1、概率论与数理统计,教 师: 郑 立 笋数学专业教研室数理楼224B,教材：概率论与数理统计（第四版）吴赣昌 编 中国人民大学出版社,参考书：1. 概率论与数理统计（第二版）范大茵 陈永华 编 浙江大学出版社2003 2.大学数学学习方法指导丛书概率论与数理统计 李贤平 沈崇圣 陈子毅 编著 复旦大学出版社,引 言,?,概率统计是研究什么的,客观世界中发生的现象,确定性的在一定条件下必然发生的现象 随机性的在一定条件下，具有多种可能的结果，但事先又不能预知确切的结果 1)拋掷一枚硬币，其结果可能是图案面朝上(数字面朝上)，也可能是图案面朝下(数字面朝下)，并且在拋掷之前无法预知拋掷的结果。 2)
2、足球比赛，其结果可能是胜、平、负，但在比赛之前无法预知其结果。 3)投掷一个骰子，其结果有6种，即可能出现1,2,3,4,5,6点，但每次投掷之前是无法预知投掷的结果的。 4)股市的变化。,说明：随机现象是广泛存在的。,一个射手在一次射击中可能击中目标，也可能未击中目标，但在一个短时间内，每天的命中率却是稳定的。 同一门炮在同样发射条件下射出的许多炮弹其落点不一样。虽然落点不同，但形成一个椭圆-落点分布。 命中率的稳定性与落点分布的稳定性都说明随机现象中蕴含着某种确定的规律。,这种规律只有在大量的试验和观察中才能呈现出来，这种规律性叫做统计规律性。概率统计研究和揭示随机现象统计规律性的学科应用
3、范围广泛。例如：气象预报、水文预报、地震预报、产品质量检验、产品的可靠性评估、寿命预测、生物统计、卫生统计、保险、金融等各领域。经典的数学理论如微积分学、微分方程等都是研究确定性现象的有力的数学工具。,例1：外语考试卷子中有5道题，每道题列出三种可能的答案，其中仅有一个答案正确，如果让一个没有学过这种外语的人来答卷，问他能答对至少4题的概率是多少？例2：有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的酒各4杯，如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是成功一次。某人声称他通过品尝能区分两种酒，他连续试验10次，成功3次，试推断他是猜对的，还是他确有区分的能力。例3：某商场计划于5月1日在户外搞一次促销活动，
4、统计资料表明，如果在商场内搞促销活动，可获得经济效益3万元；在商场外搞促销活动，如果不遇到雨天可获得经济效益12万元，遇到雨天则会带来经济损失5万元，若前一天的天气预报称当日有雨的可能性 为40%，则商场应如何选取促销方式？,第一章 随机事件及其概率,随机事件及其运算 频率与概率 古典概型和几何概型 条件概率 事件的独立性,1.1随机试验、样本空间、随机事件,一、随机试验（简称“试验”） 试验：一个盒子中有10个完全相同的白球，搅匀后任意摸出一球 试验：一个盒子中有10个大小完全相同的球，5个白色，5个黑色，搅匀后任意摸出一球随机试验的特点(p2) (1)试验可以在相同条件下大量重复进行； (
5、2)每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以知道试验所有可能的结果可观察性； (3)进行一次试验之前不能确定出现的是哪个结果，但若进行大量重复试验的话，其可能结果的出现又有一定的统计规律性。 满足上述特点的试验称为随机试验，一般记为E。,E1：拋掷一枚质地均匀的硬币，观察正面和反面出现的情况； E2：掷一颗质地均匀的骰子，观察其出现的点数； E3：记录某网站一分钟内受到的点击次数； E4：从某品牌的电视机中任取一台，观察其使用寿命。,随机试验的例子,随机试验,二、样本空间(p2),1、样本空间：由随机试验的一切可能的结果组成的一个集合称为试验E样本空间，记为S或；2、样本点：试验的每一个可能的
6、结果（或样本空间的元素）称为一个样本点，记为 。,试给出E1E4的样本空间,幻灯片10,三、随机事件,例1.1 将一颗骰子连掷两次，依次记录所得点数，则所有可能出现的结果即该试验的样本空间是：,其中有36个可能的结果，即36个样本点。 每做一次试验，这36个样本点必有一个且仅有一个出现。在很多时候，我们是对样本空间中某些子集感兴趣，称之为事件。 如事件A：两次投掷所得点数之和为8。事件B：两次投掷所得点数相等。 A发生(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) 记作：A=(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)，A是S的子集。 类似地，B=(1,1),(2,2
