第十章 电荷和静电场.doc

1、第十章 电荷和静电场10-1 当用带电玻璃棒吸引干燥软木屑时，会发现软木屑一接触到玻璃棒后又很快跳离。试解释之。答：先极化接触后电荷一部分转移至软木屑，后同性电荷相斥。10-2 当带正电的玻璃棒吸引一个悬挂的干燥软木小球时，我们是否可以断定软木小球带有负电荷？当带正电的玻璃棒排斥一个悬挂的干燥软木小球时，我们是否可以断定软木小球带有正电荷？答：不能。软木小球可能带电荷为零，也可能带有负电荷。可以10-3 两个相同的小球质量都是 ，并带有等量同号电荷 ，各用长为 的丝线悬挂于同一点。由于电荷mql的斥力作用，使小球处于题图所示的位置。如果 角很小，试证明两个小球的间距 可近似地表示为：x1230

2、4qlxg证：由库仑定律得 ：20Fx而： tanmgf201tan4qmgx 角很小 2tsixl故： 即得： 证毕 2014xqmgl 2301qlmg 12304qlxmg10-4 在上题中， 如果 l = 120 cm，m = 0.010 kg，x = 5.0 cm，问每个小球所带的电量 q 为多大？解：由上题得：1320xql132985208.4c10-5 氢原子由一个质子和一个电子组成。根据经典模型，在正常状态下，电子绕核作圆周运动，轨道半径是 。质子的质量 ，电子的质量 ，它们的电量105.29rm271.6Mkg319.0mkg为 。.6ec(1)求电子所受的库仑力；(2)电

3、子所受库仑力是质子对它的万有引力的多少倍？(3)求电子绕核运动的速率。解： 2014eFr2199.608.152938288.160.105N 202emrMFG2919137.0.667.029381278.9601.739.1 20evFr向813.105.29em6318.259062.81ms10-6 边长为 a 的立方体，每一个顶角上放一个电荷 q。解： 由对称性可知，任一顶角的电荷所受合力的大小是相等的。如图示，求其中任一顶点 A 上电荷所受的力。建立直角坐标系22 2 200 0 01111sin45cos454 3xqqqqFaaaa 202021318924.qa201.9

4、4yzxqFa 206323x 20.6qa与 x 轴夹角为 与 y 轴夹角为 与 z 轴夹角为1cos1cos31cos3即：合力的方向为立方体的对角先方向 =54.73=5444=10-7 计算一个直径为 1.56 cm 的铜球所包含的正电荷电量。解： 3334126dVR 316mvd3231909.01.0.5dmQneNe 332231953.14861.667.830c （注：铜的密度 ， 原子序数为 29，原子量 ）32.90kgm0.m10-8 一个带正电的小球用长丝线悬挂着。如果要测量与该电荷处于同一水平面内某点的电场强度 E，我们就把一个带正电的试探电荷 引入该点，测定 F

5、/q0。问 是小于、等于还是大于该点的电场强度0q0FqE？答：若考虑电荷在电场力的作用下会在小球内产生移动（如图所示）同性相斥，则由于试探电荷 的引入，则该点的电场强度 比 要大。即0qE0Fq 0FEq，在没有 引入时，小球内的电荷分布是均匀的。010-9 根据点电荷的电场强度公式 当所考查的点到该点电荷的距离 r 接近零时，则电场强度204qEr趋于无限大，这显然是没有意义的。对此应作何解释？答：这里是将电荷当作点电荷来处理，而实际情况当 r 接近零时电荷就不能认为是点电荷了。因此此时公式 不成立。204qEr10-10 离点电荷 50 cm 处的电场强度的大小为 。求此点电荷的电量。1

