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高等数学公式总结.doc

上传人:pw17869 文档编号:6537434 上传时间:2019-04-16 格式:DOC 页数:15 大小:238KB
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1、高等数学公式导数公式:基本积分表:三角函数的有理式积分: 222 11cos1sin udxtguxux , , , axactgxxctgln1)(logs)(es)(2 221)(1)(arcosinxarctgxxCaxaxdshcxadCxctgxctgddx)ln(lnsseesineco2222CaxadxaxadxCrctgtxxdctgCrcsinl21n1slsenilcs22Caxaxdax axaxdaIndInnn rcsinl22)(1cossi2 22222020一些初等函数: 两个重要极限:三角函数公式:诱导公式:函数角 A sin cos tg ctg- -si

2、n cos -tg -ctg90- cos sin ctg tg90+ cos -sin -ctg -tg180- sin -cos -tg -ctg180+ -sin -cos tg ctg270- -cos -sin ctg tg270+ -cos sin -ctg -tg360- -sin cos -tg -ctg360+ sin cos tg ctg和差角公式: 和差化积公式: 2sini2cosco2sin2sincoictgtctg1)(1sincos)cos(ini xarthcxsechstxeshxxx1ln2)(l:2:2)双 曲 正 切双 曲 余 弦双 曲 正 弦 .59

3、047182.)1(limsin0exx倍角公式:半角公式: cos1insico12cos1insico12 scsssin tgtg 正弦定理: 余弦定理: RCBbAa2sinisin Cab22反三角函数性质: rctgxarctgxxxarcosrci 高阶导数公式莱布尼兹(Leibniz)公式: )()()2()1()(0)()( !)1()! nknnnnnkk uvuknvuvuCv 中值定理与导数应用: 拉 格 朗 日 中 值 定 理 。时 , 柯 西 中 值 定 理 就 是当柯 西 中 值 定 理 :拉 格 朗 日 中 值 定 理 :xFfabfab)(F)()( )曲率:

4、23313cos4cosiniintgt22 2221sicosin1cossinitgtt.1;0.)1(limMsM:.,13202aKayds MsKtgydxs 的 圆 :半 径 为直 线 :点 的 曲 率 : 弧 长 。:化 量 ;点 , 切 线 斜 率 的 倾 角 变点 到从平 均 曲 率 : 其 中弧 微 分 公 式 : 定积分的近似计算: ba nnnba nnba n yyyyxff yyxf )(4)(2)(3)( 21)()( 13124011010 抛 物 线 法 :梯 形 法 :矩 形 法 :定积分应用相关公式: babadtfxfykrmFApsW)(1),221均

5、 方 根 :函 数 的 平 均 值 : 为 引 力 系 数引 力 :水 压 力 :功 :空间解析几何和向量代数:。代 表 平 行 六 面 体 的 体 积 为 锐 角 时 ,向 量 的 混 合 积 : 例 : 线 速 度 :两 向 量 之 间 的 夹 角 : 是 一 个 数 量 轴 的 夹 角 。与是向 量 在 轴 上 的 投 影 :点 的 距 离 :空 间 ,cos)( sin,cos,Pr)(Pr ,cos)()()(2 2222121 21212121 bacbaccba rwvkjic babababjjj uABABzyxMdzyxzyxzyx zyxzyx zyxzyxuu ( 马

6、鞍 面 )双 叶 双 曲 面 :单 叶 双 曲 面 :、 双 曲 面 : 同 号 )(、 抛 物 面 :、 椭 球 面 :二 次 曲 面 : 参 数 方 程 :其 中空 间 直 线 的 方 程 : 面 的 距 离 :平 面 外 任 意 一 点 到 该 平、 截 距 世 方 程 :、 一 般 方 程 : , 其 中、 点 法 式 :平 面 的 方 程 : 13,2211 ;,1302 ),(,)()()(12222 0000 2200 0000 czbyaxqpzyxcba ptznymxpnmstpznymxCBADzyxdczbyaxDCBA zyxMCBAnz多元函数微分法及应用zyzx

7、yxxyxyxFzyxF dFdddyvdvyudxvxzuxzfz tvtdttvu xffzdzududyxzd , , 隐 函 数 , , 隐 函 数隐 函 数 的 求 导 公 式 : 时 ,当 :多 元 复 合 函 数 的 求 导 法全 微 分 的 近 似 计 算 : 全 微 分 : 0),( )()(,),(),()(, ),(),(2),(1),(1,)(,)( ,)(0),(yuGFJyvvyGFJyuxxxx GFvuvJvuy vu 隐 函 数 方 程 组 :微分法在几何上的应用: ),(),(),(3 0)(,(,2 )(),()(1,0),( ,0),( 0)()()(

