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类型有理数知识点.doc

  • 上传人:dwy79026
  • 文档编号:6529293
  • 上传时间:2019-04-15
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    有理数知识点.doc
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    1、 个 性 化 辅 导 讲 义第 1 页 共 14 页有理数1、知识结构图本章的主要内容可以概括为有理数的概念与有理数的运算两部分。有理数的概念可以利用数轴来认识、理解,同时,利用数轴又可以把这些概念串在一起。有理数的运算是全章的重点。在运算时,要注意四个方面,一是运算法则,二是运算律,三是运算顺序,四是近似计算。二、知识要点:1.正数:大于零的数。 负数:小于零的数(在正数前面加上负号“”的数)注意:0 既不是正数也不是负数,它是正负数的分界点对于正数和负数,不能简单理解为带“+”号的数是正数,带“”号的数是负数正数和负数可以表示两种具有相反意义的量。2.有理数的分类: 按定义分 按性质符号分

    2、),负 分 数 ( 如 ,如正 分 数分 数 ),负 整 数 ( 如 自 然 数)正 整 数 ( 如整 数有 理 数 506-29.71-)3,8(-0,21负 分 数负 整 数负 有 理 数 正 分 数正 整 数正 有 理 数0注意:两种分类方法不同,但都包含了所有的有理数。 零既不是正数也不是负数,但它是整数。常 见 的 不 是 有 理 数 的 数 有 和 有 规 律 的 但 不 循 环 的 小 数 。 如 :0.0100100010001000010000010000001有理数个 性 化 辅 导 讲 义第 2 页 共 14 页3.数轴及有理数的大小比较要点:画数轴时,要注意数轴的三要素

    3、:原点,正方向,单位长度。所有的有理数都可以用数轴上的一个点表示,但数轴上还有些点不代表有理数,如 。数轴上右边点表示的数总比左边点表示的数大。即:负数小于0,0小于正数, 负数小于正数。两个负数比较 大小,绝对值大的反而小。 例:-1-24.相反数数轴上在 两侧且到 的距离相等的两个点表示的两个数互为相反数(几何定义), 只有符号不同的两个数互为相反数(代数定义),0 的相反数是 0。a 的相反数是 。求一个数的相反数就是在这个数前添“ - ”号后再化简。5.倒数乘积等于1的两个数互为倒数。如:a(a0)的倒数是 。a16.绝对值数轴上表示一个数的点到原点的 叫这个数的绝对值。绝对值具有非负

    4、性,即a 0.互为相反数的两个数的绝对值 。若表示两个非负数的式子和为 0(或这两个式子互为相反数) ,则这两个式子都等于 。即非负条件式。如:若(x-3) 2+x+y+7=0,求 yx的值。数 轴 上 两 点 间 的 距 离 就 是 表 示 这 两 个 点 的 数 的 差 的 绝 对 值 : 表 示 数a 的 点 A 与 表 示 数 b 的 点 B 之 间 的 距 离AB= a-b 或 AB= b -a 。 与 表 示 数 m 的 点 的 距 离 为 a( a 0) 的 点 有 两 个 : 表 示 的 数 是 ma.去绝对值的 3 条依据:正数的绝对值是它本身;0 的绝对值是 0;负数的绝对

    5、值是它的相反数,可用字母 a 表示如下: )0(a7. 有理数的运算: 加法法则:同号两数相加,取与加数相同的符号,并把绝对值 相加。如:(+5)+(+6)=+11 (5)+(6)=11异号两数相加,绝对值相等时,和为0,绝对值不等 时,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 如:(+5)+(5)=0; (+5)+(6)=1; (5)+(+6)=1;一个数与零相加,仍得这个数,如(+5)+0=+5; (5)+0=5注意:做有理数的加法要经过两个步骤:定 ; 定 。减法法则:减去一 个数,等于加上这个数的相反数。如:(+5)(+6)=(+5)+(6) ; (+5)(6)=(

    6、+5)+(+6) 有 理 数 加 减 法 可 以 互 化 , 主 要 表 现 为 省 略 加 号 的 写 法 :个 性 化 辅 导 讲 义第 3 页 共 14 页如 : -20+( +3) +( -5) -( -7) 可 写 成 的 形 式 , 它 读 作 : 的 和 或 。乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。如:(+5)(+6)=30;(5)(6)=30;(+5)(6)=30;(5)(+6 )=30;任何数与零相乘得零。 如:(5)0=0;0(6)=0除法法则:两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。如:(+9)(3)=3;(9)(+3)=3;(9)(3)=3;(+