6、2.0Nc解： 204qr 22 109.5.0681Ec010-11 有两个点电荷，电量分别为 5.0107C 和 2.8108C，相距 15 cm。求：(1)一个电荷在另一个电荷处产生的电场强度；(2)作用在每个电荷上的力已知：点电荷 715.0;qc82.10;qc115.0rcm求： 12;EF解： （方向沿两电荷联线向外）17941220.8.1.80450NCr（同上）8942210.qE84432121.0.56.105.6910F N （方向沿两电荷联线相互排斥）10-12 求由相距 l 的 q 电荷所组成的电偶极子，在下面的两个特殊空间内产生的电场强度：(1)轴的延长线上距轴

7、心为 r 处，并且 r l；(2)轴的中垂面上距轴心为 r 处，并且 r l。解：（1） 12220044qqEllrr220qlr rl?304l 302pEr（2）如图示： 1 2220cos4lqElrr32204qlr ,rlpq?304pEr10-13 有一均匀带电的细棒，长度为 L，所带总电量为 q。求：(1)细棒延长线上到棒中心的距离为 a 处的电场强度，并且 aL；(2)细棒中垂线上到棒中心的距离为 a 处的电场强度，并且 aL。解：（1）取细棒的一线元 ，则 中的电荷为 。可视为点电荷dxqdxl 方向沿轴线方向 204qldEax故： 22 22004l lddaxqx 2

8、01|4lqla02lll204()qlla 20()4lEi（2） 204()qdxldEa204()qdxldEa 1220sin4()qxlax 2 2330 02 244()()l llqqadxadxlEd22 2220004lqlqaax ql xla 1204qEjla10-14 一个半径为 R 的圆环均匀带电，线电荷密度为 。求过环心并垂直于环面的轴线上与环心相距 a 的一点的电场强度。解：如图：圆环上一线元 上产生的电场强度为：d204()RdEa与其对称的一线元 产生的电场强度为 ：d， 204()daR两个电场强度的合成为： 122202sin4()()dadEaR 33

9、3022222200()()()Ra 故： 322014()aEk10-15 一个半径为 R 的圆盘均匀带电，面电荷密度为 。求过盘心并垂直于盘面的轴线上与盘心相距的 P 点电场强度。a解：由上题知，圆环上电场强度 322014()RaEk环3220()da 330222201144()()R RdRkEka 盘220 01614 ak kaRR 10-16 一个半径为 R 的半球面均匀带电，面电荷密度为 s。求球心的电场强度。解：由题 9-14 知：圆环的电场强度为： 32014()rzEi环230Rzdi?02sinco4i20001icos244Eidi i 半 球 面10-17 回答下

10、列问题: (1)处于高斯面内的任何位置上的电荷对该高斯面的电通量是否都有贡献？是否只要电量相同，贡献就相等？(2)处于高斯面外的任何位置上的电荷对该高斯面的电通量是否都无贡献？(3)假设一个点电荷正好处于高斯面上，那么这个点电荷对该高斯面的电通量是否有贡献？答：（1）是的。高斯面内的任何位置上电荷对高斯面的电通量都有贡献。只要电量相同，电性相同，贡献就相同。（2）处于高斯面外的任何位置上的电荷对该高斯面的电通量无贡献。（3）点电荷正好处于高斯面上，则这个点电荷对高斯面的电通量是有贡献的。10-18 在高斯定理 中，高斯面上的 E 是否完全由式中的 q 所产生？如果 q = 0，是否0sqEd?

11、必定有 ？反之，如果在高斯面上 E 处处为零，是否必定有 ？0 0答:否，高斯面上的 不完全由式 中的 所产生. 不一定 （只需 垂直，E0sqd?q0Eds与即可） 。而高斯面上的 处处为零，则必有： 。10-19 如果把电场中的所有电荷分为两类，一类是处于高斯面 S 内的电荷，其量用 q 表示，它们共同在高斯面上产生的电场强度为 ，另一类是处于高斯面 S 外的电荷，它们共同在高斯面上产生的电场强度为E，显然高斯面上任一点的电场强度 试证明： E E(1) ； (2) 0sqd?0sd?解：高斯面的电通量可以表示为： ess ssEEdEd?显然，上式中的第一项是高斯面内部电荷对高斯面电通量