7、),(6,6)，B也是S的子集。,1、随机事件(p3)随机试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件。通常用大写字母A、B、C表示。任何事件均可表示为样本空间的某个子集. 称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素出现。特殊地，当一个事件仅包含S的一个样本点时，称该事件为基本事件(或简单事件)。 2、两个特殊事件必然事件S S包含所有的样本点，是S自身的子集，每次试验它总是发生的，称为必然事件。不可能事件 空集不包含任何样本点，它是S的子集，每次试验总是不发生，称为不可能事件。,课堂练习： 从通常的一副52张扑克牌中抽取一张，在下列情况下描述样本空间： (1)不考虑牌的花色； (2)
8、考虑牌的花色。,解：(1)如果不考虑整套牌的花色，样本空间包含可由牌点A，二点，十点，J，Q，K组成，即可表示为=1,2,13。 (2)如果考虑整套牌，样本空间包含S，H，D，C的A，一直到S，H，D，C的K。如果用1,2,3,4分别表示黑、红、方、草，则黑桃J可写成(1,11)，样本空间有52个样本点：,四、事件之间的关系 （熟练掌握）,事件可以用文字表示，事件也可以表示为样本空间的子集，后者反映了事件的实质，且更便于今后计算概率。 还应注意，同一样本空间中，不同的事件之间有一定的关系，事件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定的，这种关系可以用集合之间的关系来描述。,例1.2 袋中装有2只
9、白球和1只黑球。从袋中依次任意地摸出2只球。设球是编号的：白球为1号、2号，黑球为3号。(i,j)表示第一次摸得i号球，第二次摸得j号球的基本事件，则这一试验的样本空间为： S=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)而且可得到下列随机事件 A=(3,1),(3,2)=第一次摸得黑球； B=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3)=第一次摸得白球； C=(1,2),(2,1)=两次都摸得白球； D=(1,3),(2,3)=第一次摸得白球，第二次摸得黑球； G=(1,2),(2,1)=没有摸到黑球。 设试验E的样本空间为S，A,B,Ak(k=1,2,)为事件,
10、返回,1.事件的包含与相等(p4)“A发生必导致B发生”，即A中的样本点一定属于B，记为AB，也称A是B的子事件。A与B两个事件相等：AB AB且BA。,例1.2,2.和事件(p4)（4） ：“事件A与B至少有一个发生”，记作AB,2n个事件A1, A2, An至少有一个发生，记作,2” 可列个事件A1, A2, An 至少有一个发生，记作,3.积事件(p4) :A与B同时发生，记作 ABAB,3n个事件A1, A2, An同时发生，记作,3”可列个事件A1, A2, An , 同时发生，记作,4.差事件(p4) ：AB称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生，它是由属于A而不属于B的样本
11、点所构成的事件。,思考：何时A-B=?何时A-B=A？,例1.2中 B=CDC=BCD=B-C,例1.2,5.互斥的事件(p4) ：AB= ,指事件A与B不能同时发生。又称A与B互不相容。,基本事件是 两两互不相容的,例1.2中：AB= AC=,6. 互逆的事件(p4) AB , 且AB,A与B对立： 事件A与B既不能同时发生，又不能同时不发生。即在每次试验中，A与B有且仅有一个发生。,对立事件必为互不相容事件； 互不相容事件未必为对立事件。,五、事件的运算(p5),1、交换律：ABBA，ABBA 2、结合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC) 3、分配律：(AB)C(AC)(BC)