    7、9)(+3)=3;特别的:零除以一个不为零的数仍得零,零不能做除数。 如:0(5)=0; 0(+5)=0;除法法则还可以理解为:除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数。 如: )23(97)(几个非 0 因数相乘除,积的符号由负因数的个数决定,有奇数个负因数,则积为负,偶数个负因数,则积为正。若几个因数相乘,其中一个因数为 0 则结果等于 0。注意:有理数的乘除法仍与加减法类似应先定 ,再定 。会灵活应用乘法运算律简便运算:分配律: ;结合律: ;交换律: 。有理数的乘方:乘方是求几个 因式的积的运算。公式: 其中 a 叫 ,n 叫 ,a n叫 .当 n=1时, 省略不写。个nna注意:正数的

    8、任何次幂都是正数;0的任何次幂都是0;负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数,即:当 a0 时,a n 0;当 a 1; C.b - 1; D.b 0 负数;两个负数比较大小,绝对值大的反而小.(2)数轴上表示的两个数,右边的总比左边的大.考点 5:有关有理数的运算(先定符号,再计算)例 5(1)计算 2 -(-3)的结果是( )A.-5; B.5; C.1; D.-1. (2)计算(- 4)(- )的结果是( )1A.8; B.-8; C.-2; D.2. (3) (- 4)(- )2例 6(1)计算:(-100)( -20)-(-3 )= . (2)计算:- 9 + 5(-6 )-(-4)

    9、 2(-8 ). (3)3 3= ;( ) 2= ;-5 2= ;2 2 的平方是 1(4)有理数的运算(-5) 33 4()2)3(22517()24(5)386 23100.5(.)()(82 2222 1.076)41()1(5.0 0 a-1b个 性 化 辅 导 讲 义第 6 页 共 14 页补充1:某学习小组的数学成绩,采用了80分为标准的办法,高于80分的记为正,低于80分的记为负,现有10名学生的成绩记录如下:+20,10,5,+15,+9,3,+10,+8,+4,16求这10名同学的平均成绩。解:方法一:先求出这10名同学的实际得分:100,70,75,95,89,77,90,

    10、88,84,66平均成绩= (100+70+75+95+89+77+90+88+84+66)=83.210方法二:平均成绩=80+ (20105+15+93+10+8+416)=83.2补充2:已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍,且在数轴上表示为这两数的点位于原点的两侧,两点间的距离为8,求这两个数。解:设乙数为 a,则甲数 为3a|a(3a)|=8 |a|=2 a=2 甲数为6,乙数为2;甲数为-6,乙数为2评注:对于有理数运算总结如下口诀:加法运算要熟练,减法运算会转换,乘除要把符号判,运算顺序严把关,运算定律须灵变.考点 6:有关科学记数法、近似数与有效数字例 7 (1)41080000

    11、 用科学记数法表示为 ( )A. ; B. ; C. ; D. .74.081641.085410.88410(2)近似数 0.4062 精确到 ,有 个有效数字.(3)近似数 3.5 万精确到 位,有 个有效数字;5.4710 5精确到 位,有 个有效数字(4)3.403010 5保留两个有效数字是 ,精确到千位是 .(5)某数有四舍五入得到 3.240,那么原来的数一定介于 和 之间.(6)2003 年我国国内生产总值(GDP)为 116694 亿元,用四舍五入法保留 3 个有效数字,用科学记数法表示为 亿元;将-207 670 保留 3 个有效数字,其近似数为 .考点 7:考查非负数的性

    12、质例 8 若有理数 a、b 满足|3a1|(b-2) 2=0,则 ab 的值为 。析解:由绝对值及平方的非负特征,可知|3a1|0 ,(b-2) 20,又|3a 1| (b-2) 2=0。故只能有|3a1|=0,(b-2) 2=0,所以 a= ,b=2 。 ab=( ) 2= 。13 13 19考点 8:考查数学思想方法例 9 设 a 是大于 1 的有理数,若 a, , 在数轴上对应的点分别记作 A、B、C ,则 A、B 、C 三a+23 2a+13点在数轴上自左至右的顺序是( )A C、B、A B. B、C、A C. A、B、C D. C、A、B析解:本题考查有理数大小的比较方法,同时考查常

