1、1数列知识点及题型总结等差数列知识要点1递推关系与通项公式 mnaddnmann1;)(111变 式 ：推 广 ：通 项 公 式 ：递 推 关 系 ： 为 常 数 ）即 ：特 征 ： kfdn,()()1是数列 成等差数列的充要条件。),为 常 数， （kana2等差中项：若 成等差数列，则 称 的等差中项，且 ； 成等差数列是 的充要cb,bc与 2cabb, cab2条件。3前 项和公式n； 2)(1aSn2)1(1dnaSn),()(,)2212为 常 数即特 征 ： BAnSfdnn是数列 成等差数列的充要条件。a4等差数列 的基本性质n ),(Nqpm其 中 反之，不成立。naaqp
2、m， 则若 dan)( mn22 仍成等差数列。nnnSS232,5判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：是等差数列）常 数 ） （ Ndan(1 na中项法：是等差数列)221nn（ n通项公式法：是等差数列),(为 常 数bkanna前 项和公式法：是等差数列),(2为 常 数BASnn练习：1等差数列 中，na的 值 为则 191208643,aA14 B15 C16 D172等差数列 中， ，则前 项的和最大解： na12910S，3已知等差数列 的前 10 项和为 100，前 100 项和为 10，则前 110 项和为 4设等差数列 的前 项和为 ，已知nn 013123Sa，
3、求出公差 的范围，d指出 中哪一个值最大，并说明理由。1221S， 一、 选择题1 已知等差数列 中， 等于（ ）na1249716a， 则， A15 B30 C31 D643二、解答题2 等差数列 的前 项和记为 ，已知nanS503210a，求通项 ；若 =242，求n3已知数列 中， 前 和na，31n1)(21naS求证：数列 是等差数列求数列 的通项公式n设数列 的前 项和为 ，是否存在实数 ，使得 对一切正整数 都成立？若存在，1nanTMTnn的最小值，若不存在，试说明理由。M4知识要点1 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数
4、列，这个常数叫做等比数列的公比，记为 。)0q， （2 递推关系与通项公式 mnnqa推 广 ：通 项 公 式 ：递 推 关 系 ： 113 等比中项：若三个数 成等比数列，则称 为 的等比中项，且为 是成等比数列的cb,bca与 acbacb2， 注 ：必要而不充分条件。4 前 项和公式 )1(1)()(1 qaqanSn5 等比数列的基本性质， ),(Npm其 中 反之不真！qnaapnm， 则若 )(2aqmnn， 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列。n 仍成等比数列。，时 ， nnnSSq23216 等比数列与等比数列的转化 是等差数列 是等比数列； na)10(ccna，
5、 是正项等比数列 是等差数列；lognc， 既是等差数列又是等比数列 是各项不为零的常数列。n na7 等比数列的判定法定义法： 为等比数列；（ 常 数 ）qan1n中项法： 为等比数列； )0(221nnan通项公式法： 为等比数列；前 项和法：为 常 数 ）qk,an为 常 数 ）（ qkSnn,)1(为等比数列。na5练习：1 103107422)( nnf 设 )18(72)18(72)(431nnDCBAfN ）（等 于， 则2 已知数列 是等比数列，且 na mmSS320， 则，二、性质运用例 1：在等比数列 中，n 14361 naa，求 ，na若 nTaT求,lglg21典例
6、精析一、 错位相减法求和例 1：求和： nnaaS321二、 裂项相消法求和例 2：数列 满足 =8， （ ）n1 0214 nna， 且 N求数列 的通项公式；a一求数列 的最大、最小项的方法：n1、比差法： 01a例：已知数列 的通项公式为： ，求数列 的最大项。 n 329nan na2、比商法： ( )11na例：已知数列 的通项公式为： ，求数列 的最大项。 nna10)(9na3、利用函数的单调性： 研究函数 的增减性)(fnf例：已知数列 的通项公式为： ，求数列 的最大项。na287n n二数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构
7、。61、分组法求数列：通项虽然不是等差等比数列，但通过拆分可以化为由等差、等比的和的形式，再分别用公式法求和。例：已知数列 的通项为： ，求nanna32S2、错位相减法：利用等比数列前 项和公式的推导方法求解，一般可解决一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和。说明：（1）一般地，如果数列 是等差数列， 是等比数列且公比为 ，求数列 的前 项和时，可采nnbqnba用这一思路和方法。具体做法是：乘以常数 ，然后错位相减，使其转化为等比数列问题求解。q要善于识别题目类型，特别是当等比数列部分中公比为负数的情形更值得注意。（2 ）在写出 “ ”与“ ”的表达式时，应特别注意将两式“错项
8、对齐” ，以便于下一步准确写出“ ”nSnq nqS的表达式；3、裂项相消法：将数列的通项裂成两项之差求和时，正负相消，剩下首尾若干若。常见裂项有： 、)1()(1knkn )(1nkn例：已知数列 的通项为： ，求前 和 a)(aS4、倒序相加法：利用等差数列前 项和公式的推导方法求解，将数列正着写，倒着写再相加。典例精析例一：已知正项数列 的前 项和为 ， 的等比中项，nanS2)1(4na与是求证：数列 是等差数列；若 ，数列 的前 项和为 ，求nb2nbnT在的条件下，是否存在常数 ，使得数列 为等比数列？若存在，试求出 ；若不存在，说明理2na由。通项 与前 n 项和 的关系任意数列
9、 的前 n 项和 ；注意：由前 n 项和 求数列通项时，要分三步进行：（1）求 ，（2）求出当 n2 时的 ，（3）如果令 n2 时得出的 中的 n=1 时有 成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只7能写成分段的形式.题型一 归纳、猜想法求数列通项题型二 应用 求数列通项)2(11nSann例 2已知数列 的前 项和 ，有 ，求其通项公式.3nS经典例题精析类型一：迭加法求数列通项公式1在数列 中， ， ，求 .例：已知数列 ， ， ，求 .类型二：迭乘法求数列通项公式2设 是首项为 1 的正项数列，且 ，求它的通项公式 .类型三：倒数法求通项公式3数列 中， , ，求 .8类型四：待定系数法求通项公式4已知数列 中， ， ，求 .例：已知数列 满足 ,而且 ，求这个数列的通项公式 .类型五： 和 的递推关系的应用5已知数列 中， 是它的前 n 项和，并且 , .(1)设 ,求证：数列 是等比数列；(2)设 ，求证：数列 是等差数列；(3)求数列 的通项公式及前 n 项和.
