1、數 5設不同的英文字母代表不同的阿拉伯數字，那麼下列以英文寫的的數字謎實際上代表什麼算式呢？10460TENFORYSIX例題 1. 已知民國 93 年 7 月 1 日是星期四，試問民國 93 年的國慶日是星期幾？解：我們知道 7 月 8 日、7 月 15 日都是星期四，也就是每隔 7 天都是星期四，又因為 7 月、8 月各有 31 日，9 月有 30 日，所以從 7 月 2 日到 10 月 10 日，共有 日。101 除以 7 的餘數是 3，故由 7 月 1 日和 1030101月 10 日的前三日(即 10 月 7 日)都是星期四，所以 10 月 10 日是星期日。1. 將自然數依照下列規
2、則排列，試問 200 位於哪一種顏色底下？紅 橙 黃 綠 藍 靛 紫1 2 3 4 5 6 713 12 11 10 9 814 15 16 17 18 1925 24 23 22 21 2026 27 如果 的餘數是 0，就說 整除 ，記作 。此時 ，)(babababq是整數，我們稱 是 的因數（Factor 或 Divisor） ，也稱 是 的倍數qa（Multiple） 。例如： ，所以 30 是 6 的倍數， 6 是 30 的因數，記作563。又由 知 也是 30 的因數，或由 知 6 也是6|30)( )5(30的因數，故記作 和 。基於以上的觀察，我們只要研究正整數|0|3的正因
3、數就可以清楚整數的所有正、負因數的情形了。所以除非特別說明，否則我們只考慮正整數的正因數與正倍數問題。另外，我們規定0 不是任何整數的因數 。由因數、倍數的定義，可以立刻推得下面的事實：設 、 、 是整數abc且 ，則有(1)若 且 則 ；(2) ，即 0 是非零整數的倍0abab|c|a數；(3) 且 ，即 1 與 都是 的因數。a1a例題 3. 設 、 、 是整數且 ，試證下列重要的結論：bc0若 ， 且 、 是任意整數，則 。amnncmba證明：由 與 知 且 ，其中 與 都是整數。於是bcapcqpq()nnn因為 是整數，所以 。mpqmbc類題演練 3. 設 、 、 、 都是不為
4、 0 的整數。試證：abcd(1)若 且 ，則 ；(2) 若 且 ，則 。badcba以下是關於判斷一個整數是否為 3 或 9 的倍數的原理。例題 5. 設 是五位數，試證：abcden(1) ， (2) 。9 edcban|3|證明： 4321010cecde(9)(9)()(91) ababc故 ，)11(9dnedcba 由此可知 且 。9abcdeedcban|3|類題演練 5. 設 是五位數，試證 。abcden1|()()nacebd提示： ， ， 。 10019019若 不是質數，那麼就稱 為合成數（Composite number） ，例如：a4，6，8，9，。在此定義下，我們
5、注意到：1 既不是質數，也不是合成數！設 是大於 1 的整數。若 不是質數，則 一定可以寫成 ，其中 ，nnnban也是大於 1 的整數。如果 （或 ）不是質數，又可繼續分解，例如：bab226(3)其中質數 2 與 3 都是 12 的因數，我們稱 2 與 3 是 12 的質因數（Prime factor） 。因此每個大於 1 的整數都可以分解成它的質因數的連乘積，這就是算術基本定理。算術基本定理（Fundamental Theorem of Arithmetic）設 是一個大於 1 的整數。若 是 的所有相異的質因數，n kpp21n則 一定可以唯一的表示成下列的形式： 12knn 其中 ，
6、 ， 都是正整數。這個式子又稱為 的標準分解式。1n2kn例題 6. 試將 120 寫成它的質因數的連乘積。解： 。5322)15(2)30(6210 數個世紀以來，數學家一直致力於研究質數。因為每個整數都可分解成它的質因數的乘積，所以質數可以被視為構成整數的基本分子 。我們該如何判斷一個整數，譬如說，791 是不是質數呢？讓我們反向來思考一下：如果 791是合成數，那麼 791 一定可寫成兩個大於 1 的整數之乘積 其中ba791且 。這裡的 與 一定有 或 。假設 ，那麼Nba,1,babba，因而 的任一個質因數 （當然 也是 791 的質因數）792p也滿足 。所以，若 791 是合成
7、數，則一定有質因數 滿足 。換p p7912句話說，如果所有滿足 的質數都不是 791 的因數的話，那麼 791 就不12p是合成數了！因為 ，所以要判斷 791 是不是質數，只要檢驗小於984729 的正質數 2，3，5，7，11，13，17，19，23 是不是 791 的質因數就行了。顯然，791 不是 2，3，5 的倍數。接下來檢驗 7，發現 ，所以 7911379不是質數。現在想想 113 是不是質數？我們知道 ，所以只要檢123驗 2、3、5、7 看看是不是 113 的因數就行了，顯然 2、3、5 都不是 113 的因數，而以 7 除 113 又不能整除；由此可知 113 是質數，而
