍成立（请自证）, 切应力互等定理与纯剪切,微体互垂截面上仅存在切应力的应力状态纯剪切,思考题,如图所示为从受扭实心圆截面杆中，以径向截面ABEF取出的分离体（半个圆柱体）。试绘出,（1）横截面AGB上应力沿直径AB的分布；,（2）径截面ABEF上应力分别沿直径AB、CD、EF的分布。,答案:, 剪切胡克定律,引入比例常数G,在剪切比例极限内，切应力与切应变成正比剪切胡克定律,G切
6、变模量，其量纲与应力相同，常用单位为GPa,实验表明：当切应力 t 不超过一定限度tp 时,tp剪切比例极限,4 圆轴扭转横截面上的应力, 扭转试验与假设 扭转应力分析 极惯性矩与抗扭截面系数 例题, 扭转试验与假设,试验现象,从试验、假设入手,综合考虑几何、物理与静力学三方面,观察变形规律：,圆周线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。,纵向线倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。,定性分析横截面上的应力,（1）,（2）,因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等，并且方向垂直于其半径方向。, 扭转试验与假设,各横截面如同刚性平面，仅绕轴线作相对转动,
7、扭转平面假设, 扭转应力分析,物理方面,几何方面,dj / dx扭转角变化率,静力学方面,应力与变形公式,极惯性矩,抗扭截面系数,公式的适用范围：,圆截面轴；,tmaxtp, 空心圆截面, 实心圆截面,5 极惯性矩与抗扭截面系数, 例 题,例 5-1 已知MC= 2MA= 2MB=200Nm；AB段，d=20mm；BC段，di=15mm，do=25mm。求各段最大扭转切应力。,解：,6 圆轴扭转强度与合理设计, 扭转失效与扭转极限应力 圆轴扭转强度条件 圆轴合理强度设计 例题, 扭转失效与极限应力,塑性材料,屈服,断裂,脆性材料,断裂,扭转屈服应力ts ，扭转强度极限tb 扭转极限应力tu,圆
8、轴扭转屈服时横截面上的最大切应力扭转屈服应力 圆轴扭转断裂时横截面上的最大切应力扭转强度极限,扭转极限应力,扭转失效形式, 圆轴扭转强度条件,等截面圆轴:,变截面或变扭矩圆轴:,tu材料的扭转极限应力 n - 安全因数,塑性材料：t =（0.50.577）s 脆性材料：t = （0.81.0）st,为保证轴不因强度不够而破坏，要求轴内的最大扭转切应力不得超过扭转许用切应力,危险点处于纯剪切状态，又有, 圆轴合理强度设计,1. 合理截面形状,若 Ro/d 过大将产生皱褶,空心截面比实心截面好,2. 采用变截面轴与阶梯形轴,注意减缓应力集中, 例 题,例 5-1 已知 T=1.5 kN . m，t
9、 = 50 MPa，试根据强度条件设计实心圆轴与 a = 0.9 的空心圆轴，并进行比较。,解：1. 确定实心圆轴直径,2. 确定空心圆轴内、外径,3. 重量比较,空心轴远比实心轴轻,例5-2 实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起。已知轴的转速n=100 转/分，传输功率P =7.5 kW,材料的容许剪应力 试选择实心轴直径d1和内外径比值为0.5的空心轴的外径D。,解:,扭矩计算：,计算实心轴直径,由强度条件,计算空心轴直径,由强度条件:,6 圆轴扭转变形与刚度计算, 圆轴扭转变形 圆轴扭转刚度条件 例题, 圆轴扭转变形,扭转变形一般公式,GIp圆轴截面扭转刚度，简称扭转刚度,常扭矩等截
10、面圆轴, 圆轴扭转刚度条件,圆轴扭转刚度条件,q 单位长度的许用扭转角, 注意单位换算:, 一般传动轴， q = 0.5 1 ()/m, 例 题,例 6-1 已知：MA = 180 N.m， MB = 320 N.m， MC = 140 N.m，Ip= 3105 mm4，l = 2 m，G = 80 GPa，q = 0.5 ()/m 。jAC=? 校核轴的刚度,解：1. 变形分析,2. 刚度校核,注意单位换算！,例 6-2 试求图示轴两端的支反力偶矩,解：1. 问题分析,未知力偶矩2个，平衡方程1个，一度静不定,需要建立补充方程，才能求解,2. 建立补充方程,3. 计算支反力偶矩,联立求解方程
11、 (a) 与 (b),例6-3 图a所示为装有四个皮带轮的一根实心圆轴的计算简图。已知；Me1= 1.5kNm，Me2=3kNm，Me3=9kNm，Me4=4.5kNm；材料的切变模量G=80GPa，许用切应力=80MPa，单位长度许可扭转角=0.005rad/m。 设计轴的直径D。,（1）画轴的扭矩图，如图b所示。由扭矩图可知，圆轴中的最大扭矩发生在AB和BC段，其绝对值为4.5kNm。,（2）设计轴的直径根据强度条件：,可以得到轴的直径为,根据刚度条件：,可以得到轴的直径为,根据上述强度计算和刚度计算的结果可知，该轴的直径应选用D = 103 mm。,7 非圆截面轴扭转简介, 矩形截面轴扭
12、转 椭圆等截面轴扭转 例题, 矩形截面轴扭转, 圆轴平面假设不适用于非圆截面轴,试验现象, 横截面翘曲, 角点处 g 为零, 侧面中点处 g 最大,应力分布特点, 横截面上角点处，切应力为零 横截面边缘各点处，切应力 / 截面周边 横截面周边长边中点处，切应力最大,弹性力学解,系数 a, b, g 表,长边中点 t 最大, 椭圆等非圆截面轴扭转, Wt , It 的量纲分别与 Wp, Ip 相同 Wt , It 的计算公式见工程力学之附录 C,椭圆、三角形等非圆截面轴,椭圆截面：, 例 题,解：1. 边宽 a 与直径 d 的关系,例 7-1 材料、横截面面积与长度均同的两轴，一为正方形截面，一为圆形截面。在同值扭力偶矩 M 作用下，试比较tmax与扭转变形。,2. 方形轴的应力与变形,4. 比较,圆形截面轴的抗扭性能比方形截面轴好,3. 圆形轴的应力与变形,本章结束！,
