1、1地板砖铺设问题的研究摘要在工程实际中经常会遇到房屋地板砖的铺设问题，在此类为题中，我们需要考虑地板砖的成本、铺设人工费用以及地板砖破损成本等方面因素，来使成本最小化。本文对地板砖铺设成本问题进行数学建模并设计算法求解。问题一，我们对房间进行矩形切割，对此已分类的矩形进行地板砖的铺设，忽略掉因从新规划而造成的地板砖的破损损失。可以得到，铺设地板砖所需的总费用 W 为： 1803807245nnnABCDEQU问题二，在问题一中我们得知，可以将模型的求解简化为在矩形区域内的求解。由于本问要求用一种地板砖铺设，问题就转化成将五种地板砖分别在 13块矩形区域内的求解问题，通过对求解的结果比较选取成本
2、最低的模型。我们可以将铺设块数、费用及利用率的问题的计算归结到地板砖铺设最低费用的问题中。比较五种地板砖铺设总费用：尺寸 800*800 600*600 400*400 300*300 600*300 300*600所需总费用42757 49988 60521 60807 58365 57814我们可以得到，选择铺设规格为 800mm*800mm 的地板砖所需费用最少，为42757 元。问题三，该问是在允许使用多种尺寸的地板砖进行混合铺设，实现地板砖的自动铺设，并计算出铺设各种尺寸地板砖的块数、利用率和总费用。通过问题二可知 800mm*800mm 规格的地板砖性价比最高，我们可以优先利用80
3、0*800 的地板砖进行铺设，在不能铺设完整规格的 800mm*800mm 的区域外，再用其他规格的地板砖进行切割填补。我们可以得到，规格为 800mm*800mm 的地板砖铺设总块数为 192，所需费用为 38426.6 元，利用率为 0.7396；规格为600mm*600mm 的地板砖铺设总块数为 2，所需费用为 1588.6 元，利用率为0.5；规格为 600mm*300mm 的地板砖铺设总块数为 33，所需总费用为 3322.7 元，利用率为 0.9393；规格为 400mm*400mm 的地板砖铺设总块数为 57，所需总费用为 3265 元，利用率为 0.9474；规格为 300mm
4、*300mm 的地板砖铺设总块数为 2，所需费用为 992.3 元，利用率为 0。关键词：目标规划 最小成本 地板砖铺设方案 建议书2一、问题重述在工程中经常会遇到将一种固定形状的材料铺设到某种物体表面的问题。房屋地板砖的铺设就是其中的一种典型实例。在地板砖的铺设问题中，需要考虑地板砖的成本、铺设人工费用以及地板砖破损成本等方面，目标是为了使成本最小化，同时需要考虑整块地板砖的使用比例，即切割地板砖数尽量少，达到美观效果。设工程中能购买到的地板砖的尺寸、价格、安装费用、破损概率等参数如表1 所示。需要铺设的房屋地面结构如图 1 所示。假设每块地板砖只能沿着平行于边的方向切割，最多只能切割一次，
5、且切割所用人工费跟切割长度成正比。1.请综合考虑影响地板砖铺设成本的因素，建立计算地板砖铺设总成本的模型。2.若仅使用一种尺寸的地板砖进行铺设，请设计一种算法进行地板砖的自动铺设，并计算铺设地板砖的块数、利用率和总费用，比较分析哪种尺寸的地板砖铺设成本最低。3.若允许使用多种尺寸的地板砖进行混合铺设，又如何实现地板砖的自动铺设，并计算铺设各种尺寸地板砖的块数、利用率和总费用。4.根据你的模型、算法和计算结果，为地板砖铺设提出一些意见和建议。表 1 各种地板砖相关参数尺寸 单价（元） 破损概率（%） 切割成本（元/块）800mm*800mm 180 8 4600mm*600mm 130 7 36
