1、第一章习题 1. 序列 满足递推关系 ,取 及 试分别计算 ,从而说明递推公式对于计算是不稳定的。 n 1 1 0.01 0.0001 2 0.01 0.0001 0.000001 3 0.0001 0.000001 0.00000001 4 0.000001 0.00000001 10-10 5 0.00000001 10-10 n 1 1.000001 0.01 0.000099 2 0.01 0.000099 -0.00009901 3 0.000099 -0.00009901 -0.01000099 4 -0.00009901 -0.01000099 -1.0001 5 -0.0100
2、0099 -1.0001 初始相差不大,而 却相差那么远,计算是不稳定的。 2. 取 y0=28,按递推公式,去计算 y100,若取 (五位有效数字),试问计算 y100将有多大误差?y 100中尚留有几位有效数字? 解:每递推一次有误差 因此,尚留有二位有效数字。 3函数 ,求 f(30)的值。若开方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 设 z=ln(30-y), , y*=29.9833, |E( y)| 0.510-4 z*=ln(30-y*)=ln(0.0167)=-4.09235 若改用等价公式 设 z=-ln(30+y), , y*=2
3、9.9833, |E( y)| 0.510-4 z*=-ln(30+y*)=-ln(59.9833)=-4.09407 4下列各数都按有效数字给出,试估计 f 的绝对误差限和相对误差限。 1) f=sin(3.14)(2.685) 设 f=sin xy x*=3.14, E(x) 0.510-2, y*=2.685, E(y) 0.510-3, sin(x*y*)=0.838147484, cos(x*y*)=-0.545443667 |2.685(-0.5454) 0.510-2+3.14(-0.5454) 0.510-3| =0.8178310-2NConvergenceNOYesStop
4、4. 试画出二分法以及逐段求根的框图。 )2eps,1f,ba(BMNOf(a)=0YESf(a)*f(b)0T Probably no rootbxaRL,)()(ff1ibxaRL,)(2000 fxRUbaL,F210epsT 输出 0,fxiF BM0*0Lf返回 fxR0fx1i)f,xkd,2eps1,ba(BMZ习题 2-3JLdxRR b ?RLSTOPL)2eps,1,f,L(BMcal,)J(X1J?KJYESNONO YES有 效 数 字 的 近 似 根 。 式 求 出 四 位收 敛 性 , 并 选 取 一 种 公试 分 析 每 种 迭 代 公 式 的迭 代 公 式迭 代
5、 公 式迭 代 公 式) 。并 建 立 相 应 的 迭 代 公 式改 写 成 下 列 等 价 形 式 , 程附 近 的 一 个 根 , 设 将 方在为 求 方 程 1,1)32 /1,15.01. 132223 kKKxx xxxx有 局 部 收 敛 性由 定 理 邻 近 连 续在)解 : 721592.0.15. .32x34141 331 11 105.2105.022.5/.5.245.2920 KKKK Kxxxx xL就 有当只 要若 要由 于4653182.90. 465.146138.79510220. 465387.146.17982 05198 44532 3120 xxxx
6、x可 作 为 根 的 近 似 值作 为 根 的 近 似 值 。迭 代 式若有 局 部 收 敛 性)4658.1105.20792.4631.7098.25413. 105.2/.0247681145768.0.15.32.112475330 343113232 xxxxx xxxxK KK不 收 敛) 142356.15.21.323x0246.ln231ln39.0130 )(2ln02311,0,.225 geg xgxexgxexbax 的 极 值取 到) 时 所 需 的 迭 代 次 数 。近 似 解 精 度 不 大 于 使 迭 代 法 收 敛 , 并 估 计间区对 下 述 每 个 方
7、程 试 确 定1093.1e231g0xg,x1单 调 下 降510321KKxabLxL5031次取 185.93lg210lgllK次 单 调 上 升又 单 调 下 降) 21976.21803./75. 51764.0lg942.l4.2.3213584.01.ln329412.0942.05l1nl32,15253132312 KKxggLxgxgKx59lg4l1094)(2)( 7,59.7,5308.65,102,54.35591 KxggxxgxxK当)6 6.42.0371gl3. 对下述方程,试确定迭代函数 g(x)及区间a, b,使迭代法收敛到方程的正根,并使误差不大于
8、10-5 。收 敛 当且当又 单 调当 1,0,|)(|,10,10)( 133,)(,2)(1,03)12 xgxxgeoexxae收 敛且 当又 单 调当4,3,1|)(| ,048712.3096.1286.35)( ,)(,4,ln2xgxxb收 敛 当且 单 调当1,0,1sin|)(|,10)( 1cos)(2co0,cos,in)(,cs2xxgxgga。xgXb根 的 区 间对 此 迭 代 式 找 不 到 求 正 使中 任 一而选 代 区 间 不 大 于 为 求 正 根定 义 域 为若 取 1|)(| ,0,arc24. 你能用几种方法将 x=tgx 化为适合于迭代的形式?并求
9、 x=4.5(弧度)附近的根。对 x=tgx,用埃特金方法能迭代收敛吗?请用埃特金方法求出该题结果。解一. x=arctgx )45.7(4930.49321. 1705,1|)(| 52102 oxxArctgx约取 解二. 可用埃特金方法 49305.x493780.x76512.2. xtg)tx()tg(2(xtg65210 kk2k1k1k1。baxx。LbaLa iii上 的 唯 一 解在其 极 限 就 是 收 敛产 生 的 序 列由则 对 任 意 满 足 下 列 条 件设 ,)( )(, 1,|,|)(|21610 0)()(,0)()(1)() bfafx设 知由 也 连 续设连 续知由习题 2-4 1. 牛顿法计算 具有 4 位有效数字的近似值。 x0=1 x 1=2 x 2=1.75 x 3=1.732142857 x 4=1.73205081 x 5=1.732050808 对第 1) 题再给出二种方法