12、，(AB)C(AC)(BC) 4、对偶(De Morgan)律：,5、差积转换律,例1.3 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：,例1.4 试求事件“甲种产品滞销，且乙种产品畅销”的对立事件。,解 设A表示事件“甲种产品畅销”，B表示事件“乙种产品畅销”，则由题意，事件“甲种产品滞销，且乙种产品畅销”表示为：,因此对立事件为：,即所求对立事件为：“甲种产品畅销或乙种产品滞销”。,1.2 频率与概率,1. 频率 定义 1.设在相同条件下， 进行了n次试验，若随机事件在n次试验中发生了 次，则此比值：称为事件A在n次试验
13、中发生的频率，记作 ，即=,频率具有如下的性质 对任一事件A，0 fn(A) 1； 对必然事件S，fn(S)1；而 fn( )=0 (3)可加性：若事件A、B互不相容，即AB，则 fn(AB) fn(A) fn(B)。,一般地，若事件A1， A2 ， An两两互不相容，则,事件A发生的频率表示A发生的频繁程度，频率越大，事件A发生得越频繁，即在一次试验中发生的可能性越大。,历史上曾有人做过试验，著名的统计学家摩根、蒲丰和皮尔逊进行了大量的抛掷均匀硬币的试验，试图证明出现正反面的机会均等。实验者 n nH fn(H) De Morgan 2048 1061 0.5181Buffon 4040 2
14、048 0.5069 K. Pearson 12000 6019 0.5016 K. Pearson 24000 12012 0.5005,实践证明：当试验次数n增大时， 随机事件A的频率fn(A) 逐渐趋向一个稳定值。这是随机现象固有的性质，即频率的稳定性，也就是我们所说的随机现象的统计规律性。,二、概率,从直观上来看，事件A的概率是指事件A发生的可能性,?,P（A）应具有何种性质？,?,抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？ 向目标射击，命中目标的概率有多大？,1、概率的统计定义,设随机事件A在n次重复试验中发生的次数为nA，若当
15、试验次数n很大时，频率nA/n稳定地在某一数值p的附近摆动，且随着试验次数n的增加，其摆动的幅度越来越小，则称数p为随机事件A的概率，记为P(A)=p。 由定义，显然有 0P(A)1, P(S)=1，P()=0。,设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一个事件A，赋予一个实数P(A)与之对应，如果集合函数P()具有如下性质： 非负性：对任意一个事件A，均有P(A)0 ； 完备性：P(S)=1； 可列可性质：若A1，A2，An，是两两互不相容的事件序列，即AiAj=(ij, i, j=1,2,)，有 P(A1A2An)=P(A1)+P(A2) + P(An)+ 则称P(A)为事件A的概率。
16、,2、概率的公理化定义（P.8）,3、概率的性质 (P.9-10),不可能事件的概率为零，即P()=0； 概率具有有限可加性，即若事件A1，A2，An两两互不相容，则必有 P(A1A2An)= P(A1)+ P(A2) + P(An) 设A，B是两个事件，则P(A-B)=P(A)-P(AB) 特别地，若AB，则AB=B，有P(A-B)=P(A)-P(B)，且P(A)P(B)，此性质称为单调不减性。,互补性 对任一事件A，有,加法公式 对任意两个事件A，B，有 P(AB)=P(A)+P(B) - P(AB) 可推广(P.10)。,可分性 对任意两事件A，B，有,例1.5 某人外出旅游两天，据天气
17、预报，第一天降水概率为0.6，第二天为0.3，两天都降水的概率为0.1，试求： (1)“第一天下雨而第二天不下雨”的概率P(B)， (2)“第一天不下雨而第二天下雨”的概率P(C)， (3)“至少有一天下雨”的概率P(D)， (4)“两天都不下雨”的概率P(E)， (5)“至少有一天不下雨”的概率P(F)。,解 设Ai表示事件“第i天下雨”，i=1，2，由题意 P(A1)=0.6，P(A2)=0.3，P(A1 A2)=0.1,(1),且,可得,（2）,（3）至少有一天下雨,=0.6+0.3-0.1=0.8,（4）,（5）,1.3 古典概型与几何概型,一、古典概型的定义(p.11) 设随机实验E
18、满足下列条件 1.有限性：试验的样本空间只有有限个可能的结果，即2.等可能性：每个样本点的发生是等可能的，即则称此试验E为古典概型，也叫等可能概型。,设事件A中所含样本点个数为N(A) ，以N(S)记样本空间S中样本点总数，则有,P(A)具有如下性质：,(1) 0 P(A) 1； (2) P(S)1； P( )=0； (3) AB，则P( AB )P(A)P(B)。,古典概型中的概率(P12)：,解 设A-至少有一个男孩,以b表示某个孩子是男孩，g表示某个孩子是女孩。,S=bbb,bbg,bgb,gbb,bgg,ggb,gbg,ggg,A=bbb,bbg,bgb,gbb,bgg,ggb,gbg