6、00mm*300mm 80 6 3 或 1.5400mm*400mm 72 5 2300mm*300mm 45 3 1.5图 1 户型结构图（单位 mm）(注：铺设地板砖时不需考虑家具等限制，只需考虑墙面限制，进行地面全铺设。)3二、模型假设1.假设门框底部地面不用铺地板砖。2.每块地板砖只能沿着平行于边的方向切割，最多只能切割一次，且切割所用人工费跟切割长度成正比。3.假设每个房间用同一规格的地板砖来铺设，我们首先忽略墙宽度的限制。4.地板砖的铺设没有缝隙间隔，相邻砖之间严格无缝连接。三、符号说明nnnABCDE、 、 、 、各类地板砖的总数、 、 、 、各类地板砖实际购买数Xi 第 i 个
7、房间的横向边长Yi 第 i 个房间的纵向边长iL第 i 个房间需要切割地板砖的长度Ni 第 i 个房间所用地板砖数ni 第 i 个房间所用地板砖未切割的块数mi 第 i 个房间所用地板砖被切割的块数ia第 i 个房间横向铺设未切割的地板砖数ib第 i 个房间纵想铺设未切割的地板砖数pi 第 i 个房间切割地板砖的破损数Q 人工总费用U 切割总费用W 铺设总费用S 房间总面积四、问题分析对于问题一，要实现地板砖成本最小，我们要考虑到地板砖的选取以及怎样铺设这两个问题。对于地板砖的选取，我们对问题所给表格进行处理，发现800mm*800mm地板砖的性价比最优，因此我们在选择地板砖铺设时，优先铺设该
8、地板砖。然后考虑性价比由高到低顺序另和切下的废料的整块铺设，优先使用废料进行铺设，然后进行总费用，总块数以及利用率的计算，得出最优结果。对于问题二，在问题一中我们得知，可以将模型的求解简化为在矩形区域4内的求解。由于本问要求用一种地板砖铺设，问题就转化成将五种地板砖分别在 13 块矩形区域内的求解问题，通过对求解的结果比较选取成本最低的模型。在本问中，除了要求设计出算法比较最低成本外，还要对地板砖的铺设块数、利用率进行计算。我们可以将对地板砖铺设的块数、利用率和总费用的求解，归结到对地板砖的最低费用求解一个大问题中。对于问题三，该问是在允许使用多种尺寸的地板砖进行混合铺设，实现地板砖的自动铺设
9、，并计算出铺设各种尺寸地板砖的块数、利用率和总费用。问题一给出了普遍情况下地板砖的铺设方案，我们优先利用 800*800 的地板砖进行铺设，在不能铺设完整规格的 800*800 的区域外，我们使用较小规格的有与空隙规格合适的地板砖，则直接铺上，若空隙规格与所有地板砖规格不合适，则采取切割 800*800 的地板砖切割填补。在此铺设方案的基础上，在满足切割块数最小的基础上，以铺设费用最小为目标函数，建立目标规划模型，对此模型进行求解得到各类地板砖的块数、利用率和总费用。五 模型一的建立与求解5.1 问题一的分析地板砖的成本包括地板砖的成本、铺设人工费用以及地板砖破损成本这三个方面。我们分别对这三
10、个方面进行分析，建立计算地板砖铺设总成本的模型。要实现地板砖成本最小，我们要考虑到地板砖的选取以及怎样铺设这两个问题。对于地板砖的选取，我们对问题所给表格进行处理，发现 800mm*800mm地板砖的性价比最优，因此我们在选择地板砖铺设时，优先铺设该地板砖。而对于地板砖的铺设，我们优先考虑尽可能多的铺设完整的相同规格的地板砖，然后，在剩余不能铺设完整相同规格地板砖的区域外，我们使用较小规格的地板砖，若有与空隙规格合适的地板砖，则直接铺上，若空隙规格与所有地板砖规格不合适，则采取切割填补。对于铺设人工费用，我们通过查阅相关资料，人工费用不受铺设地板砖种类的影响，只受人数和天数的影响，对于铺设一定