12、的贡献，第二项是高斯面外部电荷对高斯面电通量的贡献。高斯定理表述为“通过任意闭合曲面 S 的电通量，等于该闭合曲面所包围的电量除以 0，而与 S 以外的电荷无关。”可见，高斯面 S 以外的电荷对高斯面的电通量无贡献。这句话在数学上应表示为：(1)0sEd?所以，关系式 的成立是高斯定理的直接结果。s因为： 于是可以把高斯定理写为：E 0ssqEd?将式(1)代入上式，即得： (2)0sqEd?10-20 一个半径为 R 的球面均匀带电，面电荷密度为 s。求球面内、外任意一点的电场强度。解: 如图示.（1） 取高斯面 ( ) (半球为 )1Srr由高斯定理: 10sEd?故 24r（2） 取高斯

13、面为 ( )2SrR由高斯定理: 20sqEd?的方向沿半径向外.(垂直于球面)2204RrE9-21 一个半径为 R 的无限长圆柱体均匀带电，体电荷密度为 。求圆柱体内、外任意一点的电场强度。解:据题意.电场分布具有轴对称,以对称轴为 x 轴(如图示)取高斯面半径为 r.轴为 x 轴的柱面 (柱长为 ) ( )1SrR则，由高斯定理: 120sqrEd?20sEdsEr?侧 底 顶方向垂直于 x 轴沿径向向外.20r?内当 rR 时.取高斯面为 (如图)2s则，由高斯面定理: 1 200sqREd? 20EdsEdsr?侧 底 顶方向垂直 x 轴沿径向向外.220rr外10-22 两个带有等

14、量异号电荷的平行平板，面电荷密度为 s，两板相距 d。当 d 比平板自身线度小得多时，可以认为两平行板之间的电场是匀强电场，并且电荷是均匀分布在两板相对的平面上。(1)求两板之间的电场强度；(2)当一个电子处于负电板面上从静止状态释放，经过 的时间撞击在对面的正电板上，若81.50s，求电子撞击正电板的速率。2.0dcm解:（1） 如图示:据题意, d 比平板的线度小得多. 电场强度的方向垂直于平行平板,取如图示的柱面为高斯面(半径为 r)则，由高斯定理: 120Esr?2ddsE侧 顶 底方向如图示,由上指向下.062E同理 方向由上指向下0方向由上指向下06E里 +-在平板以外,取高斯面包

15、括两个平板(仍为柱面).则，由高斯定理： 20sEd?E0外（2） 电子在电场中受电场力作用加速： 2tv2618.01.705tdmsv10-23 电势为零的地方，电场强度是否一定为零？电场强度为零的地方，电势是否一定为零？分别举例说明之。答：电势为零的地方，电场强度不一定为零电场强度为零的地方，电势也不一定为零如平行板电容器，当一个板接地时这个板的电势为零但此时的电场强度不为零10-24 一个半径为 R 的球体均匀带电，电量为 q，求空间各点的电势。解：方向沿往向向外032E= Rr当 rR 时： ；3332000014rRqVdrr当 rR 时： 12201(sin)4coRddVr21

16、20i(s)2 21 10 02 2incos(co)()RdRdVr rR 2 2220 004s 04Qr当 rR 时： 2014VErr当 rR 时： 10-29 什么是导体的静电平衡？金属导体处于静电平衡时具有哪些性质？答：在金属导体中，自由电子没有定向运动的状态称为静电平衡。金属导体处于静电平衡时具有以下性质：（1）整个导体是等势体，导体的表面是等势面。（2）导体表面附近的电场强度处处与表面垂直。（3）导体内部不存在净电荷，所有过剩电荷都必须在导体表面上。9-30 如题图所示，金属球 A 和金属球壳 B 同心放置，它们原先都不带电。设球 A 的半径为 R0 ，球壳 B 的内、外半径分