19、,例1.6 有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?,例1.7 在盒子里有10个相同的球，分别标上号码1，2，10 。从中任取一球，求此球的号码为偶数的概率。,解 设m表示所取的球的号码为m(m=1,2,10)，则试验的样本空间为S=1,2,10，因此基本事件总数n=10。 又设A表示“所取的球号码为偶数”这一事件，则 A=2,4,6,8,10， 所以A中含有k=5个样本点，故,乘法公式 设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法,复习：排列与组合的基本概念,加法公式 设完成一件事可有两种途径，第一种途径有
20、n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。,有重复排列从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，,n,n,n,n,共有nk种排列方式.,无重复排列从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，,共有Pnk=n(n-1)(n-k+1)种排列方式.,n,n-1,n-2,n-k+1,组 合从含有n个元素的集合中随机抽取k个，共有,种取法.,二、古典概型的基本类型举例,古典概率的计算关键在于计算基本事件总数和所求事件包含的基本事件数。,由于样本空间的设计可由各种不同的方法，因此古典概率的计算就变得
21、五花八门、纷繁多样。但可归纳为如下几种基本类型。,1、抽球问题 例1.8 设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红球一白球的概率。 解 设A取到一红球一白球,答:取到一红一白的概率为3/5。,一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是,例1.9 某箱中装有m+n个球，其中m个白球， n个黑球。 (1)从中任意抽取r+s个球，试求所取的球中恰好有r个白球和s个黑球的概率；,解 试验E：从m+n球中取出r+s个，每r+s个球构成E的一个基本事件，不同的基本事件总数为,设事件A：“所取的球中恰好有r个白球和s个黑球”，总共有多少个基本
22、事件呢？,所以，事件A发生的概率为,(2)从中任意接连取出k+1(k+1m+n)个球，如果每一个球取出后不还原，试求最后取出的球是白球的概率。,解 试验E：从m+n球中接连地不放回地取出k+1个球每k+1个排好的球构成E的一个基本事件，不同的基本事件总数为,设事件B：“第k+1个取出的球是白球”，由于第k+1个球是白球，可先从m个白球中取一个留下来作为第k+1个球，一共有,其余k个球可以是余下的m+n-1个球中任意k个球的排列，总数为,种保留下来的取法，,事件B所包含的基本事件总数为,所以最后所取的球是白球的概率为,注：P(B)与k无关，即不论是第几次抽取，抽到白球的概率均为,在实际中，有许多
23、问题的结构形式与抽球问题相同，把一堆事物分成两类，从中随机地抽取若干个或不放回地抽若干次，每次抽一个，求“被抽出的若干个事物满足一定要求”的概率。如产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景。,2、分球入盒问题,解 设A：每盒恰有一球，B：空一盒,例1.10 将3个球随机的放入3个盒子中去，问： （1）每盒恰有一球的概率是多少？ （2）空一盒的概率是多少？,一般地，把n个球随机地分配到N个盒子中去(nN)，则每盒至多有一球的概率是：,例1.11 设有n个颜色互不相同的球，每个球都以概率1/N落在N
24、(nN)个盒子中的每一个盒子里，且每个盒子能容纳的球数是没有限制的，试求下列事件的概率：,A=某指定的一个盒子中没有球 B=某指定的n个盒子中各有一个球 C=恰有n个盒子中各有一个球 D=某指定的一个盒子中恰有m个球(mn) 解 把n个球随机地分配到N个盒子中去(nN),总共有Nn种放法。即基本事件总数为Nn。,事件A：指定的盒子中不能放球，因此， n个球中的每一个球可以并且只可以放入其余的N-1个盒子中。总共有(N1)n种放法。因此,事件B：指定的n个盒子中，每个盒子中各放一球，共有n!种放法，因此,事件C：恰有n个盒子，其中各有一球，即N个盒子中任选出n个，选取的种数为CNn,在这n个盒子