11、面积的地板砖其天数和人数可以看成是一定的，因此我们用定义一个常量 Q，表示人工总费用。从问题所给图可以看出，户型结构图形状是一个多边形，直接计算其需要切割的地板砖以及完整地板砖的块数难度比较大，我们这里将之看成多个矩形的组合。按此思路，我们将户型结构划分为大小不等的十二个矩形，然后在每个大小不等的矩形形状的房屋里铺设瓷砖。5.2 问题一的模型建立5.2.1 对户型结构图的处理通过对问题一的分析，我们将图一房间的区域进行矩形切割，切割后的图形如图一。5图一 房间俯视尺寸图我们对此已分类的矩形进行地板砖的铺设，忽略掉因从新规划而造成的地板砖的破损损失。5.2.2 地板砖的选取由表一可知，若选用“
12、”规格与“ ”规格的铺设相比较，用“ ”nAnDnA规格的铺设总价格优于“ ”规格。若选用“ ”规格与“ ”规格的铺设相比较，用“ ”规格的铺设总nBnEnB价格优于“ ”规格。E同理：若选用“ ”规格与“ ”规格的铺设相比较， “ ”规格的铺设nnBn总价格优于“ ”规格。所以可以得出，我们采用的瓷砖规格越大，越省钱。所以，在允许使用不同规格的瓷砖铺设时，我们优先考虑尽可能多的铺设完整的大规格的地板砖。5.2.3 铺设方案的实现 1、计算得第 i 个房间我们所用地板砖数为 Ni则：； （1）iiin mp又可得出第 i 个房间所用地板砖未切割的块数为 ni 则：； （2）iia*b若第 i
13、个房间所用地板砖被切割的块数为 mi .由于房间纵向与横向边长不一定是大规格的整数倍，则：或 或 或 ；ii mabiiiii0又有第 i 个房间横向铺设未切割的地板砖数为 ai则； （3）iixaX/L得第 i 个房间总想铺设未切割的地板砖数为 bi则； ； （4）iiyY62、计算得第 i 个房间所用地板砖的总块数 Ni；但是由于地板砖的边长都是有一定的规格，矩形房间边长不一定就是最大规格地板砖变长的整数倍，所以需要讨论。若纵向与横向边长都不是最大规格地板砖整数倍 ai LixXi ,bi LiyYi则：；iiiiiixiyxyiN a*b pX/L*Y/X/Y/p（ ） （ ） （ ）
14、（ ） （ ）若横向边长是最大规格地板砖整数倍，纵向边长不是最大规格地板砖整数倍 aiLix=Xi ,bi LiyYi则：；iiixiyixi a/（ ） （ ） （ ）若横向边长不是最大规格地板砖整数倍，纵向边长是最大规格地板砖整数倍 aiLixXi ,bi Liy=Yi 则：i；iiiixiyiyN *b pX/L*Y/Lp（ ） （ ） （ ）若横向与纵向边长都是最大规格地板砖整数倍 , 则：ixiaXyibY；iiNb5.2.4 铺设费用模型的建立为了方便表示各类地板砖，我们按地板砖的大小，分别定义为A、B 、 C、D、E 类，第 i 个房间所用各类地板砖数为 ，因此iiiiABCDE
15、、 、 、 、我们可以得到所用各类地板砖的总数： 12311231nnABCDEE 用 表示第 i 个房间需要切割地板砖的长度，则总需要切割的长度为：iL（5）1231nLL则切割总费用为：（a 为常数） nU（6）考虑到地板砖本身的破损率，因此各类地板砖实际购买数为：、 、 、 、A=92%nB93nC=94%nD95nE=97%n定义 为大于 X 的最小正整数。因此我们可以得到铺设地板砖所需的总费用 W 为：18080725nnnWDEQU（7 ）六 模型二的建立与求解76.1 问题二的分析对于问题二，要求仅使用一种尺寸的地砖进行铺设，并计算铺设地板砖的块数、利用率和总费用，比较分析哪种尺
16、寸的地板砖铺设成本最低。在问题一中我们得知，可以将模型的求解简化为在矩形区域内的求解。由于本问要求用一种地板砖铺设，问题就转化成将五种地板砖分别在 13 块矩形区域内的求解问题，通过对求解的结果比较选取成本最低的模型。在本问中，除了要求设计出算法比较最低成本外，还要对地板砖的铺设块数、利用率进行计算。我们可以将对地板砖铺设的块数、利用率和总费用的求解，归结到对地板砖的最低费用求解一个大问题中。首先，我们可以通过 matlap 设计出算法算出利用五种地板砖的六种方式（600mm*300mm 按两种方式铺设）铺设 13 块矩形区域所需块数。其次，为了减少切割费用，尽量将地板砖切割次数最少铺设，为了
