1、数学建模与数学实验,主讲:陈六新 ,欧拉回路与哈密顿回路,欧拉图(1),定义1 给定无孤立结点的无向图G,经过图G的 每边一次且仅一次的迹为一条欧拉路.经过图 G的每边一次且仅一次的回为一条欧拉回路. 说明:(1)由定义,含有欧拉路(回)的图显然是 连通的; (2)欧拉路是迹(边互不重复),但不是严格意 义上的路. 定理1 连通图G具有欧拉回路当且仅当其每个 顶点的度数为偶数.,欧拉路(2),证明:必要性:不妨设C是从顶点x1开始的无向图G 的一条欧拉回路.对该回路中的任何一个内部点xi 而言,每出现一次,其度数必增加2,对x1来讲,回路 最后在该点结束,当然其度数也为偶数. 充分性:若G是连
2、通无向图,作G的一条最长回C,并 假设C不是欧拉回路.这样,在C中必存在xkV(C)及关联xk的边e=xk,x1 C;又deg( x1)为偶数,所以存在e1=x1,x2 ,e2=x2,x3, en=xn,xk,这样在G中又找到一条回C,若G=CUC,则结论成立,反之,继续寻找,总可以找到符合条件的回.,第二章 欧拉图与哈密顿图(2),定理2 连通图G具有欧拉路而无欧拉回路,当且仅当G恰有两个奇数度顶点. 证:必要性:设连通图G从顶点a到顶点b有欧拉路C,但不是欧拉回路.在欧拉路C中,除第一边和最后一边外,每经过G中顶点xi(包括a和b),都为顶点xi贡献2度,而C的第一边为a贡献1度,C的最后
3、一条边为b贡献1度.因此,a和b的度数均为奇数,其余结点度数均为偶数.,充分性:设连通图G恰有两个奇数度结点, 不妨设为a和b,在图G中添加一条边e=a,b 得G,则G的每个结点的度数均为偶数,因 而G中存在欧拉回路,故G中必存在欧拉路.定义2 给定有向图D,经过D中每边一次且仅 一次的有向迹称为D的有向欧拉路.经过D中 每边一次且仅一次的有向闭迹(回),称为有 向欧拉回路.,欧拉图与哈密顿图(3),定理3 具有弱连通性的有向图G具有有向欧拉 回路,当且仅当G的每个结点的入度等于出度.具有弱连通性的有向图G具有有向欧拉路,当且仅当在G中,一个结点的入度比出度大1,另一个结点的入度比出度小1,而
4、其余每个结点的入度等于出度.定义3 含有欧拉回路的无向连通图与含有向欧 拉回路的弱连通有向图,统称为欧拉图.,求Euler图的Euler回路的Fleury算法.,(1)任意选取一个顶点v0,置W0=v0; (2)假定迹(若是有向图,则是有迹) Wi=v0e1v1eivi已经选出,则 用下列方法从E(G)-e1,e2,ei中取ei+1; (a)ei+1与vi关联(若是有向图, ei+1 以vi为起点) (b)除非没有别的边可选择, ei+1不是Gi=G- e1,e2,ei的割边. (3)当(2)不能执行时,停止.否则让i+1 i,转 (2).,定理4 若G是Euler图,则Fleury算法终止时
5、得到的迹是Euler回路。,定义1 给定无向图G,若存在一条路经过图G的每个结点一次且仅一次,这条路称为哈密顿路.若存在一条闭路经过图G的每个结点一次且仅一次,这条闭路称为哈密顿回路. 定义2 给定有向图D,若存在一条路经过图G的每个结点一次且仅一次,这条路称为哈密顿有向路.若存在一条闭路经过图G的每个结点一次且仅一次,这条有向闭路称为哈密顿有向回路.,哈密顿图(1),哈密顿图(1),定义3 具有哈密顿回路的无向图与具有哈密顿有向回路的有向图,统称为哈密顿图. 例1对于完全图Kn(n3),由于Kn中任意两个顶点之间都有边,从Kn的某一顶点开始,总可以遍历其余节点后,再回到该结点,因而Kn(n3