25、中各分配一个球，n个盒中各有1球(同上)，n!种放法；事件C的样本点总数为,事件D：指定的盒子中，恰好有m个球，这m个球可从n个球中任意选取，共有Cnm种选法，而其余n-m个球可以任意分配到其余的N-1个盒子中去，共有(N-1)n-m种，所以事件D所包含的样本点总数为Cnm(N-1)n-m,某班级有n 个人(n365)， 问至少有两个人的生日在同一天 的概率有多大？,?,分球入盒问题，或称球在盒中的分布问题。有些实际问题可以归结为分球入盒问题，只是须分清问题中的“球”与“盒”，不可弄错。 (1)生日问题：n个人的生日的可能情况，相当于n个球放入N=365个盒子中的可能情况(设一年365天)；
26、(2)旅客下车问题(电梯问题)：一列火车中有n名旅客，它在N个站上都停车，旅客下车的各种可能场合，相当于n个球分到N个盒子：旅客：“球”，站：“盒子”； (3)住房分配问题：n个人被分配到N个房间中； (4)印刷错误问题：n个印刷错误在一本具有N页书的一切可能的分布，错误球，页盒子。,3.分组问题 例1.12 30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求： （1）每组有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个组的概率。,解 设A：每组有一名运动员；B：3名运动员集中在一组,一般地，把n个球随机地分成m组(nm),要求第 i 组恰 有ni个球(i=1,m)，共有分法：,4. 随
27、机取数问题,例1.13 从1到200这200个自然数中任取一个, (1)求取到的数能被6整除的概率； (2)求取到的数能被8整除的概率； (3)求取到的数既不能被6整除也不能被8整除的概率。,解 N(S)=200,N(AB)=200/24=8,N(A)=200/6=33,N(B)=200/8=25,(1),(2),(3)的概率分别为：33/200,1/8,1-33/200-1/8+1/25,三、几何概型,样本空间为一线段、平面区域或空间立体的等可能随机试验的概率模型 （1）设样本空间S是直线上的某个线段,它的长度为l(S),A是S的一个子集，则落在A中的概率为：P(A)=l(A)/l(S)。
28、（2）设样本空间S是平面上的某个区域,它的面积为u(S), 则落在A中的概率为：P(A)=u(A)/u(S)。 （3）设样本空间S是空间上的某个立体,它的体积为v(S), 则落在A中的概率为：P(A)=v(A)/v(S)。,例 甲乙两人相约在7点到8点之间在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就离开。如果每个人可在指定的任一小时内任意时刻到达，试计算二人能够会面的概率。,解：,根据题意，这是一个几何概型问题，于是,袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球(不放回)，问 第一个人取得红球的概率是多少？ 第二 个人取得红球的概率是多少？,?,1.4 条件概率,若已知第一个人
29、取到的是白球，则第二个人取到红球的概率是多少？,已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率，简称为B对A的条件概率，记作P(B|A)。,若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？,一、条件概率,例1.14 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回。 (1)已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率； (2)求第二次取到红球的概率； (3)求两次均取到红球的概率。,解 设A第一次取到红球,B第二次取到红球,S=,A,B,A第一次取到红球, B第二次取到红球,显然，若事件A、B是古典概型的样本空间S中的