8、(,)(000 0000 000 0000 zyxFzyxzyxF zyxFzyxzyxzyxnMzyxF GFGFTGzyxFztytxt tyxzytzytx zzyxzy 、 过 此 点 的 法 线 方 程 : :、 过 此 点 的 切 平 面 方 程、 过 此 点 的 法 向 量 : , 则 :上 一 点曲 面 则 切 向 量若 空 间 曲 线 方 程 为 :处 的 法 平 面 方 程 :在 点 处 的 切 线 方 程 :在 点空 间 曲 线 方向导数与梯度:上 的 投 影 。在是单 位 向 量 。 方 向 上 的, 为, 其 中:它 与 方 向 导 数 的 关 系 是 的 梯 度 :

9、在 一 点函 数 的 转 角 。轴 到 方 向为其 中 的 方 向 导 数 为 :沿 任 一 方 向在 一 点函 数 lyxflf ljieyxflf jyfxyxpyxfzl yffllfz),(grad snco),(grad,),(),( sinco),(),( 多元函数的极值及其求法: 不 确 定时 值时 , 无 极为 极 小 值为 极 大 值时 ,则 : , 令 :设 ,0),( ),(,),(,),(0),(),(202 0000BACyxA CyxfByxfAfff xyx重积分及其应用: DzDyDx zyxDyDx DyxDD adfaFayxdfFayxdfF FMzo I

10、yI dxydyxzAyxfzrdrfdf232232232 2222 )(,)(,)(, )0( ),(,),(,),(1),()sin,co(),( , , , 其 中 :的 引 力 :轴 上 质 点平 面 ) 对平 面 薄 片 ( 位 于 轴 对 于轴对 于平 面 薄 片 的 转 动 惯 量 : 平 面 薄 片 的 重 心 :的 面 积曲 面柱面坐标和球面坐标: dvyxIdvzxIdvzyI MMyxM drrFddrrFdyzf vrxzrfzF dzrFdxyzfryx zyx )()()( 1,1,1 sin),(sin),(),( siicosin),si,(),( ,),(,

11、(,sinco 222 20),022 2, , 转 动 惯 量 : , 其 中 重 心 : , 球 面 坐 标 :其 中 : 柱 面 坐 标 :曲线积分: )()()(),(),( ,)(, 22 tyxdtttfdsyxf tytxLfL 特 殊 情 况 : 则 : 的 参 数 方 程 为 :上 连 续 ,在设 长 的 曲 线 积 分 ) :第 一 类 曲 线 积 分 ( 对 弧。, 通 常 设 的 全 微 分 , 其 中 :才 是 二 元 函 数时 ,在 :二 元 函 数 的 全 微 分 求 积 注 意 方 向 相 反 !减 去 对 此 奇 点 的 积 分 , , 应。 注 意 奇 点

12、, 如, 且内 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数在,、 是 一 个 单 连 通 区 域 ;、 无 关 的 条 件 :平 面 上 曲 线 积 分 与 路 径 的 面 积 :时 , 得 到, 即 :当 格 林 公 式 :格 林 公 式 : 的 方 向 角 。上 积 分 起 止 点 处 切 向 量 分 别 为和, 其 中系 :两 类 曲 线 积 分 之 间 的 关 , 则 :的 参 数 方 程 为设标 的 曲 线 积 分 ) :第 二 类 曲 线 积 分 ( 对 坐0),(),(),( ),( )0,(),(),(21 212, )()( )cos(),),(),(),()(0),),0 yxdy

13、xQyPyxu uQyPxQGyxPG ydxdxyADyPxQy QPQdyxdL dPttttPdyxQyPtLx DLDLLLL 曲面积分: dsRQPRdxyQzPdyxzdzxyQdyzPxzxRdxyzR dxyzRdzxyQdyP dfszxfzxyzy xyDDD )cosco(),(,),( , ),(),( ),(),(),(,1,),( 22 系 :两 类 曲 面 积 分 之 间 的 关 号 。, 取 曲 面 的 右 侧 时 取 正 号 ;, 取 曲 面 的 前 侧 时 取 正 号 ;, 取 曲 面 的 上 侧 时 取 正 , 其 中 :对 坐 标 的 曲 面 积 分 :

14、对 面 积 的 曲 面 积 分 :高斯公式: dsAvsRQPdsAsnzRyQx dsRQPRdxyzPdyvzyxPnn i )cocos( .,0iv,di )coscos()(成 :因 此 , 高 斯 公 式 又 可 写 ,通 量 : 则 为 消 失的 流 体 质 量 , 若即 : 单 位 体 积 内 所 产 生散 度 : 通 量 与 散 度 :高 斯 公 式 的 物 理 意 义 斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系: dstARzQdyPxARQPzyx yPxQRzPyRzQPxdxyzdy RdzyPxRPzQyR 的 环 流 量 :沿 有 向 闭 曲 线向 量 场旋 度 : ,

15、 , 关 的 条 件 :空 间 曲 线 积 分 与 路 径 无上 式 左 端 又 可 写 成 : kjirot coscos)()()( 常数项级数: 是 发 散 的调 和 级 数 :等 差 数 列 :等 比 数 列 : nqqnn13212)(112 级数审敛法:散 。存 在 , 则 收 敛 ; 否 则 发、 定 义 法 : 时 , 不 确 定时 , 级 数 发 散时 , 级 数 收 敛, 则设 :、 比 值 审 敛 法 : 时 , 不 确 定时 , 级 数 发 散时 , 级 数 收 敛, 则设 : 别 法 ) :根 植 审 敛 法 ( 柯 西 判、 正 项 级 数 的 审 敛 法 nnnn

