1、 2010 届校内数学建模竞赛届校内数学建模竞赛题目名 称 ：动车组票价定价的规划参 赛 队 号 ： zjtiemath11队员姓名：殳惠东、阮道明、章程竞赛类别：申请参加国家竞赛 不申请参加国家竞赛浙江经济职业技术学院数学建模基地组委会制二一年六月选择题号（在方格内打）乙组 A B 2010 届校内数学建模竞赛届校内数学建模竞赛题 目 动车组票价定价的规划摘 要：本文探讨解决在充分考虑出行者和铁路客运部门两方面的利益情况下，给出一个折扣的铁路客票，既能保障出行者使自己的出行费用最小，让多数旅客满意，又能使铁路客运部门在运输市场中取得的经济效益最大。在如下条件下制定出最优策略的铁路客票价格：在
2、铁道部目前已经公布的车票价格，根据不同时期、不同季节、不同线路对车票价格进行调节，但调节范围上限在公示票价，下限则不低于最高价格的六折。而根据统计数据可知，旅客能够承受的平均运营价格为：0.2465 元/公里。问：如何在以最快速度收回成本，并让六成旅客对旅行价格满意（平均运营价格浮动不超过 15%）条件下的折扣？四趟动车组 D1，D23，D25，D37 均采用统一或不同的折扣即合理性？题设的约束条件下，我们认为这个问题基本上是价格最优化问题。于是采用优化假设的方法，按照出行者出行费用最小，铁路客运部门取得最大经济效益原则，同时优化统一或不同的折扣，设计出近似的最优价格，以此计算出出行者和铁路客
3、运部门两方面都能接受的折扣价格。对于问题一，我们通过在 D1 列车满足旅客人数与浮动价格的条件下进行的分析，即在以最快速度收回成本，并让六成旅客对旅行价格满意（平均运营价格浮动不超过 15%）条件下的折扣，这时就是计算 D1 列车最大利润时的折扣价。通过数型结合的分析，去确定最后的价格。对于问题二, 计算四趟动车组 D1，D23，D25，D37 均采用统一折扣。我们通过数型结合，在计算出 D1、D23、D25、D37 四辆列车分的利润关系式，在把四个关系式结合成总的利润式，计算在总利润最大时的折扣，即在最快回收成本时的折扣。对于问题三，计算四趟动车组 D1，D23，D25，D37 采用不同折扣
4、率，我们也是运用数型结合的方法，分别计算出 D1、D23、D25、D37 四辆列车分的利润关系式，再求出它们各自的最大利润，即最快回收成本时得折扣。关键词：票价，最优折扣，线性规划，数型结合一、 问题重述在 2007 年 4 月 18 日，中国铁路迎来第六次大面积提速，投入使用的 D 字头列车的时速将达 200 公里及以上，平均每公里投资约 495 万元。单列 CRH 列车的投资是 2 亿元。动车组的运营成本每趟 10 万元/每千公里。在人们感叹火车速度提高的同时，D 字头列车票价的提高却引来了多方质疑。以北京局的几趟动车组为例，由于高票价问题使得单次列车承运人数不到六成。4 月中旬，铁道部在
5、接受媒体采访时称，动车组票价的浮动各铁路局可以自己决定是否推出月票或其他优惠措施。铁道部目前已经公布的车票价格只是公示价格，并不一定是最高价格，各地铁路运输单位可以根据不同时期、不同季节、不同线路对车票价格进行调节，但调节范围上限在公示票价，下限则不低于最高价格的六折。因而将北京局的四趟线路近几年的 4 月 20-6 月 19 日的平均乘车人数进行了统计。根据统计数据可知，旅客能够承受的平均运营价格为：0.2465 元/公里。要在充分考虑出行者和铁路客运部门两方面的利益情况下，给出一个折扣的铁路客票价格制定的最优策略。既能保障出行者使自己的出行费用最小，让多数旅客满意，又能使铁路客运部门在运输
6、市场中取得的经济效益最大。问题 1 按照以上规定，假设以最快速度收回成本，并让六成旅客对旅行价格满意（平均运营价格浮动不超过 15%），讨论北京局的动车组 D1 的折扣。问题 2 假设北京局的四趟动车组 D1，D23，D25，D37 均采用统一折扣。给出统一的折扣率。并说明方法的合理性。问题 3 假设北京局的四趟动车组 D1，D23，D25，D37 采用不同折扣率。给出一个动车组票价的调整方案，并说明合理性。二、问题假设（1）所给数据具有代表性，且认为是准确可靠的。（2）不考虑具体乘坐是卧铺，软卧还是软座，均假设每列车只有卧铺车。（3）动车在运行时不出现较大的问题。（4）铁路客运部门在运输市场