    13、用数学方法的灵活应用。如本题采用取特殊值法进行比较,则显得简捷明快。个 性 化 辅 导 讲 义第 7 页 共 14 页因为 a 1,所以不妨取 a=4,则 =2, =3,由 234 知 a。故应选 B。a+23 2a+13 a+23 2a+13例 10 如下图,若数轴上 A、B 两点表示的数为 a、b,则下列结论正确的是( )A、 ba0 B、ab0 C、2ab 0 D、ab012析解:本题主要考查能否应用数形结合的思想并结合加、减法则进行判断,由图形知a1 ,0b1,a b; 所以 ba = b( a) 0 ;ab0;显然 2ab0;a b0。所以只有 A 正12 12确,故选 A。(注:此

    14、题也可由图形取特殊值。如取 a=2,b=0.5 等,通过计算验证。 )例 11 我国著名数学家华罗庚曾说过: “数形结合百般好,隔裂分家万事非。 ”在一个边长为 1 的正方形纸版上,依次贴上面积为 , 的矩121418 12n形彩色纸片(n 为大于 1 的整数) ,请你用“数形结合”的思想,依数形变化的规律,计算 = 。12 14 18 12n析解:本题启示我们,运用数形结合思想构造几何图形,常可巧解代数题。如右图,事实上,这样一直贴下去,即是面积分别为 、 、 、 的小矩形121418 12n面积之和,而这恰好等于边长为 1 的大正方形的面积,故 =1。12 14 18 12n考点 9:考查

    15、数学思维能力例 12 已知 |ab2| 与(b1) 2 互为相反数,试求代数式 1ab 1(a+1)(b+1) 1(a+2)(b+2)的值。1(a+2005)(b+2005)析解:由已知仿例 9 可知|ab2|=0, (b1) 2=0,所以 ab2=0 ,b 1=0,从而 a=2,b=1。则原式= 112 123 134 120052006 120062007=(1 )( )( )( )( )12 12 13 13 14 12005 12006 12006 12007=1 = .12007 20062007注:应予以本题用到了逆向思维的思想(逆用分数加减法则) ,应予以重视。例 13 先观察下

    16、列算式,再填空:321 2=81, 523 2=82, 725 2=8( ), 92( )2=84 ( )29 2=85, 132( )2=8( )。通过观察归纳,写出反映这种规律的一般结论: 。B- 121418632.个 性 化 辅 导 讲 义第 8 页 共 14 页析解:通过计算或根据规律可得应填数据。 (1)3, (2)7, (3)11, (4)11,6。结论:两个连续奇数的平方差能被 8 整除。例 14 观察下列等式 9-1=816-4=1225-9=1636-16=20这些等式反映自然数间的某种规律,设 n(n1)表示自然数,用关于 n 的等式表示这个规律为 .解析:阅读、观察后,

    17、可列下表:1 个 2 个 3 个 4 个 n 个第一组数 9 16 25 36 (n+2) 2第二组数 1 4 9 16 n2第三组数 8 12 16 20 (n+2)2-n2=4(n+1)故第 n 个式子是:(n+2) 2-n2=4(n+1).评注:在阅读材料、观察其过程的基础上,进行分析、探索、比较、归纳、猜想等思维活动,从而得到规律.评注:本章内容在中考中大多以填空题,选择题的形式命题。综观近几年各省市中考题,考查的重点内容是相反数、倒数、非负数、绝对值的概念及有关性质,有理数的大小比较,近似数与科学记数法,另有与之相应的创新、探究型问题,但万变不离其宗,关键是理解并掌握基本概念及运算性

    18、质。初学有理数的常见错误剖析对于初学有理数者,在解题中出现错误是难免的,也是正常的,但必须弄清产生错误的原因,掌握正确的解答方法,只有这样才能逐步形成数学基本技能和能力,本文就有理数这一部分中的解题易犯错误归纳剖析如下一、答案不完整例 1若一个有理数的:倒数绝对值平方立方,等于它本身,则这个数分别是 ;(2) ;(3) ;(4) 错误答案: 1 正数 1 1 分析:给出的答案不完整,漏掉了一些符合条件的数,产生错误的原因主要是把数的认识局限在正数范围之内,忽视 0 和才引进的负数,对数的范围的拓宽不适应,另外由于对负数、倒数、绝对值等概念没有完全正确理解而造成的错误 正确答案是: 1 正数和