17、达到铺设效果地板砖切割两次即可满足，并且在一个矩形区域内最多有一块地板砖切割两次。对铺设地板砖的形式进行分类，铺设块数中的地板砖铺设形式有三种，分别为不需切割整块铺，沿平行地板砖边缘切割一次铺和沿平行地板砖边缘切割两次铺。再次，通过编程计算可以得出地板砖三种形式铺设的块数，由于每种形式的块数和切割费用的不同，我们可以分别求出三种形式所需费用，相加即可得到使用一种地板砖所需的总费用。最后，利用房间总面积和所使用地板砖总面积的比值即可得到地板砖的利用率。6.2 问题二的模型建立6.2.1 各种地板砖铺设时三种形式块数的模型利用问题一中将房间划分 13 个区域的图形，我们定义第 i 块矩形区域所需第
18、 j 种地板砖的块数为 ， 表示第 i 块矩形区域的边长， 表示第 i 块矩形(,)jinil k区域的边宽， 表示第 j 种地板砖的长， 表示第 j 种地板砖的宽。求解可以jujm通过求解矩形区域的长度上需要的块数和宽度上所需的块数进行计算。定义和 分别表示第 i 个矩形边的长度上所需的(,)()jiliaforj(,)()jikibflorj第 j 中地板砖块数和第 i 个矩形边的宽度上所需的第 j 种地板砖块数（矩形边上的块数是指用地板砖以整块不被切割的形式铺设） 。即： 、(,)()jiliaforuj（其中 floor 表示取整的含义） 。则对 的计算分以下四种(,)()jikibf
19、lormj (,)jin情况：矩形的两边上都恰好用整块铺设时：（8 ）(,)(,)(,)jijijinab矩形长度边上能恰好用整块铺设完，宽度边上不能够只用整块铺设完时：（9）(,)(,)(,)(,)jijijiji矩形宽度边上能恰好用整块铺设完，长度边上不能够只用整块铺设完时：（10）(,)(,)(,)(,)jijijijinab8矩形的两边上都不能恰好用整块铺设时：（11）(,)(,)(,)(,)(,)1jijijijijinab6.2.2 各种地板砖铺设时三种形式费用的模型对地板砖铺设费用的计算，可以通过求得的地板砖的块数求解。我们定义表示用第 j 种地板砖铺设第 i 类形式铺设时所需费
20、用， 表示第 j 种地(,)jiw ()qj板砖的价格， 表示第 j 种地板砖的损坏率， 表示被切割两次后的地板()t ()vj砖块的最小边。通过所用块数计算费用时，需要将地板砖的三种形式铺设费用分类计算。即费用来源分为三类：对于没有被切割的地板砖费用的计算：（12）(,1)(,)/j jiwqnt对于被切割一次的地板砖费用的计算：(,2) (,)4/j jijnt（13）对于被切割两次的地板砖费用的计算：(,3) (,)()/0/j jiwqjvjt（14）对于 的计算：()vj(,)(,1)jivjkimn（15）(,)(,2)(jiji（16）in,1,2vjjv（17）总的地板砖费用为
21、:(,1)(,2)(,3)()jjjjww（18）6.2.3 各种地板砖铺设时的利用率的模型对于利用率的计算，可以利用房间总面积和所用地板砖的总面积的比值来计算。定义房间总面积为 。 表示第 i 个矩形区域的面积，则：13()iiS()iS1313()iiilk（19）9用 表示所用地板砖的总面积，则：C61()jjjCum（20）利用率用 表示，则利用率：PCPS（21）6.3 问题二的模型求解6.3.1 各种地板砖铺设时三种形式块数的计算对于计算各种地板砖铺设时三种形式块数问题，通过 matlab 编程求得在第i 个矩形区域内所铺设第 j 种地板砖的块数表如表 2：表 2 各种地板砖铺设时