17、别为 R1 和 R2。求在下列情况下 A、B 的电势差：(1)使 B 带+ q； (2)使 A 带+ q；(3)使 A 带+ q，使 B 带 q； (4)使 A 带 q，将 B 的外表面接地。解：（1）B 带+q 则导体 B 是一个等势体内部的电场强度为零。0AU（2）A 带+q 则导体 B 产生静电感应静电平衡时： 012();4qVR0102()44BqqVR01()ABU（3）A 带+q B 带 B 球壳电荷全部部分布在内表面，则q01();4AqVR01()4BqVR01()ABU（4）A 带 B 的外表面接地 即：q0BV00114qVR00101()4AB qURR10-31 两平

18、行的金属平板 和 ，相距 ，两板面积都是 ，带有等量异号电荷ab5.dm250Scm，正极板 接地，如图所示。忽略边缘效应，问：82.610QC(1) 板的电势为多大？b(2)在 、 之间且距 板 1.0 mm 处的电势为多大？aa已知： 35.0.10dm22150.10Scm826QCaV求： （如图示）bVp解：8511220.60.085E VmS 331220.abQdUabbV010babVUV5322ppaEdl?0p10-32 三块相互平行的金属平板 a、b 和 c，面积都是 ，a、b 相距 4.0 mm，a、c 相距 2.0 20cmmm，b、c 两板都接地，如图所示。若使

19、a 板带正电，电量为 ，略去边缘效应，求：73.1C(1) b、c 两板上感应电荷的电量；(2) a 板的电势。已知： 220.10Scm34.0.10abdm3.acdbcV73qC求： 、 、bQa解： 板上电量 分布于它的两个侧面上，设右侧面电量为 ，左侧面的电量 ，则 用高斯q 1q2q12q定理可证， 板上感应电量为 ， 板上感应电量为 ，均匀分布于与 板相对的侧面上，因此 、1qc2aa两板间场强及 、 两板间场强分别为：bac（1）10aqES20acES2abcEq、 两板间及 、 两板间电势差分别为： b ababUdacacEd、 都接地，电势都为零，所以： 即： cabc

20、E所以： （2）32.014abcEd由（1） （2）式得： 71.qC72.01qC板上感应电荷即为： 板上感应电荷即为：b01c 72.01qC板的电势为：a 7331240.6850abababVUEd VS10-33 如图所示，空气平板电容器是由两块相距 0.5 mm 的薄金属片 A、B 所构成。若将此电容器放在一个金属盒 K 内，金属盒上、下两壁分别与 A、B 都相距 0.25 mm，电容器的电容变为原来的几倍？解 将电容器 AB 放入盒中，在 A、K 间形成电容 ；B、K 间形成电容CBKC02AKBABSCCd而 、 成串联关系，然后再与 并联（如图示）AKBAB2AkBBABA

21、CC?可见，放入金属盒中后，电容增大到原来的 2 倍。10-34 一块长为 、半径为 R 的圆柱形电介质，沿轴线方向均匀极化，极化强度为 P，求轴线上任意一点l由极化电荷产生的电势。解：建立如图示的坐标系，极化电荷密度为： Pn?2014rddVx?半径为 R 的圆面，电荷面密度为 的面电荷产生的电势为：P220014PrdVrxx?对于均匀极化，极化电荷只出现在电介质的表面上 2 22 20PllllVRxRx 2220llxx10-35 厚度为 2.00 mm 的云母片，用作平行板电容器的绝缘介质，其相对电容率为 2。求当电容器充电至电压为 400 V 时，云母片表面的极化电荷密度。解：