30、两个事件，其中A含有nA个样本点，AB含有nAB个样本点，则,称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率(p.18),定义 设A、B是S中的两个事件，P(A)0，则,可以验证，条件概率P(|A)符合概率所需满足的三条基本性质：非负性：对任意一个事件B，均有0P(B|A)1；完备性：P(S|A)=1；可列可加性：若B1，B2，Bn，两两互不相容，则有,条件概率也满足概率的基本性质（P.18),条件概率的一般计算方法： (1)根据A发生以后的情况直接计算A发生的条件下， B发生的条件概率。“缩减样本空间” (2)先计算P(A)，P(AB)，再用公式,例1.15 一盒中混有100只新、旧乒乓球，各有
31、红、白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。,设A-从盒中随机取到一只红球。B-从盒中随机取到一只新球。,A,B,例1.16 设某人从一副扑克中(52张)任取13张，设A为“至少有一张红桃”， B为“恰有2张红桃”，C为“恰有5张方块”，求条件概率P(B|A)，P(B|C),解,例1.17 某种动物出生后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率。,解 设A表示事件“活到20岁以上”，B表示事件“活到25岁以上”，显然,二、概率的乘法公式(p.20),设A、B、C为随机事件，P(A)0，则有乘法公式
32、 P(AB)P(A)P(B|A),当P(AB)0时，上式还可推广到三个事件的情形：P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB),一般地，n个随机事件A1,A2,An，且P(A1A2An-1)0,有下列公式：P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2).P(An|A1An1),例1.18 甲、乙、丙三人参加面试抽签，每人的试题通过不放回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题中有4个难题签，按甲、乙、丙次序抽签，试求甲抽到难题签，甲和乙都抽到难题签，甲没抽到难题签而乙抽到难题签，甲、乙、丙都抽到难题签的概率。,解 设A、B、C分别表示甲、乙、丙抽到难题签的事件,返回,例1.1
33、9 盒中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。（）,解 设Ai为第i次取球时取到白球，则,三、全概率公式与贝叶斯公式,在概率论中，我们经常利用已知的简单事件的概率，推算出未知的复杂事件的概率。为此，常须把一个复杂事件分解为若干个互不相容的简单事件的和，再由简单事件的概率求得最后结果。,设S是试验E的样本空间，A1,A2,An是试验E的一组事件，若A1, A2, An满足如下两个条件： （1）A1A2An=S， （2） A1, A2, An两两互不相容 则称事件组A1
34、,A2,An组成样本空间的一个划分；若是样本空间的一个划分，则在每次试验中，事件A1,A2,An必有且仅有一个发生。,1、样本空间的划分,A2,A1,An,B,定理1.1 设试验E的样本空间为S，B为E的事件。设事件组A1,A2,An组成样本空间S的一个划分，且设 P(Ak)0,(k=1,2,n),则,此公式称为全概率公式。,2、全概率公式(P.21),（将计算一个复杂事件的概率问题转化为在不同情况下或不同原因下发生的简单事件的概率的求和问题）,例1.20 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2、1、3，试
35、求市场上该品牌产品的次品率。,B,解 设B：买到一件次品； A1：买到一件甲厂的产品； A2：买到一件乙厂的产品； A3：买到一件丙厂的产品。,我们把事件B看作某一过程的结果，,则我们可用全概率公式计算结果发生的概率,全概率公式的使用：,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,例1.21 某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过4件，且具有如下的概率： 一批产品中的次品数 0 1 2 3 4 概 率0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 现进行抽样检验，从每批中随机抽取10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格。求一批产品