6、)是哈密顿图.说明:判断一个给定的图是否为哈密顿图,是图论 中尚未解决的难题之一,下面介绍若干必要条件 和充分条件.,哈密顿图(2),定理1 设任意n(n3)阶图G,对所有不同非邻接顶 点x和y,若deg(x)+deg(y) n,则G是哈密顿图.证明:仅就G是无向图加以证明.假设定理不成立. 则存在一个阶为n(n3),满足定理条件且边数最 多的非哈密顿图,即G是一个非哈密顿图且对G 的任何两个非邻接点x1和x2,图G+边x1,x2是哈 密顿图.,因为n3,所以G不是完全图.设u和v是G的两 个顶点.因此G+边u,v是哈密顿图.且G+边u,v 是哈密顿回路一定包含边u,v.故在G中存在一 条u-
7、v路T=u1u2un(u=u1,v=un)包含G中每个顶点. 若u1,uiE(G)(2in),则ui-1,unE(G).否则 u1uiui+1unui-1ui-2u1是G的一个哈密顿回路,故 对u2,u3,un-1中每一个邻接到u1的顶点存在一 个u1,u3,un-1中与un不邻接的顶点,故 deg(un) n-1-deg(u1),所以deg(u)+deg(v) n-1 矛盾.,定理2 设u和v是n阶图G的不同非邻接点,且deg(u) +deg(v)n,则G+边u,v是哈密顿图当且仅当G是哈密顿图.定义4 给定n阶图G,若将图G度数之和至少是n的非 邻接点用一条边连接起来得图G,对图G重复上述
8、 过程,直到不再有这样的结点对存在为止,所得到的 图,称为是原图G的闭包,记作C(G).定理3 一个图是哈密顿图当且仅当它的闭包是哈密 顿图.,定理4 设G是阶至少为3的图,如果G的闭包是完全图, 则G是哈密顿图.定理5 如果G是一个n阶(n3)任意图,且对G的每个顶点x,都有deg(x) n/2,则G是哈密顿图.说明:由哈密顿图的定义可知,哈密顿图有向图必是 强连通的,哈密顿无向图必无割点.,哈密顿图(4),定理5 若G是一个哈密顿图,则对于V(G)的每个非空真子集S, 其中W(G-S)为G-S的分支数. 证明:设C是G的一个哈密顿回路,则对于V(G)的任意一个非空真子集S,均成立 由于C-
9、S为G-S的一个生成子图,因而W(G-S)W(C-S),故,9.哈密顿图(5),说明:定理5只是一个必要条件,如下的皮特森图,尽 管有 但它不是哈密顿图.,10.哈密顿图(6),应用定理5.若G是一个n(n3)阶任意图,且对G的每个顶点x,都有deg(x) n/2,则G是哈密顿图. 例1.11个学生要共进晚餐,他们将坐成一个圆桌,计划要求每次晚餐上,每个学生有完全不同的邻座.这样能共进晚餐几次.分析:如何将该问题转化成图论中的相关问题.实际上,可以这样来构造一个图,即以每个学生看作图的顶点,以学生的邻座关系作为图的的边,11.哈密顿图(7),这样学生每次进餐的就坐方式就对应一个哈密顿 回路.两
10、次进餐中,每个学生有完全不同的邻座对应着 两个没有公共边的哈密顿回路.因为每个学生都可以与 其余学生邻座,故问题转化为在图K11中找出所有没有 公共边的哈密顿回路的个数.K11中共有 条边,而K11中每条哈密顿回路的 长度为11,因此K11中最多有55/11=5条没有公共边的哈 密顿回路,构造方法为:设第一条哈密顿回路为 (1,2,3,11,1),将1固定在圆心,其余固定在圆周上,如图 (1)所示,然后将图的顶点旋转i 3600/10(i=1,2,3,4),从 而就得到另外4个哈密顿回路.,12.哈密顿图(8),1 (3,2,4,6)5 7(5,3,2,4) (2,4,6,8 )3 9(7,5
11、,3,2) (4,6,8,10)2 11(9,7,5,3)( 6,8,10,11)4 10 (11,9,7,5)(8,10,11,9)6 8(10,11,9,7) 图1,例2. 有n个人,任意两个人合起来认识其余的n-2个人,证明:当n4时,这n个人能站成一圈,使每一个人的两旁站着自己认识的人.证明:构造简单无向图G=,其中V中的n个结点表示这n个人,G中的边表示他们间的认识关系.对u,vV(G),显然d(u)+d(v)n-2,即其余n-2个结点必与u或v邻接. (1)若u,v相邻,则d(u)+d(v)2+n-2=n;,(2)若u与v不相邻,如果d(u)+d(v)=n-2,则 V-u,v中恰有