7、中所需的平均成本以及所取得的经济效益不变。（5）旅客能够承受的平均运营价格变动浮动不大。（6）两趟车之间没有停顿。三、符号说明: 平均运营价格x：每趟动车运营的利润 y: 每趟动车的旅客人数 p：列车的固定成本f：时间s：列车来回一趟d：运营价格的折扣t四、问题分析由以上给出的资料中我们可以看出，此题是关于价格的线性规划问题，在网上查阅对照有关于线性规划得材料，可以得出题目是要求出最大利润，在关于现有价格与原价格得比较得出给出的折扣是多少，才能保障出行者使自己的出行费用最小，让多数旅客满意，又能使铁路客运部门在运输市场中取得的经济效益最大。问题一的分析：首先得出旅客人数与运营价格的关系，再得出
8、 D1 列车每趟车所能获得的最大利润，则此时的运营价格也就能相应的求出，然后再根据 D1列车来回一趟的时间，计算出在 D1 列车每趟车所能获得的最大利润时需要多少时间才能回收总成本。最后在根据所画得图，通过数型结合，验证所求的最大利润在所要求的区间内是正确的。问题二的分析：所要求的是北京局的四趟动车组 D1，D23，D25，D37 均采用统一折扣，则首先求出每辆列车的运营价格，再通过题一中的人数与价格的关系，代入，求出 D1、D23、D25、D37 每辆列车每趟所能获得的利润。然后再求出四辆列车的总关系式。最后通过数型结合，画图得出当总利润最大时的统一折扣。问题三的分析：所要求的是北京局的四趟
9、动车组 D1，D23，D25，D37 均采用不同的折扣，则首先则首先求出每辆列车的运营价格，再通过题一中的人数与价格的关系，代入，求出 D1、D23、D25、D37 每辆列车每趟所能获得的利润。然后再分别求出四辆列车的分别在最大利润时的折扣。最后画图得出每辆列车的折扣是在让旅客满意是所能得到的最大的利润。五、模型的建立与求解问题 1：根据以上内容以及条件，设 为折扣后的运营价格， 为旅客能够承受x1x的平均营价格， 为平均运营价格， 为 D1 列车每趟动车运营的利润， 2x1y 1pD1 每趟动车的旅客人数， 为时间， 为 D1 列车来回一趟车的时间，s1s为收回总的成本的时间， 为列车的固定
10、成本， 为列车来回一趟。总s f d由题意得： 元2465.01x 公 里元千 公 里万 元 /10/2 设 bkxp1有已知条件可得： bk2465.0687)1.(43求得 9k2387b则 238761xp则 D1 列车每趟动车运营的利润 )(6211xpy代入 8971x得 0)23876(xy )11 x86020795986xy因为由题意所要求的是最大利润，所以 max 121 xts. 83475.02095.由题意得 小 时分 137851s亿亿万 96.428649f当 时，205.x26016904/9.4 )2850/(./max1 亿 亿yfd年天 小 时总 5.391
11、44871sx1y根据图所得当 时，D1 列车每趟动车运营的利润最大2095.x元，铁路客运部门在第 收回成本，则此时的折845max1y 年5.39扣为 。%问题 2：根据以上内容以及条件，设 为折扣后的运营价格价格， 为旅客能够承x1x受的平均营价格， 为平均运营价格， 为列车的总利润， D1 列车每趟2xyy动车运营的利润， D23 列车每趟动车运营的利润 , D25 列车每趟动车运y 3营的利润, D37 列车每趟动车运营的利润 , D1 每趟动车的旅客人数，4 1p为运营价格的折扣。t由题意得 tx26137tx418同时由问题一得 2387697xp则 )(6211xy代入 8得
12、1026)38761697(1 tty )288540501 tty)(86212xp代入 387971得 1037)2837689(2 tty )10372869(2 ty 687430822 tt)(86213xpy代入 387971得 1046)24668(3 tty )042387897(3 tty 8692052)(86214xpy代入 387971得 1084)21468(4 tty )108423716897(4 tty 6851053424 tt因为由题意所要求的是四辆列车 D1、D23、D25、D37 的最大总利润，所以max4321yyy860381254105364960