22、513402.0.1UEVmd00rDP0rE故： 12562018.5.1.70rECm 10-36 平行板电容器两极板的面积都是 ，相距 。用电源对电容器充电至电压23.0m3.d， 然后将电源断开。现将一块厚度为 、相对电容率为 的电介质，平行地01UV 1.0b2.0r插入电容器中，求：(1)未插入电介质时电容器的电容 ； (2)电容器极板上所带的自由电荷 ；0Cq(3)电容器极板与电介质之间的空隙中的电场强度 ； (4)电介质内的电场强度 ；1E2E(5)两极板之间的电势差 ； (6)插入电介质后电容器的电容 。U C已知：平行板电容器 23.01Sm3.0d01UV断开电源 Q 不

23、变， .b.r求： 、 、 、 、 、0Cq1E2UC解：(1) 2121033.8.508.508.5S Fpd（2） 190qCUC（3）插入介质后： 10DE20rrDEqDCBA111120000dd rdUEllEl?95141121208.53.313qVmVS（4）94122120.0.70.8.5rE（5） 434312138.UdE V（6） 9108.50.7qCC10-37 半径为 R 的均匀电介质球，电容率为 e，均匀带电，总电量为 q。求：(1)电介质球内、外电位移的分布； (2)电介质球内、外电场强度和电势的分布；(3)电介质球内极化强度的分布； (4)球体表面和球

24、体内部极化电荷的电量。解：（1）由高斯定理：当 时：rR334SqDdr?方向沿半径向外，即：32314qrqrR? 34qrDR当 时：rSDd方向沿半径向外，即：24qr34qrD R（2）当 时： rR34DqrER2 2233 300 01488pRr qRrd qqrVl R ?当 时： r304DqEr 2004prdVElr?（3） 0P 0当 时： rR 00033344qrqrrDER当 时： rP（4）球体内部极化电荷的电量为： 02 0 41S qqPRq?而球休表面极化电荷的电量为： 0“1q10-38 一个半径为 R、电容率为 的均匀电介质球的中心放有点电荷 q，求：

25、(1)电介质球内、外电位移的分布； (2)电介质球内、外电场强度和电势的分布；(3)球体表面极化电荷的密度。解：（1） 无论在电介质内还是在球外的真空中上式都是适用的。SDdq?34r（2）当 时： rR3qrE220 01444RpRrqdqqVEl r ?当 时： r30Dr 200prdVElr?（3） 000333144qPErr由： 得：Sq?020241Rq?所以，球体表面极化电荷的密度为： 00222“44qqRR10-39 如图示中 A 是相对电容率为 的电介质中离边界极近的一点，已知电介质外的真空中的电场强度r为 E，其方向与界面法线 n 的夹角为 ，求：(1) A 点的电场

26、强度； (2)点 A 附近的界面上极化电荷密度解：（1）求解点 A 的电场强度 可以分别求出点 A 电场强度的切向E分量 和法向分量 ，而这两个分量可以根据边界条件求得。tEn根据电场强度的切向分量的连续性可得： sinttE根据电位移矢量的法向分量的连续性可得： conrr点 A 的电场强度的大小为： 222cosinAtnrrEE电场强度的方向与表面法向 n 的夹角 满足下面的关系： tantantrnE(2)点 A 附近的界面上极化电荷密度为： 001cos rnenP10-40 一平行板电容器内充有两层电介质，其相对电容率分别为 和 ，厚度分别为14.r2.0r和 ，极板面积为 ，两板

27、间的电势差为 。12.0dm23.0d325.01SmUV(1)求每层电介质中的电场能量密度； (2)求每层电介质中的总电场能；(3)利用电容与电场能的关系，计算电容器中的总能量。解：（1） （1）012UEd而： （两种介质分界面上只有法向电位移矢量）12nD即： （2）0102rrE12rrE由（1）（2）式解得： 2011rUd1022rUd2 2122 232011010 6118.5401.3rerrwE Jm 2 21222 2310200 62.0.040rerrUJd （2） 337115eeWwVdS J233712.0.1.0.10ee01E2（3） 21120SQSCdUd22202121000rSSWUUdd12328.545.308.674.10J两种计算结果是一致的。