    19、0 1 和 0 1 和 0二、分类不明确例 2有理数中,最小的正整数是 ;最小的整数是 ;绝对值最小的数是 个 性 化 辅 导 讲 义第 9 页 共 14 页;最小的正数是 错误答案: 0 1 1 1 分析:产生错误的原因,一是对有理数的分类没有弄清楚,二是“任意两个有理数之间总至少存在一个有理数”的性质不理解,当然也有一部分同学因“正数”和“整数”的概念混淆而导致错误正确答案: 1 不存在 0 不存在 三、概念不清晰例 3判断正误:(1)任何一个有理数的相反数和它的绝对值都不可能相等( )(2)任何一个有理数的相反数都不会等于它的倒数( )错误答案: 分析:第(1)小题失误原因,一是误认为一

    20、个有理数 a 的相反数a 总是负数;二是误认为 能够等于 a,而得到 a,究其根源是对 “相反数”和“绝对值”的概念还没弄明白第(2)小题失误原因是对一个有理数和它的倒数,以及相反数的符号之间的关系不清晰所致正确答案: 四、运算不准确1运算符号错误例 4计算 )15(20)4(5.6(错解:原式=258=17 剖析:此解将 120 前面的“”号既视为运算符号,又视为性质符号,以致出错应当注意“”号在运算中只能当作二者中的一种正解:原式=25(8)=33例 5计算 5)6(42错解:原式=1665=17 剖析:此解忽略了 与 的区别, 表示 4 的平方的相反数,其结果为 16, 表示两个22)4

    21、(2 2)4(4 相乘,其结果为 16。应该注意“平方的相反数”与“相反数的平方”之间的区别与联系正解:原式=16+6 5=15 2运算顺序错误例 6计算 1)2()1(错解:原式=(2)(2)=1个 性 化 辅 导 讲 义第 10 页 共 14 页剖析:此解法中的错误是违背了运算顺序,乘除为同一级运算,在同级运算中,应从左到右的顺序依次进行。而这里先做了乘法,后做除法正解:原式= 121)2()1( 例 7计算 错解:原式=4+9+0 (1)=1332剖析:上面解法错在没有注意运算顺序,按从左到右的顺序依次计算。在 中,先算了减法,)1(2后算乘法 正解:原式=4+9+ + =14213运算

    22、性质错误例 7计算 5.0.)5.04().2错解:原式= 43012543)2(1(3125 剖析:上面解法中,出现了三个运算性质上的错误:一是 ;二是)2()(;三是 22)(4)1(25.0正解:原式= 41390416253)41(315 4滥用运算律例 8计算 36( ) 234错解:原式=36 36 36 11剖析:对于乘法有分配律 a(b+c)=ab+ac,但除法却没有相应的分配律,即 a(b+c)ab ac,上述解法错在乱造公式,乱套公式以上所列错误,究其原因,主要是对有理数的有关概念不明,运算性质、运算法则不熟所致,因此,在学习有理数时,一定要正确理解概念,准确运用运算性质,

    23、熟练使用运算法则,提高解题能力【模拟试题】一、想一想,填一填1. 0.2的相反数的倒数是 。2.在数轴上 A 点表示 ,B 点表示 ,那么到原点的距离较远的是 。52733.小于5而大于4的所有偶数的和是 。4.平方得64的有理数是 。个 性 化 辅 导 讲 义第 11 页 共 14 页5.若3m1,63n6,则 mn 的最大值是 。6.如果 a0,b0,a+b0,那么|a| |b|。 (用“”或“”填空)7.一个数与7的和等于2,则这个数与7的积等于 。8.已知 A=a+a 2+a3+a4+a2000,若 a=l,则 A= ;若 a=1,则 A= 。补:有一次小明在做 点游戏时抽到的四张牌分