12、n-2个结点(n4,故V-u,v),其中每个结点只能与u,v中的一个结点相邻.不妨设aV-u,v,且a与u相邻,a与v不相邻,此时对于结点a与u来说,都不与v相邻,这与已知矛盾,所以d(u)+d(v)n-2,即d(u)+d(v)n-1.,若d(u)+d(v)=n-1,由于n4,在结点集V-u,v中至少有两个结点a和b,其中a与u和v都相邻,而b只与u和v中的一个相邻,不妨设b与u相邻,此时v与b和u都不相邻, 显然与已知矛盾,因此d(u)+d(v)n-1,即d(u)+d(v)n综上所述,对u,vV(G),都有d(u)+d(v)n, 因此G中存在一条哈密顿回路,从而这n个人能站成一圈,使得每一个
13、人的两旁站着自己认识的人.,一。旅行推销员问题(TSP),旅行推销员问题和中国投递员问题(NPC问题),(最邻近算法给出旅行推销员问题的近似解) 步骤如下: (1)由任意选择的结点开始,找出于该结点邻近的点,形成一条有边的初始路。 (2)以x表示最新加到这条路上的结点,从不在路上的所有结点中选一个和x最靠近的结点,把连接x与这一结点的边加到这条路上,重复这一步骤直到这条路包含图中所有结点。 (3)将连接起点与最后加入的结点之间的边加到这条路上,就得到一条Hamilton回路。(即得近似解),例1 用“最邻近算法”给出下面加权图中有充分小权的哈密顿路P76.,说明: “最邻近插入方法”是“最邻近
14、法”的一种改进方法.该方法是在每次迭代中都构成一个闭的旅行路线.求解时,在已经建立旅程以外的顶点中,寻找最临近于旅程中某个顶点的顶点,然后将其插入该旅程中,并使增加的距离尽可能小,当全部顶点收入这个旅程后,就找到了所求的最短哈密顿回路的近似解. 例2用“最邻近插入方法”找出上图中具有充分小权的哈密顿回路.,推销员问题近似算法:二边逐次修正法:,例 对以下完备图,用二边逐次修正法求较优H圈,返回,定理1 设P是加权连通图G中一条包含G的所有边至少一次的闭链,则P最优的充要条件(具有最小长度)是: (1)P中无二重以上的边; (2)在G的每个圈中C中,重复边集E的长度之和不超过这个圈的长度的一半,
15、即W(E)1/2W(C).,二.中国邮路问题,奇偶点作业法 (1)把G中所有奇度顶点配成对,将每对奇度顶点之间的一条路上的每边改为二重边,得到一个新图G1,新图G1中无奇度顶点,即G1为多重欧拉图. (2)若G1中某对结点间有多于两条边连接,则去掉其中偶数条边,留下一条或两条边连接这两个结点,直到每对相邻结点至多由2条边连接。得到图G2.,(3)检查G2的每个圈C,若某个圈C上重复边集E的权和超过这个圈的权和的一半,则将C按定理1必要性证明中的方法进行调整,直到对G2所有的圈其重复边的权和不超过此圈权和的一半,得到图G3. (4)用Fleury算法求G的Euler回路.,例3 求下图G的最优环
16、游p81.,A,V1 2 v10 4 v9 5 v8,V2 6 v11 4 v12 6 v7,5 5 4 4 7 7,V3 9 v4 3 v5 8 v6,B,4 4,5 5 4 4 7 7,9 9,88,6 4 6,3 6,C,4 4,6 4 6 6 6,5 4 4 4 4 7,9 3 8,3 6,D,59,4 4,4,33,4 5,5 3 6 4,6 6,6 6,4,2,例4.设G是分划为X,Y的二分图,且,则G一定不是哈密顿图.(利用分支数反证),例5.设简单图G=,则G是哈密顿图.,证明:G中的任意两点u,v ,其度数分别为d(u),d(v) 对于图G-u,v都有 m- d(u)-d(v)=Cn-12 +2 d(u)+d(v)=(n-1)(n-2)/2+2-(n-2)(n-3)/2 =n-2+2 =n 由定理1 可得 G是哈密顿图。,