13、1278 8607284305071562622 tt tty 820378107 ttyts.6.0t1y tt根据图所得，当 时 D1、D23、D25、D37 四辆列车每趟所得的利75.0t润 元，所以北京局的四趟动车组416386maxytD1，D23，D25，D37 均采用统一折扣七五折。问题 3：根据以上内容以及条件，设 为折扣后的运营价格价格， 为旅客能够承x1x受的平均营价格， 为平均运营价格， 为列车的总利润， D1 列车每趟2xyy动车运营的利润， D23 列车每趟动车运营的利润 , D25 列车每趟动车运y 3营的利润, D37 列车每趟动车运营的利润 , D1 每趟动车的
14、旅客人数，4 1p为折扣， 为 D1 列车的折扣， 为 D23 列车的折扣， 为 D25 列车的折t1t 2t 3t扣， 为 D37 列车的折扣。4由题意得 126tx2374tx418同时由问题一得 2387697xp1) )(6211xy代入 8得 1084)237184697(1 tty )8 11 860540756201621 ttyts0t根据图所得，当 时 D1 列车每趟所得的利润173.0t元。4670234max1y2) )(8212xp代入 3876971得 1084)2148( 22 tty )37869722 86084630 222 ttyts. 16.tt1y根据图
15、所得，当 时 D23 列车每趟所得的利润173.0t元。263495max2y3) )(8213xp代入 3876971得 1084)2148( 333 tty )078697( 333 tt 8696102420543233 ttyts. 16.0tt1y根据图所得，当 时 D25 列车每趟所得的利润173.0t元。15796max3y4) )(86214xp代入 387971得 1084)237146(4 tty )18978 44 65105324 ttyts.6.tt1y根据图所得，当 时 D37 列车每趟所得的利润173.0t元。 32896max4y六、结果分析与评价结果分析：在模
16、型(1)中，要求 D1 列车以最快速度收回成本，并让六成旅客对旅行价格满意（平均运营价格浮动不超过 15%） ，这时因为有两个要求，这在计算时就要在铁路客运部门得到最大利润时也要满足旅客量要求的折扣。最后通过数型结合求出 D1 列车在得到最大利润时的折扣价。在模型(2)中，则是分析在所要求的北京局的四趟动车组 D1，D23，D25，D37 均采用统一折扣，这时关于要满足的旅客量要求则不需要了，这时只需要求出四辆列车的最大利润，就是能在最短时间内能回收总成本，这就要先求出四辆列车的分别利润关系式，再通过总利润的关系式求出最大利润，以及这时的统一折扣价。在模型(3)中，所要求的是北京局的四趟动车组
17、 D1，D23，D25，D37 均采用不同的折扣，这时则是分别求出四辆列车在其各自的总利润是不同的折扣价。关于三个模型，它们分别满足的是一辆列车在满足旅客乘坐两的条件下最快回收成本，四两辆车采用同一折扣的条件下最快回收成本以及四辆列车根据自身的因素在不同折扣的条件下最快回收成本。优点：1、该模型符合客观性和实际性，易于推广到其他行业关于价格折扣与其他t1y方面。2、把原问题进行分析剖解，用换位思考的方法解决了问题，大大简化了问题的复杂性。3、运用所学知识，把语言文字转化为数学符号，即用图表的形式代替搜索路线的具体情况。缺点：1、所有的价格折扣都只是在理想状态的设想与分析，在实际过程中还需改进。
18、2、忽略列车的停车时间，这时不合理的， 。3、在 2、3 两模型中未考虑到旅客的满意程度结束语：在我们的现实社会中，关于列车价格的调整是比较常见的，尤其是新型列车，这就在票价的定价方面存在很多的结论与不同的结果，而我们得模型是优先考虑铁道部门的前提下得出的。从计算结果来看，我们的结论也是比较合理的。七、参考文献1全国大学生数学建模竞赛组委会编， 全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 ，北京：中国物价出版社，2002。2 刘锋， 数学建模 ，南京：南京大学出版社，2005。3 湖北省大学生数学建模竞赛专家组组编， 数学建模 ，武昌喻家山：华中科技大学出版社，2006。4 王冬琳， 数学建模及实验 ，北京：国防工业出版社，2004