    24、别是7,3,3,7,他苦思不得其解,相信聪明的你一定能帮他解除困难,请写出一个成功的算式:_= .24二、看一看,选一选9.0.2, , 的大小顺序是( )213A. 0.2 B. 0.2 C. 0.2 D.0.2 213123121310.如果 x 是有理数,那么( )A. 1x 的值一定比1小 B. 1x 2的值一定比1小 C. 1x 的值不大于1 D. 1x 2的值不大于111.一天有8.6410 4s,一年如果按365天计算,则一年有多少秒可用科学记数法表示为( )A. 3.153 6107 B. 3.153 5106 C. 3.153 6103 D. 3.153 610412.如果由

    25、四舍五入得到的近似数是35,那么在下列各数中不可能是其值的是( )A. 34.49 B. 34.51 C. 34.99 D. 35.4913. a、b 为有理数,在数轴上如下图所示,则( )A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 ababbaba14.已知 n 表示正整数,则 一定是( )2)(nA. 0 B. 1 C. 0或1 D.无法确定,随 n 的不同而不同补:计算(2) 2004+(2) 2003 的结果是( )A、1 B、2 C、2 2003 D、2 2004 三、试一试,答一答15.已知 a 与 b 互为相反数,c 与 d 互为倒数,e 的绝对值为1,求 的值。20562bacde

    26、16.计算:个 性 化 辅 导 讲 义第 12 页 共 14 页 524)3618(24 243)1()1(217. 已知 0122ba(1)求 a,b 的值 (2)求 的值208208ab(3)求 208111 baba18.计算: 234)5(251)3( 22 )3(5.01()3(19如果一个数等于它的不包括自身的所有因数之和,那么这个数就叫完全数例如,6 的不包括自身的所有因数为 1,2,3而且 ,所以 6 是完全数大约 2200 多年前,欧几里德提出:如果 是质数,6123 21n那么 是一个完全数,请你根据这个结论写出 6 之后的下一个完全数是 )(n20、杭州市出租车收费标准如

    27、下:3 公里以内(含 3 公里)收费 10 元,超过 3 公里的部分每公里收费 2 元。超过起步里程 10 公里以上的部分加收 50%,即每公里 3 元。 (不足 1 公里以 1 公里计算)小明一次乘坐出租车行驶 4.1 公里应付车费多少元?(3 分)若小明乘坐出租车行驶 14.9 公里,问应付车费多少元?(3 分)小明家距离学校 13.1 公里,周末小明身边带了 31 元钱,则小明从学校坐出租车到家的钱够吗?如果够,个 性 化 辅 导 讲 义第 13 页 共 14 页还剩多少钱?如果不够他至少要先走多少公里路?(4 分)初一数学专题有理数试题答案一、想一想,填一填(每小题3分,共24分)1、

    28、5 2、B 3、4 4、8 5、62 6、 7、63 8、2000,0;二、看一看,选一选(每小题3分,共18分)9、C 10、D 11、A 12、A 13、B 14、C三、试一试,答一答(共58分)15、a+b=0 cd=1 |e|=1 e 2=1 值为200716、 (1) (2)40 17、 18、 (1)30(2)12 19、28420、(1)不足 1 公里以 1 公里计算,4.15,又 3 公里以内(含 3 公里)收费 10 元,超过 3 公里的部分每公里收费 2 元,故车费为 10+(5-3)2=14(元) 小明一次乘坐出租车行驶 4.1 公里应付车费 14 元;(2)不足 1 公

    29、里以 1 公里计算,14.915,又 3 公里以内(含 3 公里)收费 10 元,超过 3 公里的部分每公里收费 2 元,超过起步里程 10 公里以上每公里 3 元,故车费为 10+102+(15-3-10)3=36 (元) ,小明乘坐出租车行驶 14.9 公里应付车费 36 元;(3)不足 1 公里以 1 公里计算,13.114,又 3 公里以内(含 3 公里)收费 10 元,超过 3 公里的部分每公里收费 2 元,超过起个 性 化 辅 导 讲 义第 14 页 共 14 页步里程 10 公里以上每公里 3 元,故车费为 10+102+(14-3-10)3=33 (元) 小明的钱不够,31-10-102=13(元)故小明至少要走 0.1 公里路小明从学校坐出租车到家的钱不够,至少要走 0.1 公里路 有理数的运算 T16:(1)67(2)图 4 中所有圆圈中共有 个数,12()12378其中 23 个负数,1 个 0,54 个正数,图 4 中所有圆圈中各数的绝对值之和|3|10254 (23)(1254)27685

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