1、 数值计算方法复习题一、 （1）简述求解非线性方程的常用的方法有哪些？（2）用二分法求解方程 在0，1之间的一个根，要求误差不02sinxex超过 。5答案：（1）求解非线性方程的常用的方法有二分法、迭代法、牛顿法、弦截法（2）令 ，则 ， ，sin2xfe01f0.6321f且 co 在 之间有且仅有一个根 ，其计算过程为：fx0,1*xn函数值符号 有根区间 误差限1 .50.16f0.5， 122 2392，3 .7.f .37， 34 04501450.， 412取 为 的近似值，且682x*x*45x二、举例说明误差的来源主要有哪些？在数值计算中值得注意的问题主要有什么？答案：误差的
2、主要来源有：（1）模型误差；（2）观测误差；（3）截断误差；（4）舍入误差。在数值计算中值得注意的问题主要有：（1）防止相近的两数相减；（2）防止大数“吃掉”小数；（3）防止除法中除数的数量级远小于被除数。三、 （1）简述 LU 分解法求解线性方程组的步骤；（2）已知61321254273试用 LU 分解法求解方程组。71354272x答案：（1） 分解法求解线性方程组的步骤：LU对于方程组 ，首先对系数矩阵 进行 分解： ；则 AXbALUAL，接下来分别求解两个三角方程组即可：和LYbU（2）首先对系数矩阵 进行 分解ALU12316A由 ，可解得LYb3,5TY再由 ，得UX21四、叙述
3、收敛阶的定义，并说明一般情形下牛顿法的收敛阶是多少？用牛顿法求解 在区间1，2 内的一个根，要求迭代 4 次。0213x答案：设序列x k收敛于 x*。若存在常数 p(p1)和 c(c0)，使cxpk*lim1则称序列 xk是 p 阶收敛的。一般情形下牛顿法的收敛阶是 2。牛顿迭代公式为：，取 x0 =1，则迭代序列为：13021kkxxk xk0 1YbX 1 1.6923082 1.5971213 1.5945644 1.594562所以取 x4 =1.594562 为近似根。五、叙述插值的定义；已知函数表如下： x 0.1 0.2 0.3 0.4 ex 1.1052 1.2214 1.3
4、499 1.4918 试用抛物线插值求 e0.285 的近似值。答案：设函数 在区间 上有定义， 是 上 个互异)(xfy,banx,10 ,ba1点，且 在其上的函数值分别为 。若存在函数 使)(xf ny,10 )(，则称 为 的插值函数。),10niyi)(xf抛物线插值函数为：，2120212101020102 )()()()( yxxyxyxxL 取 x0 =0.2，x 1 =0.3，x 2 =0.4，得398.)5.(285. e六、用变步长梯形法计算积分 的近似值（二分两次即可） 。xd sin10答案：令 ，则xf sin)(92735.0121T.)(f94513.0424
5、9513.0d sin10x七、已知函数表如下： 100 121 144 169 x 10 11 12 13 试构造差商表，用三次牛顿基本插值多项式计算 的值。17答案：构造差商表： xfx一阶差商 二阶差商 三阶差商100 10121 11 0.047619144 12 0.043478 -0.000094169 13 0.040000 -0.000072 0.00000031310.476910.94102Nxxx32把 代入上式，可得17x170.8八、叙述向量范数的一般定义。任意给出一种具体的向量范数定义，并求 的范数。(0,134)Tx=-答案：（1） 是一个 维向量，若存在 满足x
6、nxR 且 当且仅当00 ，有RxA xy则称 为 的范数（2） 1nxx0348九、推导牛顿法求解非线性方程的公式，并指明其几何意义；叙述收敛阶的定义；一般情形下牛顿法的收敛阶是多少？答案：（1） 在 处泰勒展开：fxR0kkkffx1kkfxx（2） *limkPkCx0常 数则称迭代法的收敛阶为 P（3）2十、已知函数 在 处的函数值分别为 。试求四次牛顿插)(f6,53206,5231值多项式，并计算 。.答案： 41310Nxxx42.5.279fN十一、用龙贝格算法计算积分 的近似值（要求二分四次） 。xd cos402答案：解： k2kT12kS2kC32kR0 5.21781
7、4.7752 4.62762 4.9214 4.9701 4.99293 4.9528 4.9633 4.9629 4.96244 4.9620 4.9649 4.9651 4.9651201cos4.9651xd十二、叙述用幂法求方阵的主特征值和主特征向量的算法。答案：、 非零向量0Vy1kAmaxkky2，则 1lik1liaxkkV名词解释1.相对误差2.向量的范数3.插值函数4.代数精度答案：1.若 是准确值， 是 的一个近似值，则 称为 的相对误差x*x*rxe*2. 是一个 维向量，若存在 满足：nxR 且 当且仅当 ；0x0 ，有 ；RxA xy则称 为 的范数3.设函数 在区间 上有定义， 是 上 个互异点，yfx,ab01,nx,ab1且 在其上的函数值分别为 。若存在函数 使f 01,nyx，则称 为 的插值函数。0,1iixynxf4.若数值积分公式对任意小于或等于 次的代数多项式都准确成立，而对于m却不能准确成立，则称该数值积分公式的代数精度为1m m