8、且 791 的質因數分解為。 一般來說，給定正整數 後，先找一個比 大一點的完全平方數19nn，若所有小於 的質數都不是 的因數的話，那麼 一定是質數。2kkB. 最大公因數與輾轉相除法某會議廳長 12 公尺，寬 10 公尺，如果它的地板要舖正方形磁磚而且希望舖大塊的看起來比較大方，那麼可以使用的方形磁磚的最大邊長 是多少公尺n呢？ 顯然 是 12 的因數，也是 10 的因數，即 是 12 與 10 的公（共的）因數。nn那麼最大的方形磁磚的邊長就是 12 與 10 的公因數中最大的那個數。一般來說，若正整數 是整數 與 的所有公因數中最大的數，我們就稱 為 與 的最大dab dab公因數（G
9、reatest common divisor） ，簡稱 gcd，記作 。例如：(,)。比較特別的，當 時，我們說 與 互質（Relatively (10,2)1),(aabprime） 。例如 ， 所以 3 與 4 互質。(3,4)1相信很多同學都看過中國農民曆。農民曆是以天干（甲乙丙丁戊己庚辛壬癸） 、地支（子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥）相配，由甲子開始循環記年。民國九六：（2007）丁亥民國九五：（2006）丙戌民國九四：（2005）乙酉民國九三：（2004）甲申民國九二：（2003）癸未民國九一：（2002）壬午民國九十：（2001）辛巳民國八九：（2000）庚辰民國八八：（1999）己卯民
10、國八七：（1998）戊寅民國八六：（1997）丁丑民國八五：（1996）丙子民國八四：（1995）乙亥民國八三：（1994）甲戌民國八二：（1993）癸酉民國八一：（1992）壬申民國八十：（1991）辛未民國七九：（1990）庚午民國七八：（1989）己巳民國七七：（1988）戊辰民國七六：（1987）丁卯民國七五：（1986）丙寅民國七四：（1985）乙丑民國七三：（1984）甲子豬 狗 雞 猴 羊 蛇馬羊 蛇 龍 兔 虎 牛 鼠 豬 狗 雞 猴 羊 蛇馬羊 蛇 龍 兔 虎 牛 鼠已知民國九十四年歲次乙酉，那麼下一個乙酉年是民國多少年呢？除了如上一一列出後才能得知答案外，若先計算出十天干與
11、十二地支相配循環一周需六十年，那麼答案豈不呼之即出了？ ，民國一百五十四年是下154609一個乙酉年。因為循環一周是六十年，故俗稱六十年為一甲子。試想一想，60是怎麼算出來的？因為十天干循環一周需十年，而十二地支循環一周需十二年，二者相配，若循環一周需 年的話，則 一定是 10 與 12 的倍數；也就是說，kk是 10 與 12 的公（共的）倍數。而 是循環一周所需年數，所以 是這些公倍k k數中最小的那個數，即 。一般來說，若正整數 是整數 與 的所有正60kmab公倍數中最小的數，我們就稱 為 與 的最小公倍數（Least common mabmultiple）簡稱 lcm，記作 。例如：
12、 。一般來說，正整數, 10,26， ， 的 gcd 與 lcm 為1a23， 。123()()aa， ， ， ， 123123aa， ， ， ，例題 7. 試求：(1) 及 ， (2) 及 。(104,26)104 ,26(104 ,26 5)104 ,26 5解：(1)由知 2513061352604104 與 260 的公因數都可寫成下列形式：其中 ；kn132 10，n，k所以 (104 , 260) 。5232又 104 與 260 的公倍數都可寫成下列形式：其中 ， ，kmn5m1所以 。3104 ,2610(2) ， 42)5,32()5,(),( 233 5110若 ， ，則知
13、 ，( ,)dab,mabadpbq其中 與 是兩個互質的正整數。由此不難看出pq因此 。即兩個正整 , ,dpq()()mdab數的 gcd 與 lcm 的乘積正是這兩數之積： 。,ab例題 8. 試找出所有可能的正整數 與 使得 且 。15),(315,ba解：由 知 ， ，其中 與 為互質的正整數。再由15),(bap15bqpq知 。(,),abab 31515qp故 且 與 互質。這種解有四組：(1) ， ；(2) ，2pq 1p2q3p；(3) ， 及(4) ， 。對應的，就有(1) ，73215a；(2) ， ；(3) ， 及(4) ， 。315b4a105b05a4bb我們已經