36、通过检验的概率。,解 设B表示事件“一批产品通过检验”，Ai(i=0,1,2,3,4)表示“一批产品含有i件次品”，则A0,A1, A2, A3, A4组成样本空间的一个划分，,返回,例1.21的结果提供给人们这样的信息，即若工厂生产了1000批产品，则可以通过检验，以合格品出产厂的约有814批，而作为合格品出售的产品，每批中仍可能含有i(i=0,1,2,3,4)件次品。因此，就顾客而言，希望所买的产品中含次品少的概率要大，即概率P(Ai|B) (i=0,1,2,3,4)中最大的一个所对应i的越小越好，这就是下面讨论的另一个重要公式。,3、贝叶斯公式(Bayes),定理1.2 设试验E的样本空
37、间为S，B为E的事件。事件组A1,A2,An组成样本空间S的一个划分，且P(Ak)0,(k=1,2,n),及P(B)0，则,此式称为Bayes公式。,Bayes公式的使用,我们把事件B看作某一过程的结果，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起的概率，则用Bayes公式,例1.21中，顾客买到的一批合格品中，含次品数为0的概率是多少？,类似可以计算顾客买到的一批合格品中，含次品数为1、2、3、4件的概率分别约为0.221、0.398、0.179、0.080。,例1.22 有甲乙两个袋子，甲袋中有2个白球，1个红球，乙袋中有2个红球，1个白球。
38、这6个球手感上不可区别。今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？,解 设A1从甲袋放入乙袋的是白球； A2从甲袋放入乙袋的是红球； B从乙袋中任取一球是红球。,甲,乙,思考 例1.22中，若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？,答,若一病人高烧到40，医生要确定他患有何种疾病，则必须考虑病人可能发生的疾病B1,B2,Bn。这里假定一个病人不会同时得几种病，即B1,B2,Bn互不相容，医生可以凭以往的经验估计出发病率P(Bi)，这通常称为先验概率。进一步要考虑的是一个人高烧到40时，得Bi这种病的可能性，即P(Bi|A)的大小，它可由Baye
39、s公式计算得到。这个概率表示在获得新的信息(即知病人高烧40)后，病人得B1,B2,Bn这些疾病的可能性的大小，这通常称为后验概率。有了后验概率，就为医生的诊断提供了重要依据。 若我们把A视为观察的“结果”，把B1,B2,Bn理解为“原因”，则Bayes公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。,例1.24 根据以往的临床记录，某种诊断是否患有癌症的检查有如下效果。若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被检查者确实患有癌症”，则有,现对一大批人进行癌症普查，设被查的人确实患有癌症的概率是P(C)=0.005，试求当一个被检查者其检验结果为阳性时，那么他确实患癌症的条件
40、概率是多少？即求P(C|A)。,解,本例中P(C)=0.005就是先验概率，而P(C|A)=0.087为后验概率。可见比先验概率提高了近17.4倍。虽然诊断的可靠性P(A|C)较高，但是确诊(即被检查诊断患有癌症者确实有癌症)的可能性很小，所以还必须提高诊断的准确率。,例1.25 数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发端发的是0
41、的概率是多少?,0.067,解 设A-发射端发射0，B-接收端接收到一个“1”的信号。,0 (0.55),0 1 不清,(0.9) (0.05) (0.05),1 (0.45),1 0 不清,(0.85) (0.05) (0.1),P(A|B)=,条件概率,条件概率 小 结,缩减样本空间,定义式,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式,例1.26 袋中有a只红球，b只白球b0，现从此袋中取两次球，每次各取一只球，分有放回和无放回两种情况，记A表示事件“第一次所取的球是红色的球”，B表示事件“第二次所取的球是红色的球”。 求第一次取到是红球的概率；第二次取到红球的概率；在第一次取到红球的条件下，第二次