16、susUulim;31li21lim1211 。的 绝 对 值其 余 项, 那 么 级 数 收 敛 且 其 和如 果 交 错 级 数 满 足 莱 布 尼 兹 定 理 :的 审 敛 法或交 错 级 数 1113243 ,0li )0,( nnn n urrusuu绝对收敛与条件收敛: 时 收 敛 时 发 散 级 数 : 收 敛 ; 级 数 : 收 敛 ;发 散 , 而调 和 级 数 : 为 条 件 收 敛 级 数 。收 敛 , 则 称发 散 , 而如 果 收 敛 级 数 ;肯 定 收 敛 , 且 称 为 绝 对收 敛 , 则如 果 为 任 意 实 数 ;, 其 中1)1(1)()2()1(232

17、pnpnnun 幂级数:01)3(lim)3(111 1121032 RaaRRxxaxaxx nnnn 时 ,时 ,时 ,的 系 数 , 则是, 其 中求 收 敛 半 径 的 方 法 : 设 称 为 收 敛 半 径 。, 其 中时 不 定时 发 散时 收 敛, 使在数 轴 上 都 收 敛 , 则 必 存 收 敛 , 也 不 是 在 全, 如 果 它 不 是 仅 在 原 点 对 于 级 数 时 , 发 散时 , 收 敛 于 函数展开成幂级数: nnn nnxfxffxfx RffR xfxfxxf !)0(!2)0()(0)(0 lim,()!1 )(!)(!2)()10( 00)(2000时

18、 即 为 麦 克 劳 林 公 式 : 充 要 条 件 是 :可 以 展 开 成 泰 勒 级 数 的余 项 :函 数 展 开 成 泰 勒 级 数 :一些函数展开成幂级数: )()!12()!53sin )1(1)(1)( 2 xnxxx nmmm 欧拉公式: 2sincosincoixiixiix exe 或三角级数: 。上 的 积 分 在任 意 两 个 不 同 项 的 乘 积正 交 性 : 。,其 中 , 0 ,cos,in2cos,incs,i1 )in()i()( 100 xxxtAbaAxbattf nnn傅立叶级数:是 偶 函 数 ,余 弦 级 数 : 是 奇 函 数 ,正 弦 级 数

19、 : ( 相 减 )( 相 加 ) 其 中 , 周 期 nxaxfnxdfab bffnxdfbfanxbxfnn nnnnnn cos2)(2,10cos)(20 i3,i124316246142853)3,1(si)(12,0co)si(2)( 000222210 周期为 的周期函数的傅立叶级数:l2llnlnnnndxlfblfa llxblxxf )3,21(si)(1,0co2)si(2)(10 其 中 , 周 期微分方程的相关概念:即 得 齐 次 方 程 通 解 。 ,代 替分 离 变 量 , 积 分 后 将, 则设 的 函 数 , 解 法 :, 即 写 成程 可 以 写 成齐 次

20、 方 程 : 一 阶 微 分 方 称 为 隐 式 通 解 。 得 : 的 形 式 , 解 法 :为: 一 阶 微 分 方 程 可 以 化可 分 离 变 量 的 微 分 方 程 或 一 阶 微 分 方 程 : uxyudxudxuxdyxu xyyfyCxFGdxfg dxfgyQdyPyf )()(,)()()( )()(0,),( 一阶线性微分方程: )1,0()(2 )0)(, )(1 )()(nyxQPdxy eCdxeQCxxyPdx dxPPd,、 贝 努 力 方 程 :时 , 为 非 齐 次 方 程 ,当 为 齐 次 方 程 ,时当、 一 阶 线 性 微 分 方 程 :全微分方程:

21、 通 解 。应 该 是 该 全 微 分 方 程 的 , 其 中 : 分 方 程 , 即 :中 左 端 是 某 函 数 的 全 微如 果 Cyxu yxQuyxPyxdP),( ),(),(0),(,)(二阶微分方程: 时 为 非 齐 次时 为 齐 次, 0)()()(2 xfyxQdPx二阶常系数齐次线性微分方程及其解法: 212,)(2 ,(*)0)(1,0(*)r yrqpqyp式 的 两 个 根、 求 出 的 系 数 ;式 中的 系 数 及 常 数 项 恰 好 是, 其 中、 写 出 特 征 方 程 :求 解 步 骤 : 为 常 数 ;, 其 中 式 的 通 解 :出的 不 同 情 况 , 按 下 表 写、 根 据 (*),321r的 形 式,1r(*)式的通解两个不相等实根 )04(2qp xrxrecy21两个相等实根 r1)(21一对共轭复根 )(2241pqpirir, , )sinco2xeyx二阶常系数非齐次线性微分方程 型为 常 数 ;型 , 为 常 数, sin)(cos)()(,xPxexffylm

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