1、附录 截面几何性质,1-1 截面的静矩和形心,一、静矩,截面对 y , z 轴的静矩为,静矩可正,可负,也可能等于零.,y,z,O,y,z,二、截面的形心,(2)截面对形心轴的静矩等于零.,(1)若截面对某一轴的静矩等于零,则该轴必过形心.,例:计算由抛物线、y轴和z轴所围成的平面图形对y轴和z轴的静矩,并确定图形的形心坐标。,解:,例:求图示阴影部分的面积对y轴的静矩。,解:,三、 组合截面的静矩和形心,由几个简单图形组成的截面称为组合截面,截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和,就等于该截面对于同一轴的静矩.,其中 Ai 第 i个简单截面面积,1、组合截面静矩,2、组合截面形心, 第 i个
2、简单截面的形心坐标,解,例1 试确定图示截面形心C的位置.,建立坐标轴,10,10,120,90,矩形 1,矩形 2,所以,法2 用负面积法求解,图形分割及坐标如图(b),一、惯性矩,1-2 极惯性矩、惯性矩、惯性积,二、极惯性矩,工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方的乘积,即,分别称为平面图形对y轴和z轴的惯性半径,例:求图示矩形对对称轴y、z的惯性矩。,解:,例:求图示圆平面对y、z轴的惯性矩。,三、惯性积,如果所选的正交坐标轴中,有一个坐标轴是对称轴,则平面图形对该对坐标轴的惯性积必等于零。,1-3 平行移轴公式,平行移轴公式:,例4 求梯形截面对其形心轴 yC 的惯性矩.
3、,解 将截面分成两个矩形截面.,所以截面的形心坐标为,20,140,100,20,2,例:求图示平面图形对y轴的惯性矩 Iy,CL6TU11,解:,CL6TU11,1-2 极惯性矩、惯性矩、惯性积,二、极惯性矩,一、惯性矩,所以,y,z,O,三、惯性积,(1)惯性矩的数值恒为正,惯性积则可能 为正值,负值,也可能等于零.,(2)若y , z 两坐标轴中有一个为截面的 对称轴,则截面对y , z轴的惯性积一 定等于零.,四、惯性半径,解,b,h,y,z,C,例 2 求矩形截面对其对称轴y, z轴的惯性矩.,解 因为截面对其圆心 O 的极惯性矩为,例 3 求圆形截面对其对称轴的惯性矩.,所以,y,
4、z,O,C(a,b),b,a,一、平行移轴公式,(a , b ) _ 形心C在 yoz坐标系下的坐标.,1-3 平行移轴公式,y, z 任意一对坐标轴,C 截面形心,C(a,b),b,a,yC , zC过截面的形心 C 且与 y, z轴平行的坐标轴(形心轴),Iy , Iz , Iyz _ 截面对 y, z 轴的惯性矩和惯性积.,已知截面对形心轴 yC ,zC 的惯性矩和惯性积,求截面对与形心轴平行的 y,z轴惯性矩和惯性积,则平行移轴公式, 截面对形心轴 yC , zC的惯性矩和惯性积.,一 、转轴公式,1-4 转轴公式,yoz为过截面上的任 一点建立的坐标系,y1oz1 为yoz 转过 角
5、后形成的新坐标系,已知截面对坐标轴轴 y, z 轴的惯性矩和惯性积,求截面对 y1,z1 轴惯性矩和惯性积,转轴公式为,显然,二 、 截面的主惯性轴和主惯性矩,主惯性轴(Principal axes ) 总可以找到一个特定的角0 , 使截面对新坐标轴y0 , z0的惯性积等于0 , 则称 y0 , z0 为主惯性轴.,主惯性矩 截面对主惯性轴的惯性矩.,形心主惯性轴当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时,则称为形心主惯性轴.,形心主惯性矩 截面对形心主惯性轴的惯性矩, 求出后,就确定了主惯性轴的位置.,(1)主惯性轴的位置 设 为主惯性轴与原坐标轴之间的夹角,则有,由此,(2)主惯性矩的计算公
6、式,(3)截面的对称轴一定是形心主惯性轴,过截面上的任一点可以作无数对坐标轴,其中必有一对是主惯性轴.截面的主惯性矩是所有惯性矩中的极值.即,求形心主惯性矩的方法,(1)确定形心的位置,(2) 选择一对通过形心且便于计算惯性矩(积)的坐标轴 y,z, 计算 Iy , Iz , Iyz,(3) 确定形心主惯性轴的方位,(4)计算形心主惯性矩,10,10,120,25,例5 计算所示图形的 形心主惯性矩.,解 该图形形心C的 位置已确定, 如图所示.,过形心C选一对座标 轴y, z 轴,计算其惯性矩(积).,20,15,80,35,在第三象限,分别由 y轴和z轴绕C点逆时针转 113.8 得出.,
7、形心主惯性轴 y0 , z0,10,10,120,70,形心主惯形矩为,C,40,20,例6 在矩形内挖去一与上边内切的圆,求图形的形心主轴.(b=1.5d),解 (1)建立坐标系如图.,(2)求形心位置.,d,b,2d,(3) 建立形心坐标系, 求,d,b,2d,附录结束,第六章 平面图形的几何性质,CL6TU1,6-1 静矩和形心,形心坐标:,CL6TU3,静矩和形心坐标之间的关系:,例:确定图示图形形心C的位置。,CL6TU5,解:,6-4 转轴公式 主惯性轴和主惯性矩,CL6TU12,转轴公式:,主惯性轴方位:,或简写成:,主惯性矩公式:,求形心主惯性轴的位置及形心主惯性矩大小的步骤:,1)找出形心位置; 2)通过形心C建立参考坐标 yoz,求出 Iy、Iz、Iyz 3)求0、Iy0、Iz0,例:求图示平面图形形心主惯性轴的方位及形心主惯性矩的大小。 P86: 7(b),CL6TU13,解:,作业 (P84-86),1(C) 2 3 5(b) 9,