14、知道：如果能求出 與 的質因數分解式，那麼 就不難得到；但),(有些時候，想分解 或 為質因數乘積並不容易。例如：求 時，想ab )190,4找出它們的質因數就很費力了；這時，我們可以利用輾轉相除法來求。),(ba輾轉相除法又稱為歐幾里德算法 （Euclidean Algorithm） ，是整數論中最重要的成就之一。歐幾里德（Euclid of Alexandria , 365BC300BC）在幾何原本中提出利用反覆（輾轉）相除的方法來計算兩個整數的最大公因數。它的原理如下：設 ， 為正整數且abba(一)相除： 其中 或 。rq0br當 時， ；顯然 。0rbaa),(當 時， 告訴我們哪些
15、關於 的訊息呢？rq),(ba(1)如果 是 與 的公因數，那麼 且 。利用例題 4 的結果得dab|d|，即 ；顯然 也是 與 的公因數。|rr(2)又若 是 與 的公因數，那麼由 且 知 ，即 ；也就|b|dbqr|da是說 也是 與 的公因數。dab綜合(1)，(2)的觀察可知： 與 的公因數就是 與 的公因數 ；反a過來說 與 的公因數也是 與 的公因數 。故 。 請rb),(,rba注意：這裡 且 。ab(二)輾轉：若 ，則再以 來除 ，設 ， ，由前面的討論0rr1rqr10知 這裡 。因此，反覆利用除法可以逐步將除數變小，1,)(,1餘數自然隨之變小，直到餘數等於 0 為止。rb
16、qabr1brqr1022這裡 但 ，則 。11kkrr0kr1kr(,)kabr輾轉相除法 （Euclidean Algorithm）設 ， 為正整數且 。若 其中 ，則 ；反覆ababqr0rb(,),abr利用除法，逐步將除數變小直至餘數等於 0 為止，則最後的除數便是 。(,)現在我們以 ， 為例說明如何以輾轉相除法求 。190a41b )14,90(9014268530因此 。3),41(),49()8,1()4,190( 若將上述橫式步驟 由下往上逆推，可得 1 3利用583 3利用 23 2利用 4)90( 4190 1，其中 ，nbma1(14n一般來說，對於正整數 ， ，利用
17、輾轉相除法必可找到一組整數 與 使得ab mn。nbma),(例題 9. 試用輾轉相除法求 ，進而再求 。(6913,5270)6913,5270解：因為 1 4890 21524 338 451693527041279648310整數 的正因數有幾個？n我們先看看 72 的正因數有哪些？因為 ，所以令32710,A， ，那麼從 中任取一個數 ，從 中任取一個數 ，就對2,320,1A1A1s22s應到 72 的一個正因數 ：123s10,23s0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 32,0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2123sd1 2 4 8 3 6 12 24 9 18
18、 36 72所以 72 的正因數共有 個2)(3圖 1-5一般來說，設 的標準分解式為 其中 是相異質n12knnp 12,kp數， 是正整數。則 的正因數的個數等於12,k。1knn所以 。由除法可知(6913,487)1， ，由於 3125037是 6913 與 5270 的 ，因此 223 與 170gcd一定互質；所以。691,50752習題 1-2基礎題1.試列出所有 180 的正因數。2.下列何者為質數？ (A)149 (B)197 (C)299 (D)337 。3.試將 333333 分解為質因數的連乘積。4.設 且 ，則 ？Nn3246n5.以 5 除 得商數 餘數 3，以 5 除 得商數 餘數 4，則 除以 5 的商與餘xaybyx數各是多少？6.試求 及 。)90,176( 90,176進階題7.設 、 、 、 、 皆為正整數，且滿足 ，求 、 的最大ab1q23 426913qbaab公因數。8.若七位數 為 99 的倍數，則 分別是多少？7062xy,xy9.我國農曆以天干（甲乙丙丁戊己庚辛壬癸） 、地支（子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥）記年，即甲子，乙丑，丙寅，癸酉，甲戌，乙亥，丙子，則(1)試問有沒有 乙未年，有沒有丁申年？(2)已知民國 95 年為丙戌年，則民國 120 年是什麼年？思考題10.設 ， 且 ， ，則 各是多少？abN34a25,ba,ab