22、三种形式块数表尺寸 800*800 600*600 400*400 300*300 600*300 300*600所需总块数 217 355 791 1292 681 674完整铺设的块数 142 264 648 1231 579 561切割一次铺设的块数65 84 134 60 97 112切割两次铺设的块数10 7 9 1 5 16.3.2 各种地板砖铺设时三种形式费用的计算对于计算各种地板砖铺设时三种形式费用问题，利用所建模型，通过matlab 编程求得的费用如表 3：表 3 各种地板砖铺设所需费用表尺寸 800*800 600*600 400*400 300*300 600*300 3
23、00*600所需总费用 42757 49988 60521 60807 58365 57814完整铺设的费用 27783 36903 49112 57703 49277 4774510切割一次的费用 12977 12078 10692 3053 8043 9980切割两次的费用 1997 1006 718 51 446 89由表 3 可得知，800mm*800mm 的铺设费用最低为 42757 元，300mm*300mm 所需费用最高为 60807 元，600mm*300mm 的两种铺设方式费用差别较小。6.3.3 各种地板砖铺设时的利用率的计算对于计算各种地板砖铺设的利用率问题，由上述模型的
24、建立，通过 matalab编程的实现，得到每种地板铺设的利用率表，如表 4：表 4 各种地板砖利用率表尺寸 800*800 600*600 400*400 300*300 600*300 300*600利用率 0.8214 0.8926 0.9013 0.9810 0.9306 0.9402由表 4 可知，使用 300mm*300mm 的铺设利用率最高为 0.98，使用800mm*800mm 的利用率最低为 0.8214。七 模型三的建立与求解7.1 模型三的分析该问是在允许使用多种尺寸的地板砖进行混合铺设，实现地板砖的自动铺设，并计算出铺设各种尺寸地板砖的块数、利用率和总费用。由于各类地板砖
25、的尺寸均不一样，因此我们需要在第二问求解一种地板砖铺设方案的基础上重新设计铺设方案。问题一给出了普遍情况下地板砖的铺设方案，并得到了 800*800 的地砖是性价比最高的，因此在重新划分的十三个矩形房间，我们优先利用 800*800 的地板砖进行铺设，在不能铺设完整规格的 800*800 的区域外，我们使用较小规格的有与空隙规格合适的地板砖，则直接铺上，若空隙规格与所有地板砖规格不合适，则采取切割 800*800 的地板砖切割填补。在此铺设方案的基础上，在满足切割块数最小的基础上，以铺设费用最小为目标函数，建立目标规划模型，对此模型进行求解得到各类地板砖的块数、利用率和总费用。7.2 模型三的建立7.2.1 铺设方案的实现如同问题分析所示，我们假设每个房间用同一规格的地板砖来铺设，首先我们先忽略墙的限制，我们用矩形地板砖拼成一个面积小于等于矩形房间面积的，而且能够将矩形房间不能覆盖住的最大矩形。然后我们把多余的超出矩形房间的部分切割掉，切割剩余地板砖不再重复利用。对于图中右上角的地板砖需要两次切割，我们假设能有那么大小剩余地板砖恰好填上。如下图 2 从左下角开始铺先选用“ ”规格的铺设，到上边和右边的时候，nA此规格的地板砖已经放不下了，我们则可以用其他规格的地板砖来铺设。如此我们则可以做到最优化设置。