42、仍取到红球的概率。,解 （1）有放回,（2）无放回,1.5 事件的独立性,返回,设A、B是随机试验E的两个事件，若P(A)0，则可定义P(B|A)，即A发生条件下的B发生的概率。 一般地，P(B)P(B|A)，即事件A发生对事件B发生的概率是有影响的。,如例1.26（2）中,而且此时,在特殊情况下，一个事件的发生对另一个事件发生的概率没有影响，如例1.26(1)中,而且此时,例1.26,定义（P.24) 设A、B是两个事件，若满足等式 P(AB)P(A)P(B) 则称事件A与事件B是相互独立的事件。,由定义可知，必然事件S和不可能事件与任何事件都是相互独立的。,性质 以下四件事等价： (1)事
43、件A、B相互独立；,(3)事件,相互独立；,、B相互独立；,(4)事件,相互独立。,(2)事件A、,定理1 (P.24)设A，B是两事件，且P(A)0，则A，B相互独立的充分必要条件是 P(B|A)=P(B) 即A的发生与否与B的发生概率无关。,独立性的概念可推广到多个事件,定义(p24) 若三个事件A、B、C同时满足下面四个等式：,则称事件A、B、C相互独立。,（*）式成立，则称事件A、B、C两两相互独立。,注意：（*）不能推出（*），（*）也不能推出（*）。两式必须同时成立，才能称A、B、C相互独立。 由定义可知： A、B、C相互独立必有A、B、C两两独立，反之不真。,一般地，设A1，A2
44、，An是n个事件，若下面个等式同时成立：,则称n个事件A1，A2，An相互独立。,.,性质1: 若事件A1，A2，An(n1)相互独立，则其中任意k(k n)个事件也相互独立。,性质2: 若事件A1，A2，An(n1)相互独立，则将A1，A2，An中任意m(1 m n)个事件换成它们的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。,注：通常事件的相互独立性是根据实际意义判断的。,注：互不相容事件，互逆事件，相互独立事件的异同A、B互不相容表示A、B不能同时发生A、B互逆表示A、B不能同时发生且不能同时不发生A、B相互独立表示两事件中一事件发生与否不影响另一事件的发生与否,事件独立性的应用举例,1、加法公
45、式的简化：若事件A1，A2，An相互独立, 则,2、乘法公式的简化：若事件A1，A2，An相互独立, 则,例1.27 甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9与0.8，求在一次射击中(每人各射一次)目标被击中的概率。 解 设A，B分别表示甲、乙射中目标的事件， C表示目标被击中的事件，则 P(A)=0.9，P(B)=0.8 P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.9+0.8-0.90.8=0.98,另解,例1.28 设某种高射炮每次击中飞机的概率为0.2，问至少需要多少这种高炮同时独立发射(每门射一次)，才能使击中飞机的概率达到95%以上。,解 设所需高
46、炮为n门，A表示击中飞机的事件，Ai(i=1,2,n)表示第i门高炮击中飞机的事件，则由题意,即,故至少需14门高炮才能有95%以上把握击中飞机。,3、在可靠性理论上的应用,如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率。,设A-L至R为通路， Ai-第i个继电器通, i=1,2,5,由全概率公式,第一章 小结 六个概念（随机试验、事件、概率、频率,条件概率、独立性）， 四个公式（加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式） 两个概型（古典概型、几何概型）,第一章内容概要,一、事件及关系和运算,随机试验、样本空间、事件的
47、定义 事件之间的关系（包含，相等，和，积，互斥，对立） 关系运算律,二、概率的定义和性质,统计定义、公理化定义（非负性，完备性，可列可加性） 性质（有限可加性、事件差、单调性、可补性、加法公式）,三、概率的计算,古典概型：,条件概率：,全概率公式：,贝叶斯公式：,四、独立性,事件的独立性：P(AB)=P(A)P(B),补充题：玻璃杯成箱出售，每箱20只，各箱次品数为0，1，2只的概率分别为0.8，0.1，0.1。一顾客欲买下一箱玻璃杯，售货员随机取出一箱，顾客开箱后取4只进行检查，若无次品则购买，否则退回，求： (1).顾客买下该箱玻璃杯的概率， (2)顾客买下的一箱中，确实没有次品的概